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1、力的合成與分解 (一)力的合成 一.合力與分力 1.定義：一個(gè)力產(chǎn)生的效果跟幾個(gè)力的共同作用產(chǎn)生的效果相同，則這個(gè)力就叫那幾個(gè)力的合力，那幾個(gè)力叫做分力。 2.合力與分力的關(guān)系：a.合力與分力是一種等效替代的關(guān)系，即分力與合力雖然不同時(shí)作用在物體上，但可以相互替代，能夠相互替代的條件是分力和合力的作用效果相同，但不能同時(shí)考慮分力的作用與合力的作用。b.兩個(gè)力的作用效果可以用一個(gè)力替代，進(jìn)一步想，滿足一定條件的多個(gè)力的作用效果也可由一個(gè)力來替代。 3.共點(diǎn)力：一個(gè)物體受到兩個(gè)或更多個(gè)力的作用，若它們的作用線交于一點(diǎn)或作用線的延長線交于一點(diǎn)，這一組力就是共點(diǎn)力。 二.力的合成 力的

2、合成的本質(zhì)就在于保證作用效果相同的前提下，用一個(gè)力的作用代替幾個(gè)力的作用，這個(gè)力就是那幾個(gè)力的“等效力”（合力）。力的平行四邊形定則是運(yùn)用“等效”觀點(diǎn)，通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的共點(diǎn)力的合成法則，它給出了尋求這種“等效代換”所遵循的規(guī)律。 1.定義：求幾個(gè)力的合力的過程叫做力的合成。 2.說明：力的合成的實(shí)質(zhì)是找一個(gè)力去替代作用在物體上的幾個(gè)已知的力，而不改變其作用效果的方法。 三.共點(diǎn)力合成的方法 1.平行四邊形定則 （1）內(nèi)容：兩個(gè)力合成時(shí)，以表示這兩個(gè)力的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)鄰邊之間的對角線就代表合力的大小和方向，這個(gè)法則叫做平行四邊形定則。 說明：平行四邊形定則是矢量運(yùn)算

3、的基本法則，本質(zhì)上是矢量的運(yùn)算法則（加減法）。 （2）應(yīng)用平行四邊形定則求合力的三點(diǎn)注意：a.力的標(biāo)度要適當(dāng)；b.虛線、實(shí)線要分清，表示分力和合力的兩條鄰邊和對角線畫實(shí)線，并加上箭頭，平行四邊形的另兩條邊畫虛線；c.求合力時(shí)既要求出合力的大小，還要求出合力的方向，不要忘了用量角器量出合力與某一分力間的夾角。 （3）平行四邊形定則可簡化成三角形定則（如圖甲、乙）。由三角形定則還可以得到一個(gè)有用的推論：如果n個(gè)力首尾相接組成一個(gè)封閉多邊形，則這n個(gè)力的合力為零。 2.作圖法：從力的作用點(diǎn)起，按同一標(biāo)度作出兩個(gè)分力F1和F2的圖示，再以F1和F2的圖示為鄰邊作平行四邊形，畫出過作用點(diǎn)的對角線，

4、量出對角線的長度，計(jì)算出合力的大小，量出對角線與某一力的夾角確定合力的方向(如圖所示)。 3.計(jì)算法：根據(jù)平行四邊形定則作出示意圖，然后利用解三角形的方法求出合力。幾種特殊情況：①相互垂直的兩個(gè)力合成，合力大小為F＝；②夾角為θ、大小相等的兩個(gè)力合成，其平行四邊形為菱形，對角線相互垂直，合力大小為F＝2F1cos；③夾角為120°、大小相等的兩個(gè)力合成，合力大小與分力相等，方向沿二力夾角的平分線；④求F、F2兩個(gè)共點(diǎn)力的合力的公式：Ｆ＝。 4.多個(gè)力合成的方法： 如果有兩個(gè)以上共點(diǎn)力作用在物體上，我們也可以應(yīng)用平行四邊形定則求出它們的合力：先求出任意兩個(gè)力的合力，再求出這個(gè)合力跟第三個(gè)力

