《湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 曲線的軌跡方程的求法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 曲線的軌跡方程的求法（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：曲線的軌跡方程的求法 高考要求 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系 這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學(xué)們的一大難點 重難點歸納 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法 (1)直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出等式化簡即得動

2、點軌跡方程 (2)定義法 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點法 根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法 若動點的坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念 典型題例示范講解 例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程

3、 命題意圖 本題主要考查利用“相關(guān)點代入法”求曲線的軌跡方程 知識依托 利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點的軌跡方程 錯解分析 欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質(zhì)，很難解決此題 技巧與方法 對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程 解 設(shè)AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=3

4、6－(x2+y2) 又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得 x2+y2=56 例2設(shè)點A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線 命題意圖 本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程 知識依托 直線與拋物線的位置關(guān)系 錯解分析

5、 當(dāng)設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對“x1=x2”的討論 技巧與方法 將動點的坐標x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系 解法一 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直線AB的方程為x=my+a由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa, x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4

6、px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法二 設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得∴AB的方程為，過定點，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點除外） 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法三 設(shè)M(x,y) (x≠0)，OA的方程為，代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓 ……①上， 又在以O(shè)B為直徑的圓 ……②上（O點除外）， ①+②得 x2+y2

7、－4px=0(x≠0) 故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 例3某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？ 命題意圖 本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 知識依托 圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點 錯解分析 正確理解題意及正確地將此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵 技巧與方法 研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?/p>

8、系，找到動圓圓心的軌跡方程 解 設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切 建立如圖所示的坐標系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=(1+r)+(1 5－r)=2 5 ∴點P在以A、O為焦點，長軸長2 5的橢圓上，其方程為=1 ① 同理P也在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為 (x－)2+y2=1 ② 由①②可解得，∴r=圓柱的直徑為 cm 例4已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解 建立坐標系如圖所

9、示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0) 設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點 則由題設(shè)，得=λ,坐標代入，得=λ,化簡得 (1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 (1)當(dāng)λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸) (2)當(dāng)λ≠1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0 點M的軌跡是以(－，0）為圓心，為半徑的圓 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( ) A 圓

10、 B 橢圓 C 雙曲線的一支 D 拋物線 2 設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為( ) A B C D 3 △ABC中，A為動點，B、C為定點，B(－,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_________ 4 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_________ 5

11、 已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程 參考答案 1 解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓答案 A 2 解析 設(shè)交點P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共線， ∴∵A2、P2、P共線，∴ 解得x0= 答案 C 3 解析

12、由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴應(yīng)為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為答案 4 解析 設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0 答案 4x2+4y2－85x+100=0 5 解 設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點，兩切線交于點P 由切線的性質(zhì)知 |BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y≠0)