2、邊上，則△ABC的周長是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析： 設(shè)橢圓的另一焦點為F，
則由橢圓的定義知|BA|＋|BF|＝2，
且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周長＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.
答案： C
4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為( )
A．(－3,0) B．(－4,0)
C．(－10,0) D．(－5,0)
解析： ∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，
∴圓心坐標(biāo)為(3,0)，
∴c＝3，又b＝4，
∴a＝＝5.
∵
3、橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的左頂點為(－5,0)．
答案： D
5．已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
解析： 點P在線段AN的垂直平分線上，
故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，
由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓．
答案： B
6．已知點F1、F2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF2為正三角
4、形，則橢圓的離心率是( )
A．2 B.
C．3 D.
解析： 由題意設(shè)|AF1|＝m，則|AF2|＝2m，|F1F2|＝m，
∴e＝＝＝，故選D.
答案： D
二、填空題
7．(2020·廣東卷)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為________．
解析： 設(shè)橢圓的長半軸為a，由2a＝12知a＝6，又e＝＝，故c＝3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
答案：?。?
8．底面直徑為12 cm的圓柱被與底面成30°的平面所截，截口是一個橢圓，則這個橢圓的長軸
5、長為______，短軸長為______，離心率為________．
解析： 作出經(jīng)過橢圓長軸的圓柱的軸截面，易得2a＝＝8 cm，短軸長即為底面圓直徑12 cm，
∴c＝＝2.∴e＝＝.
答案： 8 cm 12 cm
9．如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝1，以點C為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在AB邊上，且這個橢圓過A、B兩點，則這個橢圓的焦距長為________．
解析： 設(shè)另一焦點為D.
∵AC＋AD＝2a，AC＋AB＋BC＝4a，
又∵AC＝1，
∴AD＝.
在Rt△ACD中焦距CD＝.
答案：
三、解答題
10．如圖，已知橢圓＋＝
6、1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
【解析方法代碼108001110】
解析： (1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
其中，c＝，設(shè)B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
將B點坐標(biāo)代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由
7、·＝(－c，－b)·＝
?b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.
所以橢圓方程為＋＝1.
11．如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：y＝kx＋b(b>0)是圓的一條切線，且l與橢圓＋y2＝1交于不同的兩點A，B.
(1)若△AOB的面積等于，求直線l的方程；
(2)設(shè)△AOB的面積為S，且滿足≤S≤，求O·O的取值范圍.【解析方法代碼108001111】
解析： (1)由題意可知：＝1，∴b＝.
又
消y得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，
8、x1·x2＝，
∴|AB|＝·＝·，
而O到直線AB的距離為1，
則有×·×1＝，解得k＝±1，
所求直線l的方程為x－y＋＝0或x＋y－＝0.
(2)由題意可知≤×·×1≤，
解得≤k2≤3.
由(1)得O·O＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)
＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝＝，
∴≤O·O≤.
12．(2020·天津卷)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B.已知點A的坐標(biāo)為(－a,0)．若|AB|＝，求直線l的
9、傾斜角．
解析： (1)由e＝＝，解得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.
由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程組得
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)可知點A(－2,0)，設(shè)點B的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)．
于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組
消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，
由－2x1＝，得x1＝，從而y1＝，
所以|AB|＝＝.
由|AB|＝，得＝.
整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0.
解得k＝±1.
所以直線l的傾斜角為或.
2020高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第5課時 橢 圓線下作業(yè) 文 新人教A版
