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1、立體幾何中的二面角問題
一、常見基本題型：
(1)求二面角的大小
例1、已知斜三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，且
，M是的中點，
（1）求證：平面ABC；
（2）求二面角的余弦值。
解：（1）∵側(cè)面是菱形且 ∴為正三角形
又∵點為的中點 ∴
∵∥ ∴
由已知 ∴平面
（2）如圖建立空間直角坐標系
設(shè)菱形邊長為2
得，
2、
，
則，
，
設(shè)面的法向量，由,得
，令，得
設(shè)面的法向量， 由，得
,令，得
得.
又二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為。
（2）已知二面角的大小，求其它量。
例1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中點．
（I）求證：平面EAC⊥平面PBC;
（II）若二面角P-A C-E的余弦值為，求直線PA
3、 與平面EAC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACì平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵ACì平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如圖，以C為原點，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．
D
A
C
E
P
B
x
y
z
設(shè)P(0，0，a)（a＞0）， 則E(，－，），
＝(
4、1，1，0)，＝(0，0，a)，
＝（，－，），取m＝(1，－1，0)，則
m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量．
設(shè)n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，
則n·＝n·＝0，
即取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)，
依題意，|cosám，n?|＝＝＝，則a＝2．
于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，
則sinθ＝|cosá，n?|＝＝，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．
（3）求二面角的取值范圍
A
O
B
C
D
例3.如圖，已知△AOB，∠AOB＝，
5、∠BAO＝，AB＝4，D為線段AB的中點．若
△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B－AO－C的 大小為．
（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時，求的值；
（2）當(dāng)∈[，]時，求二面角C－OD－B的
余弦值的取值范圍．
解：（1）如圖，以O(shè)為原點，在平面OBC內(nèi)垂直于OB
的y
A
O
B
C
D
x
z
直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z
軸建立空間直角坐標系O－xyz，則A (0，0，2)，
B (0，2，0)， D (0，1，)，C (
6、2sin，2cos，0)．
設(shè)＝(x，y，z)為平面COD的一個法向量，
由 得，
取z＝sin，則＝(cos，－sin，sin)．
因為平面AOB的一個法向量為＝(1，0，0)，
由平面COD⊥平面AOB得＝0，
所以cos＝0，即＝．
（2）設(shè)二面角C－OD－B的大小為，由(Ⅰ)得當(dāng)＝時， cos＝0；
當(dāng)∈(，]時，tan≤－，
cos= ＝＝－， 故－≤cos＜0．
綜上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]．
二、針對性練習(xí)
1
7、. 如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，
,點在底面內(nèi)的射影恰好是的中點，
且.
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,
設(shè),求的值.
解: (1)取中點，連接，則面，
，
，
（2）以為軸,為軸,過點與面垂直方向為軸，
建立空間直角坐標系 設(shè)，
則
即
設(shè)面法向量；
面法向
8、量
，
2. 如圖，四棱錐的側(cè)面垂直于底面，，
，，在
棱上，是的中點，二面角為
（1）求的值；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
解：（1）建立如圖所示的坐標系，其中，，，
，，。
設(shè)，則，
于是，
設(shè) 為面的法向量，則，
，取，
又為面的法向量，由二面角為，
得，
解得故。
（2）由（1）知，為面的法向量
設(shè)直線與平面所成的角為，由得
，
所以直線與平面所成角的正弦值為。
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