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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：圓錐曲線綜合題 高考要求 圓錐曲線的綜合問題包括 解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應(yīng)用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認(rèn)識能力，要能準(zhǔn)確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算，推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整 重難點歸納 解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目

2、的 (1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域 (2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種 當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值 典型題例示范講解 例1已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦 (1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？ (2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項

3、時，拋物線C的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？ 命題意圖 本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識及學(xué)生綜合、靈活處理問題的能力 知識依托 弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識 錯解分析 在判斷d與R的關(guān)系時，x0的范圍是學(xué)生容易忽略的 技巧與方法 對第(2)問，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+與R=的大小 解 (1)設(shè)圓心k(x0,y0),且y02=2ax0, 圓k的半徑R=|AK|= ∴|MN|=2=2a(定值) ∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化 (2)設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k (x－x0)2+(y－y0)2=x0

4、2+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項 ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a 又|MN|=|y1－y2|=2a， ∴|y1|+|y2|=|y1－y2| ∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0 ∴0≤x0≤ 圓心k到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+≤a,而圓k半徑R=≥a 且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準(zhǔn)線相交 例2如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB

5、|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值 命題意圖 本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合 知識依托 直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 錯解分析 在第(1)問中，要注意驗證當(dāng)2≤m≤5時，直線與橢圓恒有交點 技巧與方法 第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數(shù)，則可迅速將||AB|－|CD||化簡 第(2)問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法 解 (1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m－1,c2=a

6、2－b2=1 ∴橢圓的焦點為F1(－1,0),F2(1,0) 故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±,即x=±m(xù) ∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考慮方程組, 消去y得 (m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得 (2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC= 又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上 ∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC) ∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(x

7、A+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］ (2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］ 故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5 例3艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈 設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈

8、的方位角和仰角應(yīng)是多少？ 命題意圖 考查圓錐曲線在實際問題中的應(yīng)用，及將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力 知識依托 線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程 錯解分析 答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚 技巧與方法 通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解 對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程 解 取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為(3

9、，0)、(－3，0)、(－5，2) 由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC| 于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x－3y+7=0 又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線=1的右支上 直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10 據(jù)已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則,∴sin2θ=,∴仰角θ=30° 例4若橢圓=1(a＞b＞0)與直線l x

10、+y=1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，求a、b所滿足的條件，并畫出點P(a,b)的存在區(qū)域 解 由方程組消去y,整理得 (a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ① 則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點的充要條件是方程①在區(qū)間(0，1）內(nèi)有兩相異實根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),則有 同時滿足上述四個條件的點P(a,b)的存在區(qū)域為如圖所示的陰影部分 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知A、B、C三點在曲線y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積最大時，m等于( ) A 3 B

11、 C D 2 設(shè)u,v∈R，且|u|≤,v＞0,則(u－v)2+()2的最小值為( ) A 4 B 2 C 8 D 2 3 A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________ 4 一輛卡車高3米，寬1 6米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為a米，則能使卡車通過的a的最小整數(shù)值是____ 5 已知拋物線y=x2－1上一定點B(－1，0)和兩個動點P、Q，當(dāng)P在拋物線上運動時，BP⊥PQ，則Q點的橫坐標(biāo)的取值范圍是________

12、_ 參考答案: 1 解析 由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直線AC所在方程為x－3y+2=0, 點B到該直線的距離為d= ∵m∈(1,4),∴當(dāng)時，S△ABC有最大值，此時m=答案 B 2 解析 考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值 答案 C 3 解析 設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),以O(shè)A為直徑的圓 x2－ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2－ax+b2=0 即e2x2－ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1 答案 ＜e＜1 4 解析 由題意可設(shè)拋物線方程為x2=－ay,當(dāng)x=時，y=－；當(dāng)x=0 8時，y=－ 由題意知≥3,即a2－12a－2 56≥0 解得a的最小整數(shù)為13 答案 13 5 解析 設(shè)P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)∵BP⊥PQ,∴=－1, 即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0 即s2+2s－3≥0, 解得s≤－3或s≥1 答案 (－∞,－3∪1,+∞)