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1、第4講 空間中的平行關(guān)系 隨堂演練鞏固 1.過平面外的直線l,作一組平面與相交,如果所得的交線為a,b,c,…,則這些交線的位置關(guān)系為( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一點 C.都相交但不一定交于同一點 D.都平行或都交于同一點 【答案】D 【解析】若l∥則a∥b∥c∥…,若l與相交于一點A時,則a,b,c,…都相交于點A. 2.給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面、、的三個命題: ①若l與m為異面直線∥則∥; ②若∥則l∥m; ③若∥則m∥n. 其中真命題的個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【

2、答案】C 【解析】①中當與不平行時,也能存在符合題意的l、m. ②中l(wèi)與m也可能異面. ③中 ∥m, 同理l∥n,則m∥n,正確. 3.下列命題中正確的個數(shù)是( ) ①若直線a不在內(nèi),則a∥; ②若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則l∥;③若直線l與平面平行,則l與內(nèi)的任意一條直線都平行; ④如果兩條平行線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行; ⑤若l與平面平行,則l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點; ⑥平行于同一平面的兩直線可以相交. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】時∴①錯; 直線l與相交時,l上

3、有無數(shù)個點不在內(nèi),故②錯; l∥時內(nèi)的直線與l平行或異面,故③錯; a∥b,b∥時,a∥或故④錯; l∥與無公共點,∴l(xiāng)與內(nèi)任一直線都無公共點,⑤正確; ⑥正確.故選B. 4.如圖,在空間四邊形ABCD中若則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是 . 【答案】平行 【解析】在平面ABD中 ∴MN∥BD. 又平面平面BCD, ∴MN∥平面BCD. 課后作業(yè)夯基 基礎鞏固 1.經(jīng)過平面外兩點,作與平行的平面,則這樣的平面可以作( ) A.0個 B.

4、1個 C.0個或1個 D.1個或無數(shù)個 【答案】C 【解析】如果這兩點所在的直線與平面平行,則可作一個平面與平面平行,若所在直線與平面相交,則不能作平面與平面平行. 2.和是兩個不重合的平面,在下列條件中可判定平面和平行的是( ) A.和都垂直于平面 B.內(nèi)不共線的三點到的距離相等 C.l,m是平面內(nèi)的直線,且l∥∥ D.l,m是兩條異面直線,且l∥∥∥∥ 【答案】D 【解析】利用面面平行的判定方法及平行間的轉(zhuǎn)化可知D正確. 3.已知直線m∥n,且m∥則n與的位置關(guān)系是 …( ) A.n∥ B. C.n∥或 D.n與相交 【答

5、案】C 【解析】m∥n,且m∥則n∥或故選C. 4.下列命題: ①平行于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩直線平行;③平行于同一直線的兩平面平行;④垂直于同一直線的兩平面平行. 其中正確的有( ) A.①②④ B.②④ C.②③④ D.③④ 【答案】B 【解析】注意平面中成立的幾何定理在空間中可能成立,也可能不成立;平行于同一平面的兩直線可以相交、異面和平行;平行于同一直線的兩平面可以相交. 5.設平面∥平面是AB的中點,當A、B分別在、內(nèi)運動時,那么所有的動點C( ) A.不共面 B.當且僅當A、B在兩條相交直線上移動時才共面

6、 C.當且僅當A、B在兩條給定的平行直線上移動時才共面 D.不論A、B如何移動都共面 【答案】D 【解析】不論A,B如何移動,點C均在與、距離相等的平面內(nèi),故選D. 6.正方體ABCD-中,E是的中點,則與平面ACE的位置關(guān)系為 . 【答案】平行 【解析】如圖,連接AC、BD交于O,連接EO,則EO∥. 又平面平面ACE,故∥平面ACE. 7.考察下列三個命題,在” ”處都缺少同一個條件,補上這個條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)、m為直線、為平面),則此條件為

