2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（,2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí),單元質(zhì)檢（,2022,年高,數(shù)學(xué),一輪,復(fù)習(xí),單元,質(zhì)檢
單元質(zhì)檢七 不等式、推理與證明
(時(shí)間:45分鐘 滿(mǎn)分:100分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)
1.已知a>0,b>0,且1a,12,1b成等差數(shù)列,則a+9b的最小值為( )
A.16 B.9 C.5 D.4
答案:A
解析:∵1a,12,1b成等差數(shù)列,∴1a+1b=1.
∴a+9b=(a+9b)1a+1b=10+ab+9ba≥10+2ab·9ba=16,
當(dāng)且僅當(dāng)ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43時(shí)等號(hào)成立.
故選A.
2.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù).以上推理( )
A.結(jié)論正確 B.大前提不正確
C.小前提不正確 D.全不正確
答案:C
解析:因?yàn)閒(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提不正確.
3.若x,y滿(mǎn)足約束條件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0,則z=x+2y的取值范圍是( )
A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞)
答案:D
解析:畫(huà)出約束條件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0所表示的平面區(qū)域(陰影部分),如圖所示,
由目標(biāo)函數(shù)z=x+2y得直線(xiàn)l:y=-12x+12z,
當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,1)時(shí),z取最小值,zmin=2+2×1=4.
又因?yàn)閦無(wú)最大值,所以z的取值范圍是[4,+∞),故選D.
4.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( )
A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案:D
解析:∵2x+2y=1≥22x+y,
∴122≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.
5.袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
答案:B
解析:若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個(gè)球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個(gè)球,直到袋中所有球都被放入盒中時(shí),抽到兩個(gè)紅球的次數(shù)與抽到兩個(gè)黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,故選B.
6.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,則z=4x+3y的最大值為( )
A.3 B.4 C.18 D.24
答案:D
解析:畫(huà)出滿(mǎn)足條件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2的平面區(qū)域,如圖所示:
由x-y=-1,2x-y=2,解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-43x+13z,結(jié)合圖象得直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí),z最大,z的最大值是24,故選D.
7.已知不等式1a-b+1b-c+λc-a>0對(duì)滿(mǎn)足a>b>c的實(shí)數(shù)a,b,c恒成立,則λ的取值范圍是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.(-∞,4) D.(4,+∞)
答案:C
解析:變形得λ<(a-c)1a-b+1b-c=[(a-b)+(b-c)]·1a-b+1b-c=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+1≥4(當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=(b-c)2時(shí)等號(hào)成立),則λ<4.故選C.
8.已知關(guān)于x的不等式ax2-5x+b>0的解集為x x<-13或x>12,則不等式bx2-5x+a>0的解集為( )
A.x-1312
C.{x|-32}
答案:C
解析:由題意知a>0,且12,-13是關(guān)于x的方程ax2-5x+b=0的兩根,∴-13+12=5a,-13×12=ba,解得a=30,b=-5,
∴bx2-5x+a>0為-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80時(shí)等號(hào)成立,故選B.
10.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0.若z=y+1x+1的最小值為-14,則正數(shù)a的值為( )
A.76 B.1 C.34 D.89
答案:D
解析:實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0的可行域(陰影部分)如圖所示.
已知a>0,由z=y+1x+1表示過(guò)點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-1,-1)的直線(xiàn)的斜率,且z的最小值為-14,
所以點(diǎn)A與點(diǎn)(-1,-1)連線(xiàn)的斜率最小,
由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值為-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故選D.
11.已知P(x,y)為區(qū)域y2-4x2≤0,a≤x≤0內(nèi)的任意一點(diǎn),當(dāng)該區(qū)域的面積為4時(shí),z=x-2y的最小值是( )
A.-52 B.-32 C.-2 D.0
答案:A
解析:畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,則A(a,2a),B(a,-2a),
S△ABO=12×|a|×|4a|=2a2=4,
解得a=-2(正值舍去),
所以A(-2,-22),B(-2,22).
由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得,當(dāng)z=x-2y過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最小值,此時(shí)z=x-2y=-2-2×22=-52.
故選A.
12.已知任意非零實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為( )
A.4 B.5 C.115 D.72
答案:A
解析:依題意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立).
因此有3x2+4xyx2+y2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立,
即3x2+4xyx2+y2的最大值是4,結(jié)合題意得λ≥3x2+4xyx2+y2,
故λ≥4,即λ的最小值是4.
