2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（
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單元質(zhì)檢四 三角函數(shù)、解三角形(A)
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是( )
A.y=sin2x-π2 B.y=cos2x-π2
C.y=sinx+π2 D.y=cosx+π2
答案:A
解析:對(duì)于選項(xiàng)A,y=-cos2x,周期為π且是偶函數(shù),所以選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,y=sin2x,周期為π且是奇函數(shù),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C,y=cosx,周期為2π,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,y=-sinx,周期為2π,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故答案為A.
2.在△ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,則AB=( )
A.42 B.30 C.29 D.25
答案:A
解析:∵cosC=2cos2C2-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35=32.
∴AB=42.
3.函數(shù)y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值為( )
A.π,0 B.2π,0 C.π,2-2 D.2π,2-2
答案:C
解析:因?yàn)閒(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+2sin2x+π4,
所以最小正周期為π,
當(dāng)sin2x+π4=-1時(shí),取得最小值為2-2.
4.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<π2的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3),則函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( )
A.-π3,0 B.-π6,0 C.π6,0 D.π12,0
答案:B
解析:由題意,得3=2sin(2×0+φ),即sinφ=32.
因?yàn)閨φ|<π2,所以φ=π3.
由2sin2x+π3=0,得2x+π3=kπ,k∈Z,
當(dāng)k=0時(shí),x=-π6,故選B.
5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若acos B+bcos A=csin C,S=14(b2+c2-a2),則B=( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
答案:C
解析:由正弦定理,得2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinCsinC,于是sin(A+B)=sin2C,所以sinC=1,即C=π2,從而S=12ab=14(b2+c2-a2)=14(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故選C.
6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,若x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)等于( )
A.1 B.12 C.22 D.32
答案:D
解析:由題中圖象可得A=1,T2=2π2ω=π3--π6,
解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).
由題圖可知點(diǎn)π12,1在函數(shù)f(x)的圖象上,
故sin2×π12+φ=1,即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f(x)=sin2x+π3.
∵x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),
∴x1+x2=π12×2=π6.
∴f(x1+x2)=sin2×π6+π3=32,故選D.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.已知sinπ4-x=34,且x∈-π2,-π4,則cos 2x的值為 .?
答案:-378
解析:sin2x=cosπ2-2x=1-2sin2π4-x=1-2×342=-18,∵x∈-π2,-π4,∴2x∈-π,-π2.
∴cos2x=-1-sin22x=-378.
8.(2021浙江,14)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn),AM=23,則AC= ,cos∠MAC= .?
答案:213 23913
解析:在△ABM中,由余弦定理,得AM2=AB2+BM2-2AB·BMcos60°,
即(23)2=22+BM2-2×2·BM·12,即BM2-2BM-8=0,解得BM=4或BM=-2(舍去).
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),∴MC=4,BC=8.
在△ABC中,由余弦定理,得AC2=22+82-2×2×8cos60°=52,∴AC=213.
在△AMC中,由余弦定理,得cos∠MAC=(23)2+(213)2-422×23×213=23913.
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn)P-35,-45.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β滿足sin(α+β)=513,求cos β的值.
解:(1)由角α的終邊過(guò)點(diǎn)P-35,-45,
得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.
(2)由角α的終邊過(guò)點(diǎn)P-35,-45,得cosα=-35,
由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
10.(15分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面積;
(2)若sin A+3sin C=22,求C.
解:(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-2×3c2×cos150°,
解得c=-2(舍去),c=2.從而a=23.
△ABC的面積為12×23×2×sin150°=3.
(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,
所以sinA+3sinC=sin(30°-C)+3sinC=sin(30°+C).
故sin(30°+C)=22.
而0°0,ω>0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)π3,32.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若角α滿足f(α)+3fα-π2=1,α∈(0,π),求α的值.
解:(1)由條件知周期T=2π,即2πω=2π,所以ω=1,
即f(x)=Asinx+π3.
∵f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)π3,32,∴Asin2π3=32.
∴A=1,∴f(x)=sinx+π3.
(2)由f(α)+3fα-π2=1,
得sinα+π3+3sinα-π2+π3=1,
即sinα+π3-3cosα+π3=1,
可得2sinα+π3-π3=1,即sinα=12.
又α∈(0,π),解得α=π6或5π6.
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