《（教師用書）2020學(xué)年高中物理 第六章第3節(jié) 萬有引力定律的建立素材 新人教版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（教師用書）2020學(xué)年高中物理 第六章第3節(jié) 萬有引力定律的建立素材 新人教版必修2（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、萬有引力定律的建立 萬有引力定律的建立過程是牛頓通過對運(yùn)動的研究，探索出自然力的規(guī)律的最輝煌的范例。本節(jié)將依據(jù)牛頓在各個時期寫的手稿和論著，探討牛頓引力思想的發(fā)展過程，以期回答下述問題：牛頓是怎樣依據(jù)他的運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)公式推導(dǎo)出“離心力”公式，又如何結(jié)合開普勒定律推導(dǎo)出引力的平方反比律的？他是如何依據(jù)天文觀測和大地測量的結(jié)果進(jìn)行地月驗證的？又是如何解決橢圓軌道上運(yùn)動物體的引力以及球體引力的問題？他是怎樣確立引力普適性概念，對引力定律進(jìn)行實驗驗證的？ 3.2.1? 引力平方反比律的發(fā)現(xiàn) 引力平方反比律是1665年到1667年牛頓在家鄉(xiāng)居住躲避瘟疫的時期發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)時他24歲左右，

2、正值青春年華、才思敏捷的時代，他的引力思想正是在這二年間孕育、發(fā)展和形成的。后來牛頓在談到他在1666年間一系列重要發(fā)現(xiàn)時寫道：“這一年里，我開始想把重力推廣到月球的運(yùn)行軌道上去，在求出了在內(nèi)球面上一個旋轉(zhuǎn)的小球?qū)η蛎娴膲毫?，我就從行星運(yùn)轉(zhuǎn)周期的平方同它們到太陽的平均距離的立方成正比的開普勒定律推導(dǎo)出：使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉(zhuǎn)中心的距離的平方成反比。而后把使月球保持在它軌道上所需要的力和地球表面的重力做了比較，發(fā)現(xiàn)它們近似相等。所有這一切都是在1665年和1666年瘟疫流行的年代里發(fā)現(xiàn)的。那時我正處于發(fā)明創(chuàng)造的青春年代，并且比任何時候都更關(guān)心數(shù)學(xué)和哲學(xué)?！? 在1664年

3、—1665年寫的《未發(fā)表的記事手稿》中，牛頓討論了在圓形軌道上運(yùn)動的質(zhì)點所受的向心力的問題，這是推導(dǎo)引力平方反比定律的必由之路。當(dāng)時力學(xué)的發(fā)展處于萌芽時期，力的概念還是很模糊的，沖量、動量都包含在力的概念之中。在這樣一個認(rèn)識水平上，牛頓運(yùn)用他頭腦中正在萌發(fā)的、尚未準(zhǔn)確表述的運(yùn)動定律，即力正比于運(yùn)動量的改變，以及數(shù)學(xué)上的極限概念和幾何學(xué)方法，非常巧妙地得出了“離心力”定律。 在圖3.8中，他假設(shè)一個小球在半徑為R的圓筒內(nèi)表面上沿abcda作圓運(yùn)動，如果圓筒內(nèi)壁不控制其運(yùn)動，小球在b點或d點就會沿切線bj或dk飛離出去。由此看來，所有作圓周運(yùn)動的物體都力圖脫離它們的運(yùn)動中心。為了

4、求出作圓運(yùn)動的小球的“離心力”的大小，他先從圓內(nèi)接正方形路徑(如圖3.9中abcda所示)開始討論。他首先分析一次碰撞時小球?qū)ζ鞅诘臎_量。他寫道：“在小球從a運(yùn)動到b時，小球反射時對壁的壓力(指沖量)：小球運(yùn)動的力(指動量)=ab∶fa”。用現(xiàn)代的術(shù)語來解釋就是器壁對小球的沖量應(yīng)等于小球動量的變化。當(dāng)小球以45°的入射角射向光滑壁面的時候，它將以同樣大小的動量，在反射角45°的方向上反射出來。對b點動量變化與沖量的關(guān)系如圖3.10所示，器壁對小球的沖量的大小為 ｜I｜=｜mv2-mv1｜=｜△mv｜ 因為???????????????????????? v1=v2=v 這與牛頓第二定

