2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（
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單元質(zhì)檢七 不等式、推理與證明
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)
1.已知a>0,b>0,且1a,12,1b成等差數(shù)列,則a+9b的最小值為( )
A.16 B.9 C.5 D.4
答案:A
解析:∵1a,12,1b成等差數(shù)列,∴1a+1b=1.
∴a+9b=(a+9b)1a+1b=10+ab+9ba≥10+2ab·9ba=16,
當(dāng)且僅當(dāng)ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43時(shí)等號(hào)成立.
故選A.
2.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù).以上推理( )
A.結(jié)論正確 B.大前提不正確
C.小前提不正確 D.全不正確
答案:C
解析:因?yàn)閒(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提不正確.
3.若x,y滿足約束條件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0,則z=x+2y的取值范圍是( )
A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞)
答案:D
解析:畫出約束條件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0所表示的平面區(qū)域(陰影部分),如圖所示,
由目標(biāo)函數(shù)z=x+2y得直線l:y=-12x+12z,
當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,1)時(shí),z取最小值,zmin=2+2×1=4.
又因?yàn)閦無(wú)最大值,所以z的取值范圍是[4,+∞),故選D.
4.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( )
A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案:D
解析:∵2x+2y=1≥22x+y,
∴122≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.
5.袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
答案:B
解析:若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個(gè)球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個(gè)球,直到袋中所有球都被放入盒中時(shí),抽到兩個(gè)紅球的次數(shù)與抽到兩個(gè)黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,故選B.
6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,則z=4x+3y的最大值為( )
A.3 B.4 C.18 D.24
答案:D
解析:畫出滿足條件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2的平面區(qū)域,如圖所示:
由x-y=-1,2x-y=2,解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-43x+13z,結(jié)合圖象得直線過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí),z最大,z的最大值是24,故選D.
7.已知不等式1a-b+1b-c+λc-a>0對(duì)滿足a>b>c的實(shí)數(shù)a,b,c恒成立,則λ的取值范圍是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.(-∞,4) D.(4,+∞)
答案:C
解析:變形得λ<(a-c)1a-b+1b-c=[(a-b)+(b-c)]·1a-b+1b-c=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+1≥4(當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=(b-c)2時(shí)等號(hào)成立),則λ<4.故選C.
8.已知關(guān)于x的不等式ax2-5x+b>0的解集為x x<-13或x>12,則不等式bx2-5x+a>0的解集為( )
A.x-1312
C.{x|-32}
答案:C
解析:由題意知a>0,且12,-13是關(guān)于x的方程ax2-5x+b=0的兩根,∴-13+12=5a,-13×12=ba,解得a=30,b=-5,
∴bx2-5x+a>0為-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80時(shí)等號(hào)成立,故選B.
10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0.若z=y+1x+1的最小值為-14,則正數(shù)a的值為( )
A.76 B.1 C.34 D.89
答案:D
解析:實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0的可行域(陰影部分)如圖所示.
已知a>0,由z=y+1x+1表示過(guò)點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-1,-1)的直線的斜率,且z的最小值為-14,
所以點(diǎn)A與點(diǎn)(-1,-1)連線的斜率最小,
由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值為-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故選D.
11.已知P(x,y)為區(qū)域y2-4x2≤0,a≤x≤0內(nèi)的任意一點(diǎn),當(dāng)該區(qū)域的面積為4時(shí),z=x-2y的最小值是( )
A.-52 B.-32 C.-2 D.0
答案:A
解析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,則A(a,2a),B(a,-2a),
S△ABO=12×|a|×|4a|=2a2=4,
解得a=-2(正值舍去),
所以A(-2,-22),B(-2,22).
由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得,當(dāng)z=x-2y過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最小值,此時(shí)z=x-2y=-2-2×22=-52.
故選A.
12.已知任意非零實(shí)數(shù)x,y滿足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為( )
A.4 B.5 C.115 D.72
答案:A
解析:依題意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立).
因此有3x2+4xyx2+y2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立,
即3x2+4xyx2+y2的最大值是4,結(jié)合題意得λ≥3x2+4xyx2+y2,
故λ≥4,即λ的最小值是4.
二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)
13.觀察分析下表中的數(shù)據(jù):
多面體
面數(shù)(F)
頂點(diǎn)數(shù)(V)
棱數(shù)(E)
三棱柱
5
6
9
五棱錐
6
6
10
正方體
6
8
12
猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是 .?
答案:F+V-E=2
解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱錐中6+6-10=2;正方體中6+8-12=2;由此歸納可得F+V-E=2.
14.若x,y滿足約束條件x+y≥0,2x-y≥0,x≤1,則z=3x+2y的最大值為 .?
答案:7
解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域(陰影部分),
由z=3x+2y得y=-32x+12z,畫出直線y=-32x,并平移該直線,當(dāng)直線y=-32x+12z過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y取得最大值,最大值為3×1+2×2=7.
15.已知f(x)=lg(100x+1)-x,則f(x)的最小值為 .?
答案:lg 2
解析:∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg100x+110x=lg(10x+10-x)≥lg2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,
∴f(x)的最小值為lg2.
16.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.若y=sin x在區(qū)間(0,π)內(nèi)是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是 .?
答案:332
解析:由題意知,凸函數(shù)f(x)滿足f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.
∵y=sinx在區(qū)間(0,π)內(nèi)是凸函數(shù).
∴sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C3=3sinπ3=332.
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