2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（
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單元質(zhì)檢五 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)
1.若z(1+i)=1-i,則z=( )
A.1-i B.1+i
C.-i D.i
答案:D
解析:由z(1+i)=1-i,知z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,則z=i.故選D.
2.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為邊BC的中點(diǎn),且2OA+OB+OC=0,則( )
A.AO=2OD B.AO=OD
C.AO=3OD D.2AO=OD
答案:B
解析:由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,
即OB+OC=2OD=2AO,所以O(shè)D=AO,故選B.
3.若非零向量a,b滿足a⊥(2a+b),且a與b的夾角為2π3,則|a||b|=( )
A.12 B.14 C.32 D.2
答案:B
解析:∵a⊥(2a+b),且a與b的夾角為2π3,
∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-12|a||b|=0.
又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=12|b|,
∴|a||b|=14,故選B.
4.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60°,則BD·CD=( )
A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2
答案:D
解析:如圖,設(shè)BA=a,BC=b,
則BD·CD=(BA+BC)·BA
=(a+b)·a=a2+a·b
=a2+a·a·cos60°
=a2+12a2=32a2.
5.已知復(fù)數(shù)z=a+a+i3-i(a∈R,i為虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-12,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:A
解析:由題意,得
z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,
∴z=13a-110-(a+3)i10.
又復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-12,
∴-a+310=-12,解得a=2.∴z=52+12i,
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x軸上存在一點(diǎn)P使AP·BP有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
答案:C
解析:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,0),則AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.當(dāng)x=3時(shí),AP·BP有最小值1.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0).
7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ為實(shí)數(shù),(b+λa)⊥c,則λ的值為( )
A.-311 B.-113 C.12 D.35
答案:A
解析:由題意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).
因?yàn)閏=(3,4),(b+λa)⊥c,
所以(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,
解得λ=-311,故選A.
8.如圖,在正方形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn),則DF=( )
A.-12AB+34AD
B.12AB+23AD
C.13AB-12AD
D.12AB-34AD
答案:D
解析:由題意,得DF=AF-AD,AE=AB+BE.
∵E為BC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn),
∴AF=12AE,BE=12BC.
∴DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BE)-AD=12AB+14BC-AD.又BC=AD,
∴DF=12AB-34AD.
9.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夾角為π4.若a-λb與b垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A.-12 B.12 C.-24 D.24
答案:D
解析:因?yàn)閍-λb與b垂直,且a·b=1×2×cosπ4=2,所以(a-λb)·b=2-4λ=0,解得λ=24,
故選D.
10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos α,2sin α),則向量OA與向量OB的夾角的取值范圍是( )
A.0,π4 B.π4,5π12 C.5π12,π2 D.π12,5π12
答案:D
解析:由題意,得OA=OC+CA=(2+2cosα,2+2sinα),
所以點(diǎn)A的軌跡是圓(x-2)2+(y-2)2=2,
如圖,當(dāng)A為直線OA與圓的切點(diǎn)時(shí),向量OA與向量OB的夾角分別達(dá)到最大值和最小值,故選D.
11.已知向量a,b滿足|a-b|=3,且b=(0,-1).若向量a在向量b方向上的投影為-2,則|a|=( )
A.2 B.23 C.4 D.12
答案:A
解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,
所以a·b=|a|2+|b|2-92=|a|2-82.
由向量a在向量b方向上的投影為-2,
得a·b|b|=|a|2-82=-2,即|a|2=4,所以|a|=2,故選A.
12.已知|OA|=|OB|=2,點(diǎn)C在線段AB上,且|OC|的最小值為1,則|OA-tOB|(t∈R)的最小值為( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案:B
解析:依題意,可將點(diǎn)A,B置于圓x2+y2=4上;由點(diǎn)C在線段AB上,且|OC|的最小值為1,得原點(diǎn)O到線段AB的距離為1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OA-tOB)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值為3,因此|OA-tOB|的最小值為3.
二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)
13.已知i為虛數(shù)單位,且復(fù)數(shù)z滿足(z-i)(1+i)2+i=2i,則|z|= .?
答案:17
解析:由(z-i)(1+i)2+i=2i,得z=2i(2+i)1+i+i=1+4i,
所以|z|=12+42=17.
14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為BC的中點(diǎn).若F為該矩形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則AE·AF的最大值為 .?
答案:92
解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
則E2,12.
設(shè)F(x,y),則0≤x≤2,0≤y≤1,
則AE·AF=2x+12y,令z=2x+12y,當(dāng)z=2x+12y過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí),AE·AF取最大值92.
15.若向量a,b滿足:a=(-3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,則|b|= .?
答案:2
解析:∵a=(-3,1),∴|a|=2.
∵(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,
∴(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,
即|a|2+2a·b=0,①
|b|2+a·b=0.②
由①-②×2,得|a|2=2|b|2,則|b|=2.
16.已知平面單位向量e1,e2滿足|2e1-e2|≤2,設(shè)a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夾角為θ,則cos2θ的最小值是 .?
答案:2829
解析:|2e1-e2|≤2?(2e1-e2)2≤2,解得e1·e2≥34.
又e1·e2≤1,所以34≤e1·e2≤1.
cosθ=a·b|a||b|=(e1+e2)(3e1+e2)(e1+e2)2×(3e1+e2)2
=4+4e1·e22+2e1e2×10+6e1e2,
設(shè)e1·e2=x,則34≤x≤1.
cos2θ=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)=16(x+1)212x2+32x+20=4(x+1)23x2+8x+5=4(x+1)23(x+1)2+2(x+1)=43+2x+1,
得cos2θ∈2829,1,所以cos2θ的最小值是2829.
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