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1、高三數(shù)學同步測試 探索性問題 一、選擇題（本題每小題5分，共60分） 1．集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}，f是A到B的映射，且滿足條件f(a)+f(b)+f(c)=0，這樣的映射共有 （ ） A．6個 B．7個 C．8個 D．9個 2．在△ABC中，sinA>sinB是A>B成立的 （ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．

2、直線與橢圓相交于A、B兩點，該橢圓上點P，使得△APB的面積等于3，這樣的點P共有 （ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．設數(shù)集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是 （ ） A． B． C． D． 5．PQ是異面直線a，b的公垂線，a^b，A?a，B?b，C在線段PQ上（異于P,Q），則DABC

3、 的形狀是 （ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三角形不定 6．用一張鋼板制作一容積為的無蓋長方體水箱，可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長×寬的尺寸如各選項所示，單位均為m），若既要夠用，又要所剩最少，則應選鋼板的規(guī)格是 （ ） A．2×5 B．2×5.5 C．2×6.1 D．3×5 7．計算機是將信息轉(zhuǎn)換成

4、二進制數(shù)進行處理的，二進制即“逢2進1”，如（1101）2表示二進制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么將二進制數(shù)（11…11）2（2020個1）轉(zhuǎn)換成十進制形式是 （ ） A．22020－2 B．22020－2 C．22020－1 D．22020－1 8．數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項的值是 （ ） A．42 B．45 C．48 D．51 9．在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展開式中，含x4項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n－10的 （ ） A．第2項 B．第11

5、項 C．第20項 D．第24項 10．已知集合A={x|x2－2x－3>0},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4則有（ ） A．a(chǎn)=3,b=4 B．a(chǎn)=3,b=－4 C．a(chǎn)=－3,b=4 D．a(chǎn)=－3,b=－4 11．不等式<2x+a(a>0)的解集是 （ ） A．{x|x>0或x< －a} B．{x| －

6、好是該橢圓的右焦點，則此二面角的大小為 （ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空題（本題每小題4分，共16分） 13．已知定點A(－2，),F是橢圓+=1的右焦點，點M在橢圓上移動，則當|AM|+ 2|MF|取最小值時，點M的坐標是 . 14．若(x2－)n的 展開式中含x的項為第6項，設(1－x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,則a1+a2+a3+…+a2n= . 15．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，

7、且，公和為5，那么的值為______________，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為________________ . 16．定義集合A和B的運算：. 試寫出含有集合運算符號“”、“”、“”，并對任意集合A和B都成立的一個等式：_______________. 三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）： 17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且 （1）求的值； （2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為.若存在，求出這個的值；若不存在，說明理由. 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=(x－a)(x－b)(

8、x－c)． （1）求證：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)； （2）若f(x)是R上的增函數(shù)，是否存在點P，使f(x)的圖像關于點P中心對稱？如果存在，請求出點P坐標，并給出證明；如果不存在，請說明理由． 19．（本小題滿分12分）已知奇函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，且當時，，問是否存在這樣的實數(shù)，使得對所有的均成立？若存在，則求出所有適合條件的實數(shù)；若不存在，試說明理由. 20．（本小題滿分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a,b,c，且b,a,c成等差數(shù)列，b≥c，已知B(－1,0),C(1,0)。

9、 （1）求頂點A的軌跡L； （2）是否存在直線m，使m過點B并與曲線L交于不同的兩點P、Q，且|PQ|恰好等于 原點到直線m的距離的倒數(shù)？若存在，求出m的方程，若不存在，說明理由. 21．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）證明PA⊥平面ABCD； （2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大??； D P B A C E （3）在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結論.