二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)
13.觀察分析下表中的數(shù)據(jù):
多面體
面數(shù)(F)
頂點(diǎn)數(shù)(V)
棱數(shù)(E)
三棱柱
5
6
9
五棱錐
6
6
10
正方體
6
8
12
猜想一般凸多面體中F,V,E所滿(mǎn)足的等式是 .?
答案:F+V-E=2
解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱錐中6+6-10=2;正方體中6+8-12=2;由此歸納可得F+V-E=2.
14.若x,y滿(mǎn)足約束條件x+y≥0,2x-y≥0,x≤1,則z=3x+2y的最大值為 .?
答案:7
解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域(陰影部分),
由z=3x+2y得y=-32x+12z,畫(huà)出直線(xiàn)y=-32x,并平移該直線(xiàn),當(dāng)直線(xiàn)y=-32x+12z過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y取得最大值,最大值為3×1+2×2=7.
15.已知f(x)=lg(100x+1)-x,則f(x)的最小值為 .?
答案:lg 2
解析:∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg100x+110x=lg(10x+10-x)≥lg2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,
∴f(x)的最小值為lg2.
16.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.若y=sin x在區(qū)間(0,π)內(nèi)是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是 .?
答案:332
解析:由題意知,凸函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.
∵y=sinx在區(qū)間(0,π)內(nèi)是凸函數(shù).
∴sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C3=3sinπ3=332.
6
單元質(zhì)檢八 立體幾何(A)
(時(shí)間:45分鐘 滿(mǎn)分:100分)
一、選擇題(本大題共5小題,每小題7分,共35分)
1.若平面α⊥平面β,且平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)a垂直于平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)b,則( )
A.直線(xiàn)a必垂直于平面β B.直線(xiàn)b必垂直于平面α
C.直線(xiàn)a不一定垂直于平面β D.過(guò)a的平面與過(guò)b的平面垂直
答案:C
解析:α⊥β,a?α,b?β,a⊥b,當(dāng)α∩β=a時(shí),b⊥α;當(dāng)α∩β=b時(shí),a⊥β,其他情形則未必有b⊥α或a⊥β,所以選項(xiàng)A,B,D都錯(cuò)誤,故選C.
2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是( )
A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3
答案:A
解析:V=13×3×12×π×12+12×2×1=π2+1,故選A.
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為( )
A.5-14 B.5-12
C.5+14 D.5+12
答案:C
解析:如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h',
則有h2=12ah',h2=h'2-a22,
因此有h'2-a22=12ah',化簡(jiǎn)得4h'a2-2h'a-1=0,解得h'a=5+14.(負(fù)值舍去)
4.日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案:B
解析:由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.
圓O1是在點(diǎn)A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€(xiàn).
直線(xiàn)OA在圓O所在平面的射影為直線(xiàn)OB,點(diǎn)B在圓O上,則∠AOB=40°,
∴∠COA=50°.
又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.
∴晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為40°,故選B.
5.如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn),則( )
A.BM=EN,且直線(xiàn)BM,EN是相交直線(xiàn)
B.BM≠EN,且直線(xiàn)BM,EN是相交直線(xiàn)
C.BM=EN,且直線(xiàn)BM,EN是異面直線(xiàn)
D.BM≠EN,且直線(xiàn)BM,EN是異面直線(xiàn)
答案:B
解析:如圖,連接BD,BE.
在△BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),
∴BM,EN是相交直線(xiàn),
排除選項(xiàng)C,D.
作EO⊥CD于點(diǎn)O,連接ON.
作MF⊥OD于點(diǎn)F,連接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.
同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB與△EON均為直角三角形.
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,
則EN=3+1=2,BM=34+254=7,
∴BM≠EN.故選B.
二、填空題(本大題共3小題,每小題7分,共21分)
6.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則此四棱錐外接球的半徑為 .?
答案:5
解析:因?yàn)槿晥D對(duì)應(yīng)的幾何體是四棱錐,頂點(diǎn)在底面的射影是底面矩形的長(zhǎng)邊的中點(diǎn),底面邊長(zhǎng)分別為4,2,滿(mǎn)足側(cè)面PAD⊥底面ABCD,△PAD為等腰直角三角形,且高為2,如圖所示,可知外接球球心為底面對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),可求得球半徑為12×42+22=5.
7.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD的形狀一定是 .?