5、律完全一致，但是，當(dāng)時他還沒有這樣明確的表述。根據(jù)以上分析，他得出4次反射的情形：“4次反射的力(指沖量)：小球運(yùn)動的力(指動量)=4ab：fa”。他把此結(jié)果推廣到無窮多邊的多邊形，從而得出結(jié)論：“全部反射力與物體運(yùn)動的力之比如同全部邊長(即周長)對半徑之比?！? “全部反射力”指小球在旋轉(zhuǎn)一周的時間T內(nèi)小球的“離心力”的沖量，即FT。按照上述結(jié)論可得 時并沒有給出這一公式。 1669年前，牛頓在《論圓運(yùn)動》的手稿中，根據(jù)慣性原理、自由落體定律和正在他頭腦中萌發(fā)的牛頓第二定律，通過幾何分析，又得到了他的離心力公式。他在這篇文章中明確地提出了引力的平方反比定律。他寫道：“由于

6、行星到太陽的距離的立方同它們運(yùn)行周期的平方成正比，所以行星退離太陽的離心力與行星到太陽的距離的平方成反比?！? 牛頓在這里沒有敘述他的推導(dǎo)過程。但是有了他的離心力公式和開普勒第三定律，我們很容易從勻速圓周運(yùn)動的向心力公式得出上述結(jié)論，即 亦即 F∝1/R2。 值得注意的是，在牛頓早期的著作中并沒有使用向心力這一術(shù)語。在1684年，他寫的《論運(yùn)動》的手稿中，首次提出了向心力的定義：“我稱之為的向心力是物體被吸引或迫使向某個中心點的力?！痹凇对怼芬粫校诌M(jìn)行了非常明晰的討論，并把在圓運(yùn)動中物體受到的向心力和它所具有的慣性離心趨勢加以區(qū)別。 3.2.2? 引力平方反比律的地月驗

7、證 牛頓晚年的摯友彭伯頓博士，在他的《哲學(xué)解釋》的序言中講述了牛頓關(guān)于引力思索的一個生動的故事：“1666年，他在沃爾斯索普村家里躲避瘟疫時，有一次他獨自坐在花園里，忽然看到一個蘋果從樹上掉了下來，他吃了一驚，同時便沉浸在引力的思索中。沉思引起的巨大威力，即使是在我們所能夠達(dá)到的，離地心很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方，這種引力也絲毫不見減小。不管是在最高的建筑的最上層，還是在最高的山頂上都是一樣。因而他就想，是否可以設(shè)想，這種力的作用范圍可能要比通常設(shè)想的還要大得多，比如說一直延續(xù)到月亮。如果是這樣的話，月亮的運(yùn)動必定受到引力的影響，甚至很可能這個力就是使月亮維持在它的軌道上的原因?！? 這個關(guān)于引力思

8、索的故事，說明牛頓開始產(chǎn)生了把地面上物體的重力與保持月亮在它的軌道上的力看成同一本質(zhì)的力的想法。蘋果落地激起了一個偉大科學(xué)家的頭腦的靈感，牛頓以他非凡的洞察力在落體運(yùn)動與月亮運(yùn)動之間搭起了一座智慧之橋，覺察到了天體運(yùn)動與地球上的運(yùn)動的統(tǒng)一性。這個故事是牛頓在發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的艱苦歷程中的一個有趣的小插曲，當(dāng)然不能把它訛傳為牛頓看到蘋果落地就發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。 牛頓在1669年前寫的《論圓運(yùn)動》中，開始對引力的平方反比律進(jìn)行地月驗證。他把維持月亮在它的軌道上的力與地球表面上的重力做了比較。牛頓當(dāng)時是這樣分析問題的，在圖3.11中，設(shè)月球在軌道上的任意點A，如果它不受任何力，它將沿一直線AB運(yùn)