10、 22．（本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}中，a1=4，an+1=，是否存在這樣的數(shù)列{bn}，bn=，其中A、B、C為實常數(shù)，使得{bn}是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你的結論，并求{an}的取值范圍. [參考答案] （十五） 一、選擇題（每小題5分，共60分）： (1).B(2).C (3).B (4).C (5).C (6).D (7).C (8).B (9).C (10).D (11).C (12).C 二、填空題（每小題4分，共16分） (13). (2,) ； (14). 255； (15). 3

11、 當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時， (16).；； ；… 三、解答題（共74分，按步驟得分） 17.解：（1）∵，∴，即， ∵，∴ （2）， 當，即時， 當時，∵，∴這樣的不存在。 當，即時，，這樣的不存在。 綜上得， . 18. 解：（1）∵ f(x)=(x－a)(x－b)(x－c) ＝ｘ3－（a+b +ｃ)x2＋(ab+bc+ac)x－abc f ′(x)=3 x2－2(a+b +ｃ)x＋(ab+bc+ac) =[ x2－ (a+b)x＋ab]＋[ x2－(a+c)x＋ac]＋[

12、 x2－(b+c)x＋bc] =(x－a)(x－b)＋(x－a)(x－c)＋(x－b)(x－c)． （2）∵f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，∴f ′(x)≥0，對x∈R恒成立， 即 3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0 對x∈R恒成立． ∴△≤0, 4(a+b+c)2－12(ab+bc+ca) ≤0， ∴ (a－b)2＋(a－c）2＋ (b－c)2≤0，∴ a=b=c． ∴ f(x)=(x－a)3 ， ∴f(x)關于點(a，0)對稱． 證明如下：設點P(x，y)是 f(x)=(x－a)3圖像上的任意一點，y=(x－a)3， 點P關于點(a，0)對

13、稱的點P′(2a－x，－y)， ∵(2a－x－a)3=(2a－x)3= －(x－2a)3=－y ， ∴點P′在函數(shù)f(x)=(x－a)3的圖像上，即函數(shù)f(x)=(x－a)3關于點(a，0)對稱． 19. 解：因為在R上為奇函數(shù)，又在上是增函數(shù) 所以在R上也是增函數(shù)，且 因為 所以 故 要使不等式對任意恒成立，只要大于函數(shù)的最大值即可。 令，則求函數(shù)的最大值， 方法1（求導） 解得：，因 當，時，；當時， 故 ，因此 方法2（

14、判別式）把函數(shù)變形為 設，即在上有解 當時，必須且，矛盾； 當時，或 或或 此時； 當時，必須且，矛盾； 方法3（不等式） ，此時 20. 解：（1）由題設知b+c=2a，|BC|=2, ∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又b≥c， 故由橢圓的定義知，點A的軌跡L是左半個橢圓（去掉左頂點）， 軌跡方程為：+=1（－2

15、2,y2)，則x1+x2= －，x1·x2=， 又∵x1≤0,x2≤0，即x1x2≥0, ∴k2≥3，∴ |PQ|== 設原點O到直線m的距離為d，則d=, ∵|PQ|=,∴=，得k2=<3， 這與k2≥3矛盾，表明直線m不存在。 ②當斜率不存在時，m的方程為x= －1，此時|PQ|=|y1－y2|=3,d=1，|PQ|≠， 所以不滿足題設。綜上，滿足題設的條件不存在。 21.證明： 因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面AB

16、CD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結EH， 則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 從而 （Ⅲ）解法一 以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為 所以 設點F是棱PC上的點，則 令 得 解得 即 時， 亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面. 又 BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，B

17、F//平面AEC. 解法二 當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC，證明如下， 證法一 取PE的中點M，連結FM，則FM//CE. ① 由 知E是MD的中點. 連結BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點. 所以 BM//OE. ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC. 證法二 因為 所以 、、共面. 又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. 22.解：假設這樣的{bn}存在，則應有 bn+1=== bn= 存在q≠0,q≠1,q為常數(shù)，使bn+1=qbn,對n∈N都成立，于是比較兩邊的分子和分母，有 由（1）可解得A=－1或－2，由（2）、（3）可解得B=－C或C=－2B。 1°若代入（2）知q=1（B、C不能為0，否則bn=0，不合題意要求）舍去。 2°若代入（2）得q= 3°當時，q= 4°當時，q=1（舍去） 故現(xiàn)只取A=－1，B=1，C=－2，q=（不必考慮時的情況，因為只證存在性）。 得bn= 所以滿足題設條件的數(shù)列存在.