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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：對集合的理解及集合思想應用的問題 高考要求 集合是高中數(shù)學的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用 本節(jié)主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用 重難點歸納 1 解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題 2 注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合

2、非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時應分類討論 典型題例示范講解 例1設A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結(jié)論 命題意圖 本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題 知識依托 解決此題的閃光點是將條件(A∪B)∩C=轉(zhuǎn)化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了 錯解分析 此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手

3、 技巧與方法 由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進而可得值 解 ∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C= ∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ∵A∩C= ∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0 ∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解， 其充要條件是16b2－16>0, 即 b2>1 ① ∵ ∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0 ∴k2－2k+8b－19<0, 從而8b<20, 即

4、 b<2 5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得 ∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= 例2 向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人 問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？ 命題意圖 在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握 本題主要強化學生的這種能力 知識依托 解答本題的閃光點是考生能

5、由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來 錯解分析 本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索 技巧與方法 畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系 解 贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B 設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x 依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21 所以對A、B都贊成的同學有21人

6、，都不贊成的有8人 例3已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實數(shù)m的取值范圍 解 由　得x2+(m－1)x+1=0 ① ∵A∩B≠ ∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個實數(shù)解 首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,當m≥3時，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有負根，不符合要求 當m≤－1時，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1］內(nèi)，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0，2］內(nèi) 故所求m的取值范

7、圍是m≤－1 學生鞏固練習 1 集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},則( ) A M=N B MN 　C MN D M∩N= 2 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},當A∩B只有一個元素時，

8、a,b的關(guān)系式是_________ 5 集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求當a取什么實數(shù)時，A∩B 和A∩C=同時成立 6 已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R} 試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明 (1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上； (2)A∩B至多有一個元素； (3)當a1≠0時，一定有A∩B≠

9、 7 已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},當A∩B=B時，求b的值 8 設f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x} (1)求證 AB; (2)如果A={－1，3}，求B 參考答案 1 解析 對M將k分成兩類 k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}, 對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z), N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x

10、=nπ+,n∈Z} 答案 C 2 解析 ∵A∪B=A，∴BA,又B≠, ∴即2＜m≤4 答案 D 3 a=0或a≥ 4 解析 由A∩B只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab= 答案 ab= 5 解 log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3} 由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關(guān)于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠, ∴3是關(guān)于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2 當a=5時，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以

11、a=5(舍去)；當a=－2時，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2 6 解 (1)正確 在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),這表明點(an,）的坐標適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上 (2)正確 設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得 2a1x+a12=－4(*)，當a1=0時，方程(*)無解，此時A∩B=；當a1≠0時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解 ∴A∩B至多有一個元素 (3）不正確 取a1=1,d=1,對一切的x∈N*,有

12、an=a1+(n－1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠,那么據(jù)(2）的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,這樣的(x0,y0）A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的 7 解 由w=zi+b得z=,∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化簡得|w－(b+i)|≤1 ∴集合A、B在復平面內(nèi)對應的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面 又A∩B=B，

13、即BA，∴兩圓內(nèi)含 因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2 8 (1)證明 設x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0) 即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB (2)證明 ∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程x2+(p－1)x+q=0有兩根－1和3，應用韋達定理，得 ∴f(x)=x2－x－3 于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x　(*)　的根 將方程(*)變形，得(x2－x－3)2－x2=0解得x=1,3,,－ 故B={－，－1，，3}