9、行，AB與 事實上向C下落的高度h=BD，讓我們計算一下月球一秒鐘降落多少，并把它同地面附近一水平拋射體在同樣時間落下的距離加以比較。 由圖3.11可見在△ABD和△ABE中，∠BAD=∠BEA，且∠DBA是公共角，所以，2個三角形相似，由此得 月亮在1s內(nèi)下落的距離為 要求出h值，我們需要知道半徑R和周期T。他利用了天體測量的結(jié)果：月亮與地球之間的距離是地球半徑的60倍，月亮繞地球一周的時間為27d 7h 43min或27.321 6d。他采用了當(dāng)時地球表面大圓弧上一度為60mile(1mile=1609.3m)的公共量度，得到地球半徑為3500mil

10、e，1mile又等于5280ft，將以上數(shù)據(jù)代入上式，得 他把這一數(shù)據(jù)和伽利略測量的地球表面上的重物在1s內(nèi)下落16ft的數(shù)據(jù)加以比較，有 一個物體，在相同時間內(nèi)h∝a∝F。牛頓知道月亮軌道的半徑約為地球本身半徑的60倍。如果引力與距離的平方成反比的關(guān)系成立，上式應(yīng)為1/3600，二者相差14％，這說明在開始進(jìn)行地月檢驗時，牛頓的計算與預(yù)期的結(jié)果并不是“相當(dāng)接近”，而是“不太符合”。 13年后的1682年，牛頓獲悉畢卡爾的地球經(jīng)度一度之長為69.1mile，依據(jù)這數(shù)字牛頓重新計算，才使計算結(jié)果與實驗觀測相符合，從而證明引力與距離的平方成反比的關(guān)系是正確的。 3.2.3?

11、 在橢圓軌道上運(yùn)動物體所受的引力 行星繞日運(yùn)動的軌道究竟是什么樣的，這是當(dāng)時科學(xué)界所關(guān)心的問題。1679年，哈雷與倫恩也按照圓形軌道由開普勒第三定律和惠更斯在1673年發(fā)表的向心力的公式，證明了作用于行星的引力與它們到太陽的距離的平方成反比。但是他們不能證明行星在橢圓軌道上也是如此。這年10月24日，胡克在給牛頓的信中，提出了引力反比于距離的平方的猜測，并問道：如果是這樣，行星的軌道將是什么形狀？胡克給牛頓的信重新激起了牛頓對動力學(xué)的興趣，使牛頓把他的注意力轉(zhuǎn)到橢圓運(yùn)動問題。 1684年1月，倫恩、哈雷和胡克三位當(dāng)時英國科學(xué)界著名人士在倫敦相敘，討論行星運(yùn)動的軌道問題。胡克說他已通曉，

12、但拿不出計算結(jié)果。于是牛頓的好友哈雷專程去劍橋請教牛頓。牛頓告訴哈雷他在1679年做了行星在橢圓軌道上時引力平方反比律的證明，斷然地說，行星繞日軌道是個橢圓，但手稿壓置5年之久，一時找不到，應(yīng)允重新計算，約期三個月后交稿。哈雷按約再度訪劍橋，牛頓交出一份手稿《論運(yùn)動》，哈雷大為贊嘆。 這份手稿一開始就提出3條假設(shè)：①如果物體不受到阻力或其它外力，將一直做勻速直線運(yùn)動；②運(yùn)動的變化永遠(yuǎn)正比于使運(yùn)動發(fā)生變化的力；③運(yùn)動合成遵循矢量相加的平行四邊形法則。這些假設(shè)的提出表明力學(xué)的基本定律已經(jīng)開始形成，但還不完備，還未上升到理論的高度。 他首先根據(jù)開普勒第一定律(即行星繞太陽作橢圓運(yùn)動)，證明了各個

13、行星必然受到太陽的引力，這些引力的方向指向太陽，太陽就是這些引力的中心。為此他提出并論證了下述命題一。 命題一：如果一個物體在真空中運(yùn)動而且被一個固定中心所吸引，它將在一個固定平面內(nèi)運(yùn)動，而且在相等的時間內(nèi)，物體與力心的連線，掃過相等的面積。 如圖3.12所示，令A(yù)為力心，假設(shè)把時間分成許多相等的小段，在第1段時間內(nèi)，物體從B勻速運(yùn)動到C，如果沒有受力，它將沿直線BC運(yùn)動到I，而且CI=BC。若在C點它受到一個推向A的沖力，在沖力的作用下它沿CD線運(yùn)動。從I點作平行于CA的直線得ID，D就是第2個瞬時末物體所在的位置。由于同底等高，△ACD和△ACI的面積相等，也等于△ABC的面積

