2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考大題專項(xiàng)練,2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí),高考大題專項(xiàng)練,2022,年高,數(shù)學(xué),一輪,復(fù)習(xí),高考,專項(xiàng) 高考大題專項(xiàng)練六　高考中的概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 一、非選擇題 1.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表: 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1)用系統(tǒng)抽樣的方法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣的方法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù); (2)計(jì)算(1)中樣本的平均值x和方差s2; (3)求這36名工人中年齡在區(qū)間(x-s,x+s)內(nèi)的人數(shù)所占的百分比. 解:(1)把工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)分為9組,每組4人. 在第一分段里抽到的年齡數(shù)據(jù)44對(duì)應(yīng)的編號(hào)為2, 故抽取的樣本編號(hào)依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34, 對(duì)應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)得,x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40, s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=1009. (3)由(2)得x=40,s=103, 則x-s=3623,x+s=4313. 由表可知,這36名工人中年齡在區(qū)間(x-s,x+s)內(nèi)共有23人,所占的百分比為2336×100%≈63.89%. 2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表. y的分組 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企業(yè)數(shù) 2 24 53 14 7 (1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例; (2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01) 附:74≈8.602. 解:(1)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得,所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100=0.21. 產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為2100=0.02. 用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%. (2)y=1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s2=1100∑i=15ni(yi-y)2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296, s=0.0296=0.02×74≈0.17. 所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%,17%. 3.某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖. 記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù). (1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式; (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值; (3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件? 解:(1)當(dāng)x≤19時(shí),y=3800; 當(dāng)x>19時(shí),y=3800+500(x-19)=500x-5700. 所以y與x的函數(shù)解析式為y=3800,x≤19,500x-5700,x>19(x∈N). (2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19. (3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為3800,20臺(tái)的費(fèi)用為4300,10臺(tái)的費(fèi)用為4800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 1100×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. 若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為4000,10臺(tái)的費(fèi)用為4500,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100×(4000×90+4500×10)=4050. 比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件. 4.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天): 空氣質(zhì)量等級(jí) 鍛煉人次 [0,200] (200,400] (400,600] 1(優(yōu)) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(輕度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率; (2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表); (3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)? 空氣質(zhì)量情況 人次 人次≤400 人次>400 空氣質(zhì)量好 空氣質(zhì)量不好 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解:(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表: 空氣質(zhì)量等級(jí) 1 2 3 4 概率的估計(jì)值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為1100(100×20+300×35+500×45)=350. (3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表: 空氣質(zhì)量情況 人次 人次≤400 人次>400 空氣質(zhì)量好 33 37 空氣質(zhì)量不好 22 8 根據(jù)列聯(lián)表得K2=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5.820. 由于5.820>3.841,故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān). 5.學(xué)業(yè)水平考試后,某校對(duì)高二學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下(人數(shù)): 項(xiàng)　　目 數(shù)學(xué) 優(yōu)秀 合格 不合格 英語(yǔ) 優(yōu)秀 70 30 20 合格 60 240 b 不合格 a 20 10 已知英語(yǔ)、數(shù)學(xué)的優(yōu)秀率分別為24%,30%(注:合格人數(shù)中不包含優(yōu)秀人數(shù)). (1)求a,b的值; (2)現(xiàn)按照英語(yǔ)成績(jī)的等級(jí),采用分層抽樣的方法,從數(shù)學(xué)不合格的學(xué)生中選取6人,若再?gòu)倪@6人中任選2人,求這兩名學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率. 解:(1)設(shè)該校高二學(xué)生共有x人, 已知英語(yǔ)優(yōu)秀的有70+30+20=120(人), 依題意得120x=0.24,解得x=500. 故70+60+a500=0.3,解得a=20, 由學(xué)生總數(shù)為500人,得b=30. (2)由題意得,在抽取的數(shù)學(xué)不合格的6人中,英語(yǔ)優(yōu)秀的應(yīng)抽取2人,分別記為a1,a2;英語(yǔ)合格的應(yīng)抽取3人,分別記為b1,b2,b3;英語(yǔ)不合格的應(yīng)抽取1人,記為c, 從中任取2人的所有結(jié)果有15種, 這兩名學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)恰為一人優(yōu)秀一人合格的基本事件有 {a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共6種, 因此這兩名學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率為615=25. 6.某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖: (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說(shuō)明理由; (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表: 生產(chǎn)方式 是否超過(guò)m 超過(guò)m 不超過(guò)m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解:(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下: ①由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ②由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ③由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ④由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(以上給出了4種理由,寫出其中任意一種或其他合理理由均可) (2)由莖葉圖知m=79+812=80. 列聯(lián)表如下: 生產(chǎn)方式 是否超過(guò)m 超過(guò)m 不超過(guò)m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2=40×(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 7