5、的合力，直到把所有的力都合成進(jìn)去，最后得到的結(jié)果就是這些力的合力。 說明：①平行四邊形定則只適用于共點(diǎn)力的合成，對非共點(diǎn)力的合成不適用。②今后我們所研究的問題，凡是涉及力的運(yùn)算的題目，都是關(guān)于共點(diǎn)力方向的問題。 5.合力范圍的確定 (1)兩個(gè)共點(diǎn)力的合力范圍：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即兩個(gè)力的大小不變時(shí)，其合力隨夾角的增大而減?。?dāng)兩個(gè)力反向時(shí)，合力最小，為|F1－F2|；當(dāng)兩個(gè)力同向時(shí)，合力最大，為F1＋F2。 (2)三個(gè)共點(diǎn)力的合成范圍： ①最大值：三個(gè)力同向時(shí)，其合力最大，為Fmax＝F1＋F2＋F3。 ②最小值：以這三個(gè)力的大小為邊，如果能組成封閉的三角形（兩邊之和

6、大于第三邊，兩邊之差小于第三邊），則其合力的最小值為零，即Fmin＝0；如果不能，則合力的最小值的大小等于最大的一個(gè)力減去另外兩個(gè)力和的絕對值，即Fmin＝F1－|F2＋F3|(F1為三個(gè)力中最大的力)。 特別提醒：二個(gè)分力一定時(shí)，夾角θ越大，合力越小；合力一定，二等大分力的夾角越大，二分力越大；合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力的大小。 （二）力的分解 一.力的分解 1.定義:求一個(gè)已知力的分力叫力的分解。 2.注意:幾個(gè)分力與原來那個(gè)力是等效的，它們可以相互替代，并非同時(shí)存在。 3.力的分解定則:平行四邊形定則，力的分解是力的合成的逆運(yùn)算。兩個(gè)力的合力唯一確定，一個(gè)力的

7、兩個(gè)分力不是唯一的，如果沒有其他限制，對于一條對角線，可以作出無數(shù)個(gè)不同的平行四邊形(如圖所示)。即同一個(gè)力F可以分解成無數(shù)對大小、方向不同的分力。 二.力分解的方法 1.按效果進(jìn)行分解 力的作用效果有兩種，其一是便物體發(fā)生形變，其二是改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。效果一可以是單個(gè)力產(chǎn)生的，而效果二通常是合力共同作用的結(jié)果，其中一個(gè)力的效果往往由于其它個(gè)別力的存在無法直接體現(xiàn)，此時(shí)若想明確單個(gè)力的作用效果二，通常假設(shè)影響其效果二體現(xiàn)的其它力不存在。 （1）按力的效果分解力的規(guī)律 在形變方向上分解：根據(jù)前面所學(xué)彈力的方向與物體形變的方向相反（在同一直線上），而彈力的方向規(guī)律可以總結(jié)為：1）沿繩的

8、收縮方向；2）垂直接觸面。因此，一個(gè)力對與物體相連（接觸）的繩或面（線）產(chǎn)生傳遞而引起形變,因此力的分解方向與形變方向相同，即力的分解應(yīng)在：1）繩的方向；2）垂直接觸面。 在改變運(yùn)動(dòng)方向上分解：可以想像，若該物體與繩相接，其可運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)榇怪崩K方向（如家中的擺鐘，蕩秋千）；若該物體與面接觸，其可運(yùn)動(dòng)的方向是沿面方向。因此一個(gè)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)角度來分解，其分解的方向可以總結(jié)為：1）垂直繩方向；2）沿面方向。與繩相連的物體受力分解時(shí)的分解方向要么沿繩，要么就是與繩垂直；與面接觸的物體受力分解時(shí)的分解方向要么沿面，要么是垂直面，至今不見其二。 如何看出效果：把要分解的力放大或縮小，看其受力物體對其它

9、與之接觸的物體間形變的影響以及自身運(yùn)動(dòng)（趨勢）的影響。(特別說明：這里不包括桿連接物）。 （2）在實(shí)際分解中，常將一個(gè)力沿著該力的兩個(gè)效果方向進(jìn)行分解，效果分解法的方法步驟： ①畫出已知力的示意圖；②根據(jù)此力產(chǎn)生的兩個(gè)效果確定出分力的方向；③以該力為對角線作出兩個(gè)分力方向的平行四邊形，即作出兩個(gè)分力。 （3）利用平行四邊形定則求分力的方法 ①作圖法：利用平行四邊形作出其分力的圖示，按給定的標(biāo)度求出兩分力的大小，用量角器量出各分力與已知力間的夾角即分力的方向。 ②計(jì)算法：利用力的平行四邊形定則將已知力按幾何方法求解，作出各力的示意圖，再根據(jù)解幾何知識求出各分力的大小，確定各分力的方向。