14、。同理，如果在第2，第3，第4，第5各瞬時末，物體在D，E，F(xiàn)，G各點受到指向A的沖力的作用，將使物體在每一段相等的時間內(nèi)經(jīng)過直線段DE，EF和FG等等。而且△AED，△AFE和△AGF的面積都等于△ADC，△ABC。因此在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積?，F(xiàn)在假定時間間隔無限地減小，而三角形的數(shù)目無限地增大，那么，引力的沖力就可能變成連續(xù)的，而由無限多小線段組成的折線就可能變成一條曲線，在連續(xù)的引力作用下，物體與力心的連線所掃過的面積和物體運(yùn)行的時間成正比。 把這一定律應(yīng)用于開普勒行星運(yùn)動圖象。從開普勒的等面積定律和命題1的逆命題，就可以得出作用在行星上的力都是指向太陽的，太陽是吸引行星的力心。

15、解決了這一問題后，牛頓就可以討論在指向焦點的力的作用下，物體在橢圓上運(yùn)動的問題，進(jìn)一步探討物體受力的大小與物體到力心的距離的關(guān)系，為此他提出并論證了命題二。 命題二：如果在橢圓上運(yùn)動的物體受到一個指向橢圓焦點的引力，在橢圓的兩個頂點處物體受到的引力與物體到焦點的距離的平方成反比。 它們視為直線。這樣扇形的面積就變成直角三角形的面積。由此得 即 設(shè)AM和CN是通過頂點A和C的切線，分別作AM與CN的垂線ME和DN。因為橢圓在C，A兩點是同樣彎曲的，所以EM與DN之比等于AE的平方和CD的平方之比，即 當(dāng)物體在頂點不受力時，將沿切線AM，CN運(yùn)動。在這段時

16、間內(nèi)，引力的作用相當(dāng)于使物體從M運(yùn)動到E，從N運(yùn)動到D，所以物體在橢圓頂點A受的引力與在頂點C受的引力之比等于ME與ND之比，從而與距離的平方成反比，即 在命題3中，他依據(jù)上述三條力學(xué)假設(shè)、開普勒的等面積定律和橢圓的幾何關(guān)系，推導(dǎo)出了在橢圓上運(yùn)動的物體，在任意點處物體受到的引力與物體到焦點的距離的平方成反比。 3.2.4? 球體引力問題的解決，引力普適性概念的確立 1685年春天，牛頓以卓越的徹底革命精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度解決了求解球體引力的問題。他在《原理》中證明了：一個均勻的實心球體對外部質(zhì)點的吸引力是與球的質(zhì)量集中在中心時產(chǎn)生的吸引力是相同的，引力的大小與粒子到球心的距離

17、的平方成反比。因此，兩個球互相吸引時，與彼此的質(zhì)量好像集中在各自中心時產(chǎn)生的吸引力一樣，引力的大小與兩個球心之間的距離平方成反比。因而，討論引力的問題時，太陽、行星可以當(dāng)作質(zhì)點來處理。 在討論球體引力的問題時，牛頓進(jìn)一步把質(zhì)量概念引進(jìn)球體引力定理。他提出：在球心距離相同的條件下，兩個球之間的引力正比于兩個球的物質(zhì)的量的乘積；在球心距離不同的條件下，引力與兩個球的物質(zhì)的量的乘積成正比而與球心之間的距離的平方成反比。在《原理》第三篇宇宙體系中，他精辟地表達(dá)了萬有引力定律：“一切物體所具有的引力正比于它們各自所包含的物質(zhì)的量，與距離的平方成反比?！? 如果我們用m1及m2分別表示二物體的質(zhì)量，R表