答案:菱形
解析:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.
又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.
8.(2021全國(guó)Ⅱ,文14)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側(cè)面積為 .?
答案:39π
解析:設(shè)圓錐的高為h,母線(xiàn)長(zhǎng)為l,則13π×62·h=30π,解得h=52,則l=62+h2=132,故圓錐的側(cè)面積為π×6×132=39π.
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)如下的三個(gè)圖中,左面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖,它的正視圖和側(cè)視圖在右面畫(huà)出(單位:cm).
(1)在正視圖下面,按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出該多面體的俯視圖;
(2)按照給出的尺寸,求該多面體的體積;
(3)在所給直觀圖中連接BC',證明BC'∥平面EFG.
答案:(1)解如圖:
(2)解所求多面體體積V=V長(zhǎng)方體-V正三棱錐=4×4×6-13×12×2×2×2=2843(cm3).
(3)證明在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,連接AD',則AD'∥BC'.
因?yàn)镋,G分別為AA',A'D'的中點(diǎn),
所以AD'∥EG.從而EG∥BC'.
又BC'?平面EFG,所以BC'∥平面EFG.
10.(15分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分別為棱A1B1,BC的中點(diǎn).
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
(2)在直線(xiàn)AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF?若存在,求出AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB.
因?yàn)锳B=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.
又因?yàn)椤螦A1B1=60°,連接AB1,所以△AA1B1是邊長(zhǎng)為2的正三角形.
因?yàn)镋是棱A1B1的中點(diǎn),所以AE⊥A1B1,且AE=3.
又AB∥A1B1,所以AE⊥AB.
又側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,
且側(cè)面ABB1A1∩底面ABC=AB,
又AE?側(cè)面ABB1A1,所以AE⊥底面ABC,
所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V=S△ABC·AE=12AB·AC·AE=12×2×2×3=23.
(2)在直線(xiàn)AA1上存在點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.
理由如下:連接BE并延長(zhǎng),與AA1的延長(zhǎng)線(xiàn)相交,交點(diǎn)為P.連接CP.
因?yàn)锳1B1∥AB,故PEPB=PA1PA=A1EAB.
因?yàn)镋為棱A1B1的中點(diǎn),AB=A1B1,
所以A1EAB=12,所以PE=EB.
又F為棱BC的中點(diǎn),所以EF為△BCP的中位線(xiàn),
所以EF∥CP.
又EF?平面AEF,CP?平面AEF,
所以CP∥平面AEF.
故在直線(xiàn)AA1上存在點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.
此時(shí),PA1=AA1=2,所以AP=2AA1=4.
11.(15分)如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC,且AC=BC=2,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱錐V-ABC的體積.
答案:(1)證明因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn),
所以O(shè)M∥VB.
又因?yàn)閂B?平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)證明因?yàn)锳C=BC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥AB.
又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,OC?平面ABC,所以O(shè)C⊥平面VAB,
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)解在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,
所以AB=2,OC=1.
所以等邊三角形VAB的面積S△VAB=3.
又因?yàn)镺C⊥平面VAB,
所以三棱錐C-VAB的體積等于13OC·S△VAB=33.
又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等,所以三棱錐V-ABC的體積為33.
8
單元質(zhì)檢八 立體幾何(B)
(時(shí)間:45分鐘 滿(mǎn)分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:由三視圖得到空間幾何體,如圖所示,
則PA⊥平面ABCD,平面ABCD為直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,
所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.
又BC⊥AB,AB∩PA=A,
所以BC⊥平面PAB,
所以BC⊥PB.
在△PCD中,PD=22,PC=3,CD=5,
所以△PCD為銳角三角形.
所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB,△PAD,△PBC,共3個(gè).
2.設(shè)l,m,n表示不同的直線(xiàn),α,β,γ表示不同的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α;
②若α⊥β,m∥α,n⊥β,則m⊥n;
③若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ;
④若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α⊥β.
則假命題的個(gè)數(shù)為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:B
解析:①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α是正確的,垂直于同一個(gè)平面的直線(xiàn)互相平行;
②若α⊥β,m∥α,n⊥β,則m⊥n是錯(cuò)誤的,當(dāng)m和n平行時(shí),也會(huì)滿(mǎn)足前面的條件;
③若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ是錯(cuò)誤的,垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以是相交的;
④若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α⊥β是錯(cuò)誤的,平面β和α可以是任意的夾角.故選B.