10、 由上可知，解決力的分解問題的關(guān)鍵是根據(jù)力的作用效果，畫出力的平行四邊形，接著就轉(zhuǎn)化為一個(gè)根據(jù)已知邊角關(guān)系求解的幾何問題。因此其解題的基本思路可表示為： （4）力按作用效果分解的幾個(gè)典型實(shí)例 實(shí)例 分析 地面上物體受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物體沿水平地面前進(jìn)，另一方面向上提物體，因此拉力F可分解為水平向前的力F1和豎直向上的力F2。 質(zhì)量為m的物體靜止在斜面上，其重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使物體具有沿斜面下滑趨勢的分力F1；二是使物體壓緊斜面的分力F2，，。 質(zhì)量為m的光滑小球被豎直擋板擋住而靜止于斜面上時(shí)．其重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使球壓緊板的分力F1；二是使球

11、壓緊斜面的分力F2，，。 質(zhì)量為m的光滑小球被懸線掛靠在豎直墻壁上，其重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使球壓緊豎直墻壁的分力F1；二是使球拉緊懸線的分力F2，，。 A、B兩點(diǎn)位于同一平面上，質(zhì)量為m的物體由AO、BO兩線拉住，其重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使物體拉緊AO線的分力F2；二是使物體拉緊BO線的分力質(zhì)量為m的物體被支架懸掛而靜止，其重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是拉伸AB的分力F1；二是壓縮BC的分力F2，。 質(zhì)量為m的物體被支架懸掛而靜止，其重力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是拉伸AB的分力F1；二是壓縮BC的分力F2，，。 2.按問題的需要進(jìn)行分解（具體分以下三個(gè)方面） (1)已知合力和兩個(gè)分力的

12、方向，求兩個(gè)分力的大小。如圖所示，已知F和α、β，顯然該力的平行四邊形是唯一確定的，即F1和F2的大小也被唯一地確定了。 (2)已知合力和一個(gè)分力的大小與方向，求另一分力的大小和方向。如圖所示，已知F、F1和α，顯然此平行四邊形是唯一確定的，即F2的大小和方向(角β也已確定)也被唯一地確定了。 (3)已知合力、一個(gè)分力的方向和另一分力的大小，即已知F、α(F1與F的夾角)和F2的大小，這時(shí)則有如下的幾種可能情況： Ⅰ.第一種情況是F≥F2＞Fsinα，則有兩解。 Ⅱ.第二種情況是F2＝Fsinα?xí)r，則有唯一解。 Ⅲ.第三種情況是F2＜Fsinα?xí)r，則無解，因?yàn)榇藭r(shí)按所給的條件是無法組

13、成力的平行四邊形的。 Ⅳ.第四種情況是F2＞F時(shí)，則有唯一解，如圖所示。 3.力的分解中定解條件 將一個(gè)力F分解為兩個(gè)分力，根據(jù)力的平行四邊形定則，是以這個(gè)力F為平行四邊形的一條對角線作一個(gè)平行四邊形，在無附加條件限制時(shí)可作無數(shù)個(gè)不同的平行四邊形，這說明兩個(gè)力的合力可唯一確定，一個(gè)力的分力不是唯一的，要確定一個(gè)力的兩個(gè)分力，一定要有定解條件。 (1)已知合力(大小、方向)和兩個(gè)分力的方向，則兩個(gè)分力有唯一確定的值．如圖甲所示，要求把已知力F分解成沿OA、OB方向的兩個(gè)分力，可從F的矢(箭頭)端作OA、OB的平行線，畫出力的平行四邊形得兩個(gè)分力F1、F2。 (2)已知合

14、力(大小、方向)和一個(gè)分力(大小、方向),則另一個(gè)分力有唯一確定的值。如圖乙所示,已知F(合力),分力F1,則連接F和F1的矢端,即可作出力的平行四邊形得另一個(gè)分力F2。 (3)已知合力(大小、方向)和兩分力大小，則兩分力有兩組解，如圖所示，分別以O(shè)點(diǎn)和F的矢端為圓心，以F1、F2大小為半徑作圓，兩圓交于兩點(diǎn)，作出三角形如圖。 (4)已知合力(大小、方向)和一個(gè)分力的方向，則另一分力無確定值，且當(dāng)兩分力垂直時(shí)有最小值。如圖所示，假設(shè)F1與F的夾角為θ，分析方法如下： 以F的尾端為圓心，以F2的大小為半徑畫圓，看圓與F1的交點(diǎn)即可確定解釋的情形。 ①當(dāng)F2＜Fsinθ時(shí)，圓(如圓①)與F