18、示二者之間的距離，則引力F為 (3.2) 這就是萬有引力定律的數(shù)學(xué)表示式，式中G是引力常數(shù)。 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)揭示了引力的“萬有性”或“普適性”。以前牛頓只考慮太陽對行星的引力，沒有考慮行星之間的引力。依照這種理論，行星繞太陽的運(yùn)動是嚴(yán)格的橢圓。在1684年8至10月間寫的一本小冊子《論物體運(yùn)動》中，他根據(jù)太陽相對于太陽系重心(應(yīng)理解為質(zhì)心)的位移，發(fā)現(xiàn)向心力并不總是指向系統(tǒng)的重心。因此，他認(rèn)為“這些行星既不是嚴(yán)格地作橢圓運(yùn)動，也不會在同一軌道上繞行兩次?！边€認(rèn)為“每個行星的軌道依賴于所有行星的聯(lián)合運(yùn)動以及它們之間的相互作用。”對這個結(jié)果如果只考慮太陽引力是無法解釋的，所以牛頓說只

19、有計及行星彼此之間的作用，才能說明行星的運(yùn)動。這意味著引力不僅是太陽的本性，同樣也是行星的屬性。1685年，牛頓在《原理》中，提到引力是物體的普遍屬性時寫道：“如果依靠實驗和天文觀察，普遍發(fā)現(xiàn)地球周圍的所有物體都被吸向地球，而且這種吸引正比于這些物體各自所含的物質(zhì)之量，月球同樣也按其物質(zhì)之量而被地球所吸引；另一方面，我們的海洋又被月球所吸引；所有行星都相互吸引，而且彗星也以同樣方式被太陽所吸引；那么，根據(jù)這條法則，我們必須普遍承認(rèn)，所有物體都天然具有相互吸引的本性。” 在牛頓以前，無論是東方還是西方，天與地的區(qū)分是根深蒂固的。沒有任何一項成果能說明天上運(yùn)動與地上運(yùn)動服從相同的規(guī)律。牛頓的引力

20、定律體現(xiàn)了天上運(yùn)動與地上運(yùn)動的統(tǒng)一性，它把開普勒的行星運(yùn)動和伽利略的落體與拋體運(yùn)動統(tǒng)一了，從而把天體運(yùn)動納入到根據(jù)地面上的實驗得出的力學(xué)原理之中。這是物理學(xué)史上第一次偉大的綜合，也是人類認(rèn)識上一次巨大的飛躍。 關(guān)于引力的機(jī)制，牛頓對此沒有做過任何假設(shè)。他在《原理》最后一節(jié)中提到引力的起源時寫道：“一直到現(xiàn)在，我已將天體現(xiàn)象及海洋運(yùn)動用重力來說明了，但重力之來源如何，卻沒有說過，此項力必有一原因，貫徹至太陽及行星之中心，完全不受絲毫損失……我還沒有方法由此項現(xiàn)象以推及重力之根源，我亦不想設(shè)立一假設(shè)?！迸ｎD認(rèn)為在沒有從觀察和實驗中發(fā)現(xiàn)重力之原因時，決不杜撰假設(shè)。他在《原理》第三篇哲學(xué)中的推理法則

21、第一條中寫道：“除了那些真實而已足夠說明其現(xiàn)象者外，不必去尋求自然界事物的其它原因?！? 有種說法把引力有超距作用歸之于牛頓，這是沒有根據(jù)的，他在《原理》中未提此說。在缺乏實驗線索的情況下，他拒絕提出一種使引力效應(yīng)從一物體傳到另一物體的機(jī)制，但這并不意味著他同意超距作用。1692年2月25日他在寫給神學(xué)家本特利的信中，這樣寫道：“在我看來，說引力是物質(zhì)本身固有的、內(nèi)在的和根本的，因而一物體可穿過真空距離作用于另一物體，毋需有其它的東西作為媒介把它們的作用和力傳達(dá)到另一物體上，這是甚為荒謬的。因為我相信，凡是在哲學(xué)方面有思考能力的人決不會陷入這種謬論之中。引力必然是持續(xù)不斷地按一定規(guī)律施加作用的動因造成的，至于這個動因究竟是物質(zhì)的抑或非物質(zhì)的，我則留給讀者自己去考慮?！?