3.已知四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為正三角形,AB=2AD=4,則球O的表面積為( )
A.56π3 B.64π3 C.24π D.80π3
答案:B
解析:令△PAD所在圓的圓心為O1,則易得圓O1的半徑r=233,因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,所以O(shè)O1=12AB=2,所以球O的半徑R=4+2332=43,所以球O的表面積=4πR2=64π3.
4.如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長(zhǎng)均為3,∠BAD=60°,長(zhǎng)為2的線(xiàn)段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng),則MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與共頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為( )
A.2π9 B.4π9 C.2π3 D.4π3
答案:A
解析:|MN|=2,則|DP|=1,
則點(diǎn)P的軌跡為以D為球心,半徑r=1的球,
則球的體積為V=43π·r3=4π3.
∵∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,120°為360°的13,只取半球的13,則V=4π3×13×12=2π9.
5.如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,E,F,H,K分別為AC',CB',A'B,B'C'的中點(diǎn),G為△ABC的重心.從K,H,G,B'中取一點(diǎn),設(shè)為P,使得該棱柱恰有兩條棱與平面PEF平行,則P為點(diǎn)( )
A.G B.H
C.K D.B'
答案:A
解析:若P為點(diǎn)G,連接BC',則F為BC'的中點(diǎn),
∴EF∥AB,EF∥A'B'.
∴AB∥平面GEF,A'B'∥平面GEF.∴P為點(diǎn)G符合題意;
若P為點(diǎn)K,則有三條側(cè)棱和AB,A'B'與該平面平行,不符合題意.
若P為點(diǎn)H,則有上下兩底面中的六條棱與該平面平行,不符合題意;
若P為點(diǎn)B',則只有一條棱AB與該平面平行,也不符合題意,故選A.
6.(2021浙江,6)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則( )
A.直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B垂直,直線(xiàn)MN∥平面ABCD
B.直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B平行,直線(xiàn)MN⊥平面BDD1B1
C.直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B相交,直線(xiàn)MN∥平面ABCD
D.直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B異面,直線(xiàn)MN⊥平面BDD1B1
答案:A
解析:如圖,連接AD1,
則AD1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,且M為AD1的中點(diǎn).
又N為BD1的中點(diǎn),所以MN∥AB.
又MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,
∵A1D?平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.
又四邊形ADD1A1為正方形,∴A1D⊥AD1.
又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,
∴直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B垂直.
易知直線(xiàn)A1D與直線(xiàn)D1B異面.故選A.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2π,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位:cm)是 .?
答案:1
解析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線(xiàn)長(zhǎng)為l,
由題意可知πrl=12πl(wèi)2=2π,解得r=1,l=2.
8.中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1,則該半正多面體共有 個(gè)面,其棱長(zhǎng)為 .?
圖1
圖2
答案:26 2-1
解析:由題圖2可知第一層與第三層各有9個(gè)面,共計(jì)18個(gè)面,第二層共有8個(gè)面,所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.如圖,設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為x,則AB=BE=x,延長(zhǎng)CB與FE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BC交正方體的棱于點(diǎn)H.由半正多面體的對(duì)稱(chēng)性可知,△BGE為等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=2×22x+x=(2+1)x=1,
解得x=12+1=2-1,即該半正多面體的棱長(zhǎng)為2-1.
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,O分別為棱AC1,AB,A1C1的中點(diǎn).
(1)求證:直線(xiàn)MN∥平面AOB1;
(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的體積為103,求三棱錐A-MON的體積.
答案:(1)證明連接A1B交AB1于點(diǎn)P,連接NP,OP.
則P是AB1的中點(diǎn).
∵N是AB的中點(diǎn),
∴NP∥BB1,且NP=12BB1.
又M,O分別是AC1,A1C1的中點(diǎn),
∴MO∥AA1,且MO=12AA1.
∵AA1∥BB1,且AA1=BB1,∴MO∥NP,且MO=NP,∴四邊形MOPN為平行四邊形,∴MN∥OP.
又MN?平面AOB1,OP?平面AOB1,∴MN∥平面AOB1.
(2)解由題意,得VA-MON=VN-AMO=12VN-AC1O=14VN-C1A1A=18VB-C1A1A.
∵BB1∥平面AA1C1,∴VB-C1A1A=VB1-C1A1A,
∴VB1-C1A1A=13VABC-A1B1C1=1033,
∴VA-MON=18×1033=5312.