15、1無交點(diǎn)，無解； ②當(dāng)F2＝Fsinθ時(shí)，圓(如圓②)與F1有一交點(diǎn)，故有唯—解，且F2最?。? ③當(dāng)Fsinθ＜F2＜F時(shí)，圓(如圓③)與F1有兩交點(diǎn)，有兩解； ④當(dāng)F2＞F時(shí)，圓(如圓④)與F1有一交點(diǎn)，有唯—解。 （5）用力的矢量三角形定則分析力最小值的規(guī)律： ①當(dāng)已知合力F的大小、方向及一個(gè)分力F1的方向時(shí)，另一個(gè)分力F2取最小值的條件是兩分力垂直。如圖所示，F(xiàn)2的最小值為：F2min=F sinα。 ②當(dāng)已知合力F的方向及一個(gè)分力F1的大小、方向時(shí)，另一個(gè)分力F2取最小值的條件是：所求分力F2與合力F垂直，如圖所示，F(xiàn)2的最小值為：F2min=F1sinα。 ③當(dāng)已知合

16、力F的大小及一個(gè)分力F1的大小時(shí)，另一個(gè)分力F2取最小值的條件是：已知大小的分力F1與合力F同方向，F(xiàn)2的最小值為｜F－F1｜。 4.正交分解法 在處理力的合成和分解的復(fù)雜問題時(shí)，有一種比較簡便宜行的方法——正交分解法。求多個(gè)共點(diǎn)力合成時(shí)，如果連續(xù)運(yùn)用平行四邊形法則求解，一般說來要求解若干個(gè)斜三角形，一次又一次地求部分的合力的大小和方向，計(jì)算過程顯得十分復(fù)雜，如果采用力的正交分解法求合力，計(jì)算過程就簡單多了。 (1)定義：把一個(gè)力分解為相互垂直的分力的方法。 (2)優(yōu)點(diǎn)：把物體所受的不同方向的各個(gè)力都分解到相互垂直的兩個(gè)方向上去，然后再求每個(gè)方向上的分力的代數(shù)和，這樣就把復(fù)雜的矢量運(yùn)算

17、轉(zhuǎn)化成了簡單的代數(shù)運(yùn)算，最后再求兩個(gè)互成90°角的力的合力就簡便多了。 (3)運(yùn)用正交分解法解題的步驟 ①明確研究對象。 ②正確選擇直角坐標(biāo)系，進(jìn)行受力分析。通常選擇共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角坐標(biāo)x、y的選擇可按下列原則去確定：(a)使盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上；(b)沿物體運(yùn)動(dòng)方向或加速度方向設(shè)置一個(gè)坐標(biāo)軸；(c)若各種設(shè)置效果一樣，則沿水平方向、豎直方向設(shè)置兩坐標(biāo)軸。 ③正交分解各力，即分別將各力投影到坐標(biāo)軸上，分別求x軸和y軸上各力投影的合力Fx和Fy,其中Fx=F1x+F2x+F3x+…；Fy=F1y+F2y+F3y+… ④求Fx與Fy的合力即為共點(diǎn)力的合力(如圖所示):合

18、力大?。海狭Φ姆较蚺cx軸夾角θ滿足：tanθ= 提示：①使用正交分解法時(shí)，坐標(biāo)軸的建立非常關(guān)鍵，一般情況下，應(yīng)使盡可能多的力“落”在坐標(biāo)軸上或關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；②在實(shí)際問題中進(jìn)行力的分解時(shí)，有實(shí)際意義的分解方法是按力的實(shí)際效果進(jìn)行分解，其他的分解方法都是為了解題方便而利用的。 三.力的圖解法 根據(jù)平行四邊形定則，利用鄰邊及其夾角跟對角線長短的關(guān)系分析力的大小變化情況的方法，通常叫做圖解法。也可將平行四邊形定則簡化成三角形定則處理，更簡單。圖解法具有直觀、簡便的特點(diǎn)，多用于定性研究。應(yīng)用圖解法時(shí)應(yīng)注意正確判斷某個(gè)分力方向的變化情況及其空間范圍。 用矢量三角形定則分析最小力的規(guī)律： (1

