《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 立體幾何中的探索問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 立體幾何中的探索問(wèn)題（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、立體幾何中的探索問(wèn)題 一、探索點(diǎn)的位置 例1.如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=4， AD=2，E為PC的中點(diǎn), 在線段AC上是否存在一點(diǎn) M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的長(zhǎng)；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：取AC中點(diǎn)M，連結(jié)EM、DM， 因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)， 所以EM//PA， 又因?yàn)镋M平面EDM，PA平面EDM， 所以PA//平面EDM 所以 即在AC邊上存在一點(diǎn)M，使得PA//平面EDM，AM的長(zhǎng)為. C

2、1 A1 C B1 A B D 例2.如圖，三棱柱中，⊥面，， ，為的中點(diǎn), 　 （2）求二面角的余弦值； （3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得 A1 A C1 z x y C B1 B D ？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 解：（1）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）， 設(shè)是面BDC1的一個(gè)法

3、向量，則 即， 取，易知是面ABC的一個(gè)法向量. . ∴二面角C1—BD—C的余弦值為. （2）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P使得CP⊥面BDC1. 設(shè)P（2，y，0）（0≤y≤3），則 ， 則，即. 解之∴方程組無(wú)解. ∴側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC1. 二、探索結(jié)論的存在性 例3.如圖，

4、已知三棱錐中，，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且． （1）求證：∥； （2）找出三棱錐中一組面與面垂直的位 置關(guān)系，并給出證明（只需找到一組即可） （1）證明：依題意 D為AB的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn) ∴ DM // PA 又, ∴ （2）平面PAC平面PBC (或平面PAB平面PBC) 證明：由已知AB＝2PD，又D為AB的中點(diǎn) 所以PD＝BD 又知M為PB的中點(diǎn)

5、 ∴ ，由（1）知 DM // PA ∴ 又由已知，且 故 ∴平面PAC平面PBC。 例4.已知一四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在何位 置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論。 解： 不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE。 證明如下：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　

6、 ∴BD⊥PC- 又∵ ∴BD⊥平面PAC　 ∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC ∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE 三、針對(duì)性練習(xí) 1. 四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA= AB =1，AD =2， 點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC邊上移動(dòng)． 證明，無(wú)論N點(diǎn)在BC邊上何處，都有PNAM. 證明：，是的中點(diǎn)， . 又平面， 平面， N E A B C

7、D P M . 又， ， 平面. 又平面, . 平面. 又平面， . 所以無(wú)論點(diǎn)在邊的何處， 都有. 2.在四棱錐中，底面是菱形，,在棱上是否存在點(diǎn) （異于點(diǎn)）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由. 解：不存在. 下面用反證法說(shuō)明. 假設(shè)存在點(diǎn)（異于點(diǎn)）使得∥平面. 在菱形中，∥， 因?yàn)?平面，平面， 所以 ∥平面. 因?yàn)?平面，平面， ， 所以 平

8、面∥平面. 而平面與平面相交，矛盾. 3. 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝，AC＝， AB＝2，BC＝1，D是棱CC1的中點(diǎn), 在棱AB上是否存在一點(diǎn)E， 使DE∥平面AB1C1？證明你的結(jié)論； 解: 當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1. 證明如下：取BB1的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，DE. ∵E、F分別為AB、BB1的中點(diǎn)， ∴EF∥AB1. ∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1

9、. 同理可證FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. S P D C B A 4．@9741)如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)。 （1）求證：； （2）若平面，求二面角的大?。? （3）在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)， 使得平面。若存在，求的值； 若不存在，試說(shuō)明理由。 解法一： （1）；連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別

10、為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。 設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高。 于是，， 則 ， 故, 從而 (2) 由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向 量，設(shè)所求二面角為，則, 所求二面角的大小為 （3）在棱上存在一點(diǎn)使.由（2）知是平面的一個(gè)法 向量，且 設(shè) 則 而 即當(dāng)時(shí)， 而不在平面內(nèi)，故 解法二：（1）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中， ，所以,得. (2) 設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。 又，所以, 連，由（Ⅰ）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。 由,知,所以, 即二面角的大小為。 (3）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使 由（2）可得，故可在上取一點(diǎn),使, 過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)即為。連BN。 在中知，又由于, 故平面，得, 由于,故.