10.(15分)如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=4,BC=2,現(xiàn)將△ACD沿AC折起,使D折到P的位置,且P在平面ABC上的射影E恰好在線(xiàn)段AB上.
(1)求證:AP⊥PB;
(2)求三棱錐P-EBC的表面積.
答案:(1)證明由題知PE⊥平面ABC.
∵BC?平面ABC,∴PE⊥BC.
又AB⊥BC,且AB∩PE=E,
∴BC⊥平面PAB.
∵AP?平面PAB,∴BC⊥AP.
又AP⊥CP,且BC∩CP=C,
∴AP⊥平面PBC.
∵PB?平面PBC,∴AP⊥PB.
(2)解在△PAB中,由(1)得AP⊥PB,AB=4,AP=2,
∴PB=23,PE=2×234=3,
∴BE=3,∴S△PEB=12×3×3=332.
在△EBC中,∵EB=3,BC=2,
∴S△EBC=12×3×2=3.
在△PEC中,EC=EB2+BC2=13,
∴S△PEC=12×3×13=392,
∴S△PBC=12BC·PB=12×2×23=23,
∴三棱錐P-EBC的表面積為
S=S△PEB+S△EBC+S△PEC+S△PBC=332+3+392+23=73+39+62.
11.(15分)如圖,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
(1)證明:BC∥平面PDA;
(2)證明:BC⊥PD;
(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.
答案:(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形,所以BC∥AD.
因?yàn)锽C?平面PDA,AD?平面PDA,
所以BC∥平面PDA.
(2)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形,所以BC⊥CD.
因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.
因?yàn)镻D?平面PDC,所以BC⊥PD.
(3)解取CD的中點(diǎn)E,連接AE和PE.
因?yàn)镻D=PC,所以PE⊥CD.
在Rt△PED中,PE=PD2-DE2=42-32=7.
因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE?平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.
由(2)知BC⊥平面PDC.由(1)知BC∥AD.
所以AD⊥平面PDC.
因?yàn)镻D?平面PDC,所以AD⊥PD.
設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h,
因?yàn)閂三棱錐C-PDA=V三棱錐P-ACD,
所以13S△PDA·h=13S△ACD·PE,
即h=S△ACD·PES△PDA=12×3×6×712×3×4=372,
所以點(diǎn)C到平面PDA的距離是372.
9
單元質(zhì)檢十 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例
(時(shí)間:45分鐘 滿(mǎn)分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.執(zhí)行下面的程序框圖,輸出的s值為( )
A.12 B.56 C.76 D.712
答案:B
解析:第一步:s=1-12=12,k=2,k<3;
第二步:s=12+13=56,k=3,輸出s=56.故選B.
2.某大學(xué)對(duì)1 000名學(xué)生的自主招生水平測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到樣本頻率分布直方圖,如圖所示,則這1 000名學(xué)生在該次自主招生水平測(cè)試中成績(jī)不低于70分的學(xué)生人數(shù)是( )
A.300 B.400 C.500 D.600
答案:D
解析:依題意,得題中的1000名學(xué)生在該次自主招生水平測(cè)試中成績(jī)不低于70分的學(xué)生人數(shù)是1000×(0.035+0.015+0.010)×10=600,故選D.
3.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( )
圖①
圖②
A.100,10 B.200,10 C.100,20 D.200,20
答案:D
解析:根據(jù)題意,總?cè)藬?shù)為3500+4500+2000=10000,
樣本容量為10000×2%=200.
根據(jù)分層抽樣的定義,抽取的高中生人數(shù)為200×200010000=40.
因?yàn)楦咧猩暵蕿?0%,所以抽取的高中生近視的人數(shù)為40×50%=20.
4.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱(chēng)為可入肺顆粒物.根據(jù)某地某日早7點(diǎn)到晚8點(diǎn)甲、乙兩個(gè)PM2.5監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位:毫克/立方米)列出的莖葉圖如圖所示,則甲、乙兩地PM2.5的方差較小的是( )
A.甲 B.乙 C.甲、乙相等 D.無(wú)法確定
答案:A
解析:從莖葉圖上可以觀察到:甲監(jiān)測(cè)點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)比乙監(jiān)測(cè)點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)更加集中,因此甲地PM2.5的方差較小.
