2022年高考數(shù)學一輪復習 單元質檢（,2022年高考數(shù)學一輪復習,單元質檢（,2022,年高,數(shù)學,一輪,復習,單元,質檢
單元質檢二 函數(shù)
(時間:100分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.已知函數(shù)f(x)=2x-4,x>0,2x,x≤0,則f(f(1))=( )
A.2 B.0 C.-4 D.-6
答案:C
解析:函數(shù)f(x)=2x-4(x>0),2x(x≤0),
則f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故選C.
2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)內單調遞增的是( )
A.y=-1x B.y=-x2
C.y=e-x+ex D.y=|x+1|
答案:C
解析:選項A中函數(shù)是奇函數(shù),不合題意;
選項B中函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減,不合題意;
選項D中函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不合題意;故選C.
3.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上f(x)是減函數(shù).若f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是( )
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)
答案:B
解析:由題意知f(-2)=f(2)=0,當x∈(-2,0]時,f(x)
12時,fx+12=fx-12,則f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案:D
解析:由題意可知,當-1≤x≤1時,f(x)為奇函數(shù);
當x>12時,由fx+12=fx-12可得f(x+1)=f(x).
所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).
而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.
所以f(6)=2.故選D.
5.設a=log32,b=ln 2,c=5-12,則( )
A.alog2e>1,所以a2=log24>log23,所以c0,且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是( )
答案:C
解析:由函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上為減函數(shù),得01或x<-1},故排除A,B;
當x>1時,函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象是把函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個單位得到的,所以當x>1時,函數(shù)單調遞減,排除D.所以選C.
10.已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A.f(x)在區(qū)間(0,2)內單調遞增
B.f(x)在區(qū)間(0,2)內單調遞減
C.y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱
D.y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱
答案:C
解析:f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).
當x∈(0,1)時,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當x∈(1,2)時,x增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)單調遞增,在(1,2)單調遞減,故排除選項A,B;因為f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故排除選項D.故選C.
11.某公司租地建倉庫,已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比.據測算,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1,y2分別是2萬元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站( )
A.5千米處 B.4千米處 C.3千米處 D.2千米處
答案:A
解析:設倉庫到車站的距離為x千米,由題意,得y1=k1x,y2=k2x,其中x>0.
由當x=10時,兩項費用y1,y2分別是2萬元和8萬元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x≥220x·45x=8,當且僅當20x=45x,即x=5時取等號,故選A.
12.已知a,b∈R且ab≠0,對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則( )
A.a<0 B.a>0
C.b<0 D.b>0
答案:C
解析:當a<0時,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需滿足(x-b)·(x-2a-b)≥0恒成立,此時2a+b0不滿足條件;
當b<0時,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需滿足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此時兩根分別為x=a和x=2a+b,
(1)當a+b>0時,此時00,滿足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.
綜上可知,滿足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立時,只有b<0.故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a= .?
答案:-7
解析:因為f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.
14.已知奇函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,則f(2 015)+f(2 016)= .?
答案:-1
解析:由f(x+6)=f(x),知函數(shù)f(x)是周期為6的函數(shù).
又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(2015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2016)=f(6×336+0)=f(0)=0,
所以f(2015)+f(2016)=-1.
15.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,則f(-a)= .?
答案:-2
解析:令g(x)=ln(1+x2-x),
則g(-x)=ln(1+x2+x),
∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)為奇函數(shù).
∴f(x)=g(x)+1.
∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.
∴f(-a)=-2.
16.已知直線y=mx與函數(shù)f(x)=2-13x,x≤0,12x2+1,x>0的圖象恰好有三個不同的公共點,則實數(shù)m的取值范圍是 .?
答案:(2,+∞)
解析:作出函數(shù)f(x)=2-13x(x≤0)12x2+1(x>0)的圖象,如圖所示.
直線y=mx的圖象是繞坐標原點旋轉的動直線,當斜率m≤0時,直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個公共點;當m>0時,直線y=mx始終與函數(shù)y=2-13x(x≤0)的圖象有一個公共點,故要使直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個公共點,必須使直線y=mx與函數(shù)y=12x2+1(x>0)的圖象有兩個公共點,即方程mx=12x2+1在x>0時有兩個不相等的實數(shù)根,即方程x2-2mx+2=0的判別式Δ=4m2-4×2>0,且2m>0,解得m>2.故所求實數(shù)m的取值范圍是(2,+∞).
