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1、常考常新的數(shù)列求和問題 524500 廣東省吳川市第一中學 柯厚寶 數(shù)列求和問題是歷年高考的重點和熱點之,也常是高考的“壓軸”之作.解決這類問題已有一套較為成熟的常規(guī)方法,但如何才能從常規(guī)中考出新意?是每年命題專家要思考的問題,而我們的問題是,如何抓住命題者的出新思路,尋求更對應(yīng)有效的解決方法?本文試探之. 一、一般數(shù)列,設(shè)計出新,歸納對之 例1(2009 江西)數(shù)列的通項,其前項和為,則 為( ) A．470 B．490 C．495 D．510 分析:可得,依次取值周期為3,重組合并得解. 解:由于,依

2、次取值以3 為周期,故 = =,故選A. 點評:本題以歸納為入口,用(其他項同理)拆項、再重組運用公式求和,其中隱含的“歸納法”、“拆項求和法”和“公式法”,是常用的求和方法. 跟蹤練習(2009 重慶改編):設(shè),,,,數(shù)列的前項和為,則= ．(答案:) 二、基本數(shù)列,思路出新,整體決之 例2(2009 寧夏)等差數(shù)列前項和為.已知+－=0,=38,則m=_______ 分析:由,求出即可得. 解:由得,而,∴或(舍去),于是,∴. 點評:由基本數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)的性質(zhì)結(jié)合整體運算,回避了繁雜的“基本量”思路整體的解決了問題.平時多總結(jié)一些“中間

3、”解題結(jié)論,可以有效提高解題效率. 跟蹤練習(2009 遼寧)設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若=3 ,則= (答案:) 三、綜合問題,包裝出新,拆裝為本 例3(2009 遼寧)等比數(shù)列{}的前項和為,已知對任意的,點均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. w (1)求的值; (2)當b=2時,記求數(shù)列的前項和. 分析:由“點在曲線上”,建立與的關(guān)系,再由“與法”求,也合適得;接著求,用“錯位相減法”可求得. 解:(1)∵點在函數(shù)的圖像上.∴,當時,;當時,, 因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以; (2)當b=2時,,, 則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4、 相減,得 = 所以. 點評:本題經(jīng)拆裝后,問題回歸到我們熟悉的數(shù)列問題,用上常用的“錯位相減法”即可求其和. 跟蹤練習:已知為二次函數(shù),不等式的解集為,且對任意,,恒有,.數(shù)列滿足, .設(shè).(1)求數(shù)列的通項公式; (2)若數(shù)列的前項和為,求數(shù)列的前n項和.(答案:(1);. 提示:由題意得,令, 出現(xiàn),確定的值,從關(guān)于的方程變形得關(guān)于的方程,可得,進而得與) 專題小訓練 一、選擇題 1.若數(shù)列滿足,則數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,且,則的最大值是 ( ) A.10 B.100 C.200

5、 D.400 2.設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項和為,若成等差數(shù)列,則的值為( ) A. B.2 C. D. 3.已知數(shù)列的通項公式為,設(shè)其前n項和為Sn,則使Sn<－5成立的自然數(shù)n有( ) A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31 4.在等差數(shù)列中,設(shè)為其前項和,已知,則等于 ( ) A. B. C. D. 5.已知數(shù)列的前項和,是等比數(shù)列的充要條件是 ( ) A. B.

6、 C. D. 6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,已知,+ 則下列結(jié)論中正確的是 ( ) A. B. C. D. 二、填空題 7.等差數(shù)列的前項和為,且則 8.已知在等差數(shù)列中,若,則n的最小值為 . 9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S2=10,S5=55,則過點P(n,an),Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直線的斜率為 . 10.對于集合N={1,2,3,…, n}的每一個非空子集,定義一個“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該

7、子集,然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6,集合{5}的交替和為5.當集合N中的n =2時,集合N={1,2}的所有非空子集為{1},{2},{1,2},則它的“交替和”的總和=1+2+(2–1)=4,則當時,= ______________; 根據(jù)、、,猜想集合N ={1,2,3,…,n}的每一個非空子集的“交替和”的總和= . 三、解答題 11.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且(c是常數(shù),N*),. (1)求c的值及的通項公式; (2)證明:. 12.已知數(shù)列中,,令. (1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (

8、2)設(shè)數(shù)列的前項的和為,求使成立的正整數(shù)的最小值. 13.已知且,數(shù)列的前項的和,數(shù)列滿足 ,. (1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)若對于區(qū)間上的任意實數(shù),總存在不小于2的自然數(shù),當時, 恒成立,求的最小值. 14.在平面上有一系列的點, 對于正整數(shù),點位于函數(shù)的圖像上,以點為圓心的與軸相切,且與又彼此外切,若,且 (1)則數(shù)列的通項公式; (2)設(shè)的面積為,比較與的大小. 參考答案 1.B ∵為“調(diào)和數(shù)列”,∴,即為等差數(shù)列,有, ∴,得. 2.D由題意,得,即,故, 即. 3.A , 由,得,∴. 4.C 可得,∴.

9、5.D 是等比數(shù)列,得, ,公比,由,∴.反之也成立. 6.A 的單調(diào)性,易得它在R上為單調(diào)遞增函數(shù),且為奇函數(shù). 由條件知,,有, 從而;∴. 又,在R上單調(diào)遞增,∴,得.故選A. 7. ,∵, 得. 8.62 由已知得,解得. 9.4 由,得,消去得,∴, ∴. 10.12; 當時,所有非空子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, ;同理得, ,∴. 11.(1)解:因為,所以當時,,解得, 當時,,即,解得, 所以,解得;則,數(shù)列的公差, 所以. (2)因為 . 因為,所以. 12.(1)證明:由,得

10、,兩式相減有, 而,∴,又. ∴是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列. (2)解:由(1)得,即, ∴==. 得,∴ =. 令 ①,則 ②. ①－②得= ∴,于是. 由,得,即. ∵當時,單調(diào)遞增,. ∴正整數(shù)的最小值為5. 13.解:(1)當時,,得. 由,得,∴恒有,從而, 故數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列. (2)由(1)得,, ∴ . 由,得恒成立,其中. 令,由,知,有. 結(jié)合一次函數(shù)的圖象有,解得或,又,∴. 綜上所述,自然的最小值為4. 14.解:(1)的半徑為,的半徑為,和兩圓相外切, 則即 整理,得又所以 即故數(shù)列是等差數(shù) 列,∴=; (2)由(1)得,又∴ ∴ 8