19、)當(dāng)已知合力F的大小、方向及一個(gè)分力F1的方向時(shí)，另一個(gè)分力F2的最小條件是：兩個(gè)分力垂直，如圖甲.最小的F2＝Fsinα。 (2)當(dāng)已知合力F的方向及一個(gè)分力F1的大小、方向時(shí)，另一個(gè)分力F2最小的條件是：所求分力F2與合力F垂直，如圖乙.最小的F2＝F1sinα。 (3)當(dāng)已知合力F的大小及一個(gè)分力F1的大小時(shí)，另一個(gè)分力F2最小的條件是：已知大小的分力F1與合力F同方向。最小的F2＝|F－F1|。 四.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證力的平行四邊形定則 1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?驗(yàn)證力的平行四邊形定則 2.實(shí)驗(yàn)器材:方木板、白紙、彈簧測力計(jì)（2個(gè)）、橡皮筋、細(xì)繩套（2個(gè)）、鉛筆、刻度尺、圖釘?shù)取? 3.實(shí)驗(yàn)原

20、理：結(jié)點(diǎn)受三個(gè)共點(diǎn)力作用處于平衡狀態(tài)，則F1、F2之合力必與F3平衡，改用一個(gè)拉力F′使結(jié)點(diǎn)仍到O，則F必與F1、F2的合力等效，與F3平衡，以F1、F2為鄰邊作平行四邊形求出合力F，比較F′與F的大小和方向，以驗(yàn)證力合成時(shí)的平行四邊形定則。 4.實(shí)驗(yàn)步驟：(1)用圖釘把白紙釘在方木板上。(2)把方木板平放在桌面上，用圖釘把橡皮條的一端固定在A點(diǎn)，橡皮條的另一端拴上細(xì)繩套。(3)用兩只彈簧秤分別鉤住細(xì)繩套，互成角度的拉橡皮條，使橡皮條伸長到某一位置O(如圖所示)用鉛筆描下O點(diǎn)的位置和兩條細(xì)繩的方向，并記錄彈簧秤的讀數(shù)。注意在使用彈簧秤的時(shí)候，要使細(xì)繩與木板平面平行。(4)用鉛筆和刻度尺從力的

21、作用點(diǎn)(位置O)沿著兩條繩套的方向畫直線，按選定的標(biāo)度作出這兩只彈簧秤的拉力F1和F2的圖示,以F1和F2為鄰邊利用刻度尺和三角板作平行四邊形，過O點(diǎn)畫平行四邊形的對角線，即為合力F的圖示。(5)只用一只彈簧秤通過細(xì)繩套把橡皮條的結(jié)點(diǎn)拉到同樣的位置O，記下彈簧秤的讀數(shù)和細(xì)繩的方向，用刻度尺從O點(diǎn)按選定的標(biāo)度沿記錄的方向作出這只彈簧秤的拉力F′的圖示。(6)比較一下,力F′與用平行四邊形法則求出的合力F在大小和方向上是否相同。(7)改變兩個(gè)力F1、F2的大小和夾角，再重復(fù)實(shí)驗(yàn)兩次。 5.注意事項(xiàng)：（1）彈簧測力計(jì)在使用前應(yīng)檢查、校正零點(diǎn)，檢查量程和最小刻度單位。（2）用來測量F1和F2的兩個(gè)彈

22、簧測力計(jì)應(yīng)用規(guī)格、性能相同，挑選的方法是：將兩只彈簧測力計(jì)互相鉤著，向相反方向拉，若兩彈簧測力計(jì)對應(yīng)的示數(shù)相等，則可同時(shí)使用。（3）使用彈簧測力計(jì)測拉力時(shí)，拉力應(yīng)沿彈簧測力計(jì)的軸線方向，彈簧測力計(jì)、橡皮筋、細(xì)繩套應(yīng)位于與木板平行的同一平面內(nèi)，要防止彈簧卡殼，防止彈簧測力計(jì)或橡皮筋與紙面摩擦。拉力應(yīng)適當(dāng)大一些，但拉伸時(shí)不要超出量程。（4）選用的橡皮筋應(yīng)富有彈性，能發(fā)生彈性形變，實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)緩慢地將橡皮筋拉伸到預(yù)定的長度．同一次實(shí)驗(yàn)中，橡皮筋拉長后的結(jié)點(diǎn)位置必須保持不變。（5）準(zhǔn)確作圖是本實(shí)驗(yàn)減小誤差的重要一環(huán)，為了做到準(zhǔn)確作圖，拉橡皮筋的細(xì)繩要長一些；結(jié)點(diǎn)口的定位應(yīng)力求準(zhǔn)確；畫力的圖示時(shí)應(yīng)選用恰當(dāng)?shù)膯挝粯?biāo)度；作力的合成圖時(shí)，應(yīng)盡量將圖畫得大些。（6）白紙不要過小，并應(yīng)靠木板下邊緣固定，A點(diǎn)選在靠近木板上邊的中點(diǎn)為宜，以使O點(diǎn)能確定在紙的上側(cè)。