2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（
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單元質(zhì)檢八 立體幾何(A)
(時間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共5小題,每小題7分,共35分)
1.若平面α⊥平面β,且平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b,則( )
A.直線a必垂直于平面β B.直線b必垂直于平面α
C.直線a不一定垂直于平面β D.過a的平面與過b的平面垂直
答案:C
解析:α⊥β,a?α,b?β,a⊥b,當(dāng)α∩β=a時,b⊥α;當(dāng)α∩β=b時,a⊥β,其他情形則未必有b⊥α或a⊥β,所以選項A,B,D都錯誤,故選C.
2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是( )
A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3
答案:A
解析:V=13×3×12×π×12+12×2×1=π2+1,故選A.
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( )
A.5-14 B.5-12
C.5+14 D.5+12
答案:C
解析:如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h',
則有h2=12ah',h2=h'2-a22,
因此有h'2-a22=12ah',化簡得4h'a2-2h'a-1=0,解得h'a=5+14.(負(fù)值舍去)
4.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案:B
解析:由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.
圓O1是在點(diǎn)A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€.
直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點(diǎn)B在圓O上,則∠AOB=40°,
∴∠COA=50°.
又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.
∴晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為40°,故選B.
5.如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則( )
A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線
B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線
C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線
D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線
答案:B
解析:如圖,連接BD,BE.
在△BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),
∴BM,EN是相交直線,
排除選項C,D.
作EO⊥CD于點(diǎn)O,連接ON.
作MF⊥OD于點(diǎn)F,連接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.
同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB與△EON均為直角三角形.
設(shè)正方形ABCD的邊長為2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,
則EN=3+1=2,BM=34+254=7,
∴BM≠EN.故選B.
二、填空題(本大題共3小題,每小題7分,共21分)
6.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則此四棱錐外接球的半徑為 .?
答案:5
解析:因?yàn)槿晥D對應(yīng)的幾何體是四棱錐,頂點(diǎn)在底面的射影是底面矩形的長邊的中點(diǎn),底面邊長分別為4,2,滿足側(cè)面PAD⊥底面ABCD,△PAD為等腰直角三角形,且高為2,如圖所示,可知外接球球心為底面對角線的交點(diǎn),可求得球半徑為12×42+22=5.
7.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD的形狀一定是 .?
答案:菱形
解析:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.
又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.
8.(2021全國Ⅱ,文14)已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側(cè)面積為 .?
答案:39π
解析:設(shè)圓錐的高為h,母線長為l,則13π×62·h=30π,解得h=52,則l=62+h2=132,故圓錐的側(cè)面積為π×6×132=39π.
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)如下的三個圖中,左面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖,它的正視圖和側(cè)視圖在右面畫出(單位:cm).
(1)在正視圖下面,按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;
(2)按照給出的尺寸,求該多面體的體積;
(3)在所給直觀圖中連接BC',證明BC'∥平面EFG.
答案:(1)解如圖:
(2)解所求多面體體積V=V長方體-V正三棱錐=4×4×6-13×12×2×2×2=2843(cm3).
(3)證明在長方體ABCD-A'B'C'D'中,連接AD',則AD'∥BC'.
因?yàn)镋,G分別為AA',A'D'的中點(diǎn),
所以AD'∥EG.從而EG∥BC'.
又BC'?平面EFG,所以BC'∥平面EFG.
10.(15分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分別為棱A1B1,BC的中點(diǎn).
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
(2)在直線AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF?若存在,求出AP的長;若不存在,說明理由.
解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB.
因?yàn)锳B=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.
又因?yàn)椤螦A1B1=60°,連接AB1,所以△AA1B1是邊長為2的正三角形.
因?yàn)镋是棱A1B1的中點(diǎn),所以AE⊥A1B1,且AE=3.
又AB∥A1B1,所以AE⊥AB.
又側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,
且側(cè)面ABB1A1∩底面ABC=AB,
又AE?側(cè)面ABB1A1,所以AE⊥底面ABC,
所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V=S△ABC·AE=12AB·AC·AE=12×2×2×3=23.
(2)在直線AA1上存在點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.
理由如下:連接BE并延長,與AA1的延長線相交,交點(diǎn)為P.連接CP.
因?yàn)锳1B1∥AB,故PEPB=PA1PA=A1EAB.
因?yàn)镋為棱A1B1的中點(diǎn),AB=A1B1,
所以A1EAB=12,所以PE=EB.
又F為棱BC的中點(diǎn),所以EF為△BCP的中位線,
所以EF∥CP.
又EF?平面AEF,CP?平面AEF,
所以CP∥平面AEF.
故在直線AA1上存在點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.
此時,PA1=AA1=2,所以AP=2AA1=4.
11.(15分)如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC,且AC=BC=2,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱錐V-ABC的體積.
答案:(1)證明因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn),
所以O(shè)M∥VB.
又因?yàn)閂B?平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)證明因?yàn)锳C=BC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥AB.
又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,OC?平面ABC,所以O(shè)C⊥平面VAB,
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)解在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,
所以AB=2,OC=1.
所以等邊三角形VAB的面積S△VAB=3.
又因?yàn)镺C⊥平面VAB,
所以三棱錐C-VAB的體積等于13OC·S△VAB=33.
又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等,所以三棱錐V-ABC的體積為33.
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