《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 解三角形常考基本問題歸類》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 解三角形常考基本問題歸類（4頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、解三角形常考基本問題歸類 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近幾年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn)： 一、求解斜三角形中的基本元素：指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問 題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問題． 例1、中，，BC＝3，則的周長(zhǎng)為（ ） A． 　　　　　 B． C． 　　　　　　 D． 分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長(zhǎng)為3＋b＋c而得到結(jié)果． 解：由正弦定理得：，

2、 得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝． 故三角形的周長(zhǎng)為：3＋b＋c＝，故選(D)． 評(píng)注：由于本題是選擇題也可取△ABC為直角三角形時(shí)，即B＝，周長(zhǎng)應(yīng)為3＋ 3，故排除(A)、(B)、(C)．而選(D)． 例2、在ΔABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值． 分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且，設(shè)BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得：， ，解得，（舍去）

3、 故BC=2，從而， 即又， 故， 二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀． 例3 在中，已知，那么一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)． 解法2：由題意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝． ∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故選(B)． 評(píng)注：

4、判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng) 一化為邊，再判斷(如解法2)． 三、解決與面積有關(guān)問題：主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題． 例4、在中，若，，，則的面積S＝_________ 分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝AB?ACsinA即可解決． 解：由余弦定理，得cosA＝， 解得AC＝3．∴ S＝AB?ACsinA＝． ∴ AB?AC?sinA＝AC?h，得h＝AB? sinA＝，故選(A)． 四、求值問題 例5、 在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，

5、設(shè)滿足條件 和，求和的值． 分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理． 解：由余弦定理，因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知條件，應(yīng)用正弦定理 解得從而 五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用：利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣 泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下： （一.）測(cè)量問題 圖1 A B C D 例1 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸

6、邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。 分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上 的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、 ∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。 解析：由正弦定理得， ∴AC=AB=120m，又∵， 解得CD=60m。 點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。 （二.）遇險(xiǎn)問題 例2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海

7、里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)？ 西 北 南 東 A B C 30° 15° 圖2 解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點(diǎn)S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。 這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。 點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其

8、要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。 六、交匯問題：是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是 求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問題等知識(shí)交匯． 例6、△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列， （Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）設(shè)，求a＋c的值. 分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余 弦定理等． 解：（Ⅰ）由 由b2=ac及正弦定理得 則 （Ⅱ）由，得ca?cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b2＝2． 由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB， 得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. 即