5.有24名投資者想到海南某地投資,他們年齡的莖葉圖如圖所示,先將他們的年齡從小到大編號(hào)為1~24號(hào),再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6名投資者,邀請(qǐng)他們到海南某地實(shí)地考察.其中年齡不超過(guò)55歲的人數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.不確定
答案:B
解析:因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣方法是等距抽樣,所以從小到大每4人(一個(gè)區(qū)間)抽出一人.因?yàn)椴怀^(guò)55歲落在(39,40,41,41),(42,45,51,53),所以應(yīng)抽取2人.
6.某高校進(jìn)行自主招生,先從報(bào)名者中篩選出400人參加筆試,再按筆試成績(jī)擇優(yōu)選出100人參加面試.現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了24名筆試者的成績(jī),如下表所示:
分?jǐn)?shù)段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90]
人數(shù)
2
3
4
9
5
1
據(jù)此估計(jì)允許參加面試的分?jǐn)?shù)線(xiàn)是( )
A.75 B.80 C.85 D.90
答案:B
解析:因?yàn)閰⒓庸P試的400人中擇優(yōu)選出100人,所以每個(gè)人被擇優(yōu)選出的概率P=100400=14.因?yàn)殡S機(jī)調(diào)查24名筆試者,所以估計(jì)能夠參加面試的人數(shù)為24×14=6.觀察表格可知,分?jǐn)?shù)在[80,85)的有5人,分?jǐn)?shù)在[85,90)的有1人,故面試的分?jǐn)?shù)線(xiàn)大約為80分,故選B.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.若一組樣本數(shù)據(jù)2,3,7,8,a的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差s2= .?
答案:265
解析:∵2+3+7+8+a5=5,∴a=5.
∴s2=15[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=265.
8.某高中1 000名學(xué)生的身高情況如下表,已知從這批學(xué)生隨機(jī)抽取1名,抽到偏矮男生的概率為0.12.若用分層抽樣的方法,從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取50名,偏高學(xué)生有 名.?
身高情況
偏矮
正常
偏高
女生人數(shù)
100
273
y
男生人數(shù)
x
287
z
答案:11
解析:由題意可知x=1000×0.12=120,
所以y+z=220.
所以偏高學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的比例為2201000=1150,所以隨機(jī)抽取50名學(xué)生中偏高學(xué)生有50×1150=11(名).
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)(2020全國(guó)Ⅱ,文18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,并計(jì)算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1 200,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=9 000,∑i=120(xi-x)(yi-y)=800.
(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));
(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法.并說(shuō)明理由.
附:相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,2≈1.414.
解:(1)由已知得樣本平均數(shù)y=120∑i=120yi=60,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200=12000.
(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)
r=∑i=120(xi-x)(yi-y)∑i=120(xi-x)2∑i=120(yi-y)2=80080×9000=223≈0.94.
(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層,再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.
理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
10.(14分)某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類(lèi)節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各5個(gè)城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人)如下莖葉圖所示,其中一個(gè)數(shù)字被污損.
(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率;
(2)隨著節(jié)目的播出,極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情,從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4名觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間y(單位:時(shí))與年齡x(單位:歲),并制作了對(duì)照表(如下表所示):
年齡x
20
30
40
50
周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間y
2.5
3
4
4.5
由表中數(shù)據(jù)分析,x,y呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,試求線(xiàn)性回歸方程y^=b^x+a^,并預(yù)測(cè)年齡為60歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間.
參考公式:b^=∑i=1nxiyi-nxyxi2-nx2,a^=y-b^x.
解:(1)設(shè)被污損的數(shù)字為a,則a有10種情況.
令88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,則a<8,東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù),有8種情況,所求概率為810=45.
(2)由題意可知x=35,y=3.5,∑i=14xiyi=525,∑i=14xi2=5400,
所以b^=7100,a^=2120,所以y^=7100x+2120.
當(dāng)x=60時(shí),y^=7100×60+2120=5.25(時(shí)).
故預(yù)測(cè)年齡為60歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間為5.25時(shí).
11.(16分)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計(jì)A的概率;
(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);
養(yǎng)殖法
箱產(chǎn)量
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
解:(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62.
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
養(yǎng)殖法
箱產(chǎn)量
箱產(chǎn)量<50kg
箱產(chǎn)量≥50kg
舊養(yǎng)殖法
62
38
新養(yǎng)殖法
34
66
K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705.
由于15.705>6.635,因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.
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