7、 . ① ∥ ② ∥ ③ ∥ 【答案】 【解析】①體現(xiàn)的是線面平行的判定定理,缺的條件是”l為平面外的直線”即””,它同樣也適合②③,故填. 8.如圖,在正方體ABCD-中,E、F、G、H分別是棱、、、CD的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動,則M滿足條件 時,有MN∥平面. 【答案】 【解析】∵HN∥DB,FH∥ ∴平面FHN∥平面.故. 9.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥底面ABCD,E為PC的中點,則BE與平面

8、PAD的位置關(guān)系是 . 【答案】平行 【解析】取PD的中點F,連接EF,AF. 在△PCD中,EF 又∵AB∥CD,且CD=2AB, ∴EF ∴四邊形ABEF為平行四邊形. ∴EB∥AF. 又∵平面平面PAD, ∴BE∥平面PAD. 10.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E、F分別為AB、SC的中點,求證:EF∥平面SAD. 【證法一】作FG

9、∥DC交SD于點G, 則G為SD的中點. 連接AG,FG 又CD 故FG為平行四邊形. ∴EF∥AG. 又∵平面平面SAD, ∴EF∥平面SAD. 【證法二】 取線段CD的中點M,連接ME、MF, ∵E、F分別為AB、SC的中點, ∴ME∥AD,MF∥SD. 又∵平面SAD, ∴ME∥平面SAD,MF∥平面SAD. ∵ME、MF相交, ∴平面MEF∥平面SAD. ∵平面MEF,∴EF∥平面SAD. 11.

10、如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,PA=AC=點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論. 【解】存在,證明如下:取棱PC的中點F,線段PE的中點M,連接BD.設. 連接BF,MF,BM,OE. ∵PE∶ED=2∶1,F為PC的中點,E是MD的中點, ∴MF∥EC,BM∥OE. ∵平面平面平面平面AEC, ∴MF∥平面AEC,BM∥平面AEC. ∵ ∴平面BMF

11、∥平面AEC. 又平面BMF, ∴BF∥平面AEC. 12.如圖,在直四棱柱ABCD-中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一點F,使平面∥平面?若存在,求點F的位置;若不存在,請說明理由. 【解】 存在這樣的點F,使平面∥平面此時點F為AB的中點,證明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD,∴AF ∴AD∥CF. 又平面平面 ∴CF∥平面. 又∥平面 平面 ∴∥平面. 又、平面 ∴平面∥平面. 13.(2020安徽高考,文19)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD

12、上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形. (1)證明直線BC∥EF; (2)求棱錐F-OBED的體積. 【解】(1)證明:設G是線段DA與EB延長線的交點.由于△OAB與△ODE都是正三角形, 所以OB OG=OD=2. 同理,設G′是線段DA與FC延長線的交點,有OG′=OD=2.又由于G和G′都在線段DA的延長線上, 所以G與G′重合. 在△GED和△GFD中,由OB和OC,可知B和C分別是GE和GF的中點,所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF. (2

13、)由OB,知而△OED是邊長為2的正三角形,故. 所以. 過點F作交DG于點Q,由平面平面ACFD知,FQ就是四棱錐F-OBED的高,且 所以. 拓展延伸 14.如圖,在長方體ABCD-中,E是BC的中點,M,N分別是的中點，. (1)求證:MN∥平面; (2)求異面直線AE和所成角的余弦值. 【解】(1)證明:取CD的中點K,連接MK,NK. ∵M,N,K分別為的中點, ∴MK∥AD,NK∥.∴MK∥平面∥平面. ∴平面MNK∥平面. 又∵平面MNK, ∴MN∥平面. (2)取的中點F,連接AF,EF, 則從而四邊形CEFD為平行四邊形. ∴EF∥. ∴為異面直線AE和所成的角. 在△AEF中,易得. 由余弦定理,得cos ∴異面直線AE和所成角的余弦值為.