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)已知函數(shù)f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的圖象過點(8,2)和(1,-1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值時x的值.
解:(1)由f(8)=2,f(1)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,
故函數(shù)解析式為f(x)=-1+log2x.
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]
=log2x2x-1-1(x>1).
因為x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1
=(x-1)+1x-1+2≥2(x-1)·1x-1+2=4,
當且僅當x-1=1x-1,即x=2時,等號成立,
函數(shù)y=log2x在(0,+∞)內單調遞增,
所以log2x2x-1-1≥log24-1=1,
故當x=2時,函數(shù)g(x)取得最小值1.
18.(12分)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設f(x)=g(x)x.
(1)求a,b的值;
(2)若當x∈[-1,1]時,不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求實數(shù)k的取值范圍.
解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.
因為a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),
故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.
(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,
所以f(2x)-k·2x≥0可化為2x+12x-2≥k·2x,
可化為1+12x2-2·12x≥k.
令t=12x,則k≤t2-2t+1.
因為x∈[-1,1],所以t∈12,2.
記h(t)=t2-2t+1,
因為t∈12,2,所以h(t)max=1.
所以k≤1,即實數(shù)k的取值范圍是(-∞,1].
19.(12分)某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x(x∈N*)千件,需另投入成本為C(x)萬元,當年產量不足80千件時,C(x)=13x2+10x(萬元);當年產量不少于80千件時,C(x)=51x+10000x-1 450(萬元).通過市場分析,當每件售價為500元時,該廠年內生產的商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤L(單位:萬元)關于年產量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大?
解:(1)當0950.
綜上所述,當x=100時,L(x)取得最大值1000,
即年產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大.
20.(12分)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=t+22處取得最小值-t24(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表達式;
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值為-5,求此時t的值.
解:(1)設f(x)=ax-t+222-t24(a>0).
因為f(1)=0,所以(a-1)t24=0.
又因為t≠0,所以a=1,
所以f(x)=x-t+222-t24(t≠0).
(2)因為f(x)=x-t+222-t24(t≠0),
所以當t+22<-1,即t<-4時,
f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值f(x)min=f(-1)=-1-t+222-t24=-5,所以t=-92;
當-1≤t+22≤12,即-4≤t≤-1時,f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值f(x)min=ft+22=-t24=-5,
所以t=±25(舍去);
當t+22>12,即t>-1時,
f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).
綜上,得t=-92.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1).
(1)當a=12時,求函數(shù)f(x)的定義域.
(2)當a>1時,求關于x的不等式f(x)m對任意實數(shù)x∈[1,3]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)當a=12時,f(x)=log1212x-1,
故12x-1>0,解得x<0,
故函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0).
(2)由題意知,f(x)=loga(ax-1)(a>1),定義域為x∈(0,+∞),易知f(x)在區(qū)間(0,+∞)內為增函數(shù),
由f(x)0,x<1,∴x∈(0,1).
(3)設g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],
設t=2x-12x+1=1-22x+1,x∈[1,3],
故2x+1∈[3,9],t=1-22x+1∈13,79,
故g(x)min=g(1)=-log23.
又∵f(x)-log2(1+2x)>m對任意實數(shù)x∈[1,3]恒成立,
故m0時,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值;
(3)解關于x的不等式f(ax2)-2f(x)0.
∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1).
又f(x)為奇函數(shù),∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內是減函數(shù).
∴對任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).
∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,
∴f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值為6.
(3)∵f(x)為奇函數(shù),
∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.
∴當a=0時,x∈(-∞,1);
當a=2時,x∈{x|x≠1,且x∈R};
當a<0時,x∈x2a2a或x<1;
當a>2時,x∈xx<2a或x>1.
綜上所述,當a=0時,原不等式的解集為(-∞,1);
當a=2時,原不等式的解集為{x|x≠1,且x∈R};
當a<0時,原不等式的解集為x2a2a或x<1;
當a>2時,原不等式的解集為xx<2a或x>1.
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