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1、專題限時集訓(十五)A [第15講　圓錐曲線中的熱點問題] (時間：5分鐘＋40分鐘) 基礎演練 1．已知a，b為正常數(shù)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個定點，且|F1F2|＝2a(a是正常數(shù))，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，則動點P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線 2．若直線y＝kx＋1與焦點在x軸上的橢圓＋＝1恒有公共點，則m的取值范圍為(　　) A．01 3．以拋物線y2＝8x上的任意一點為圓心作圓與直線x＋2＝0相切，這些圓必過一定點，則這一定點的坐標是(　

2、　) A．(0，2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，4) 4．已知點P是雙曲線－＝1上任一點，過P作x軸的垂線，垂足為Q，則PQ的中點M的軌跡方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 5．若拋物線y2＝2px的焦點在圓(x－p)2＋(y－1)2＝4內，則實數(shù)p的取值范圍是____． 提升訓練 6．在直角坐標平面內，已知兩點A(－2，0)，B(2，0)，動點Q到點A的距離為6，線段BQ的垂直平分線交AQ于點P，則點P的軌跡方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 7．已知點P為拋物線x2＝12y的

3、焦點，A，B是雙曲線3x2－y2＝12的兩個頂點，則△APB的面積為(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 8．已知P為橢圓＋＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 9．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D．. 10．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－3)2＝

4、1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是________． 11．已知動點M(x，y)，向量m＝(x－3，y)，n＝(x＋3，y)，且滿足|m|＋|n|＝8，則動點P的軌跡方程是____________． 12．如圖15-1所示，直線y＝m與拋物線y2＝4x交于點A，與圓(x－1)2＋y2＝4的實線部分交于點B, F為拋物線的焦點，則△ABF的周長的取值范圍是________． 圖15-1 13．已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，P(2，0)為定點． (1)若點P為拋物線的焦點，求拋物線C的方程． (2)若動圓M過點P，且圓心M在拋物線

5、C上運動，點A，B是圓M與y軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由． 14．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線l：x－y＋＝0與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA, MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1, k2, 且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點(－1，－1)． 15．已知拋物線的頂點為(0，0)，準線為x＝－2，不垂直

6、于x軸的直線x＝ty＋1與該拋物線交于A，B兩點，圓M以AB為直徑． (1)求拋物線的方程． (2)圓M交x軸的負半軸于點C，是否存在實數(shù)t，使得 △ABC的內切圓的圓心在x軸上？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由． 專題限時集訓(十五)B [第15講　圓錐曲線中的熱點問題] (時間：5分鐘＋40分鐘) 基礎演練 1．如圖15-2，橢圓C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2＋y2＝t，b＜t1＜a.點A1，A2分別為C0的左，右頂點．C1與C0相交于A，B，C，D四點． (1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程； (2)設動圓C2：x2＋y2

7、＝t與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等．證明：t＋t為定值． 圖15-2 2．已知動點P到直線l：x＋4＝0的距離與它到點M(2，0)的距離之差為2，記點P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程． (2)問直線l上是否存在點Q，使得過點Q且斜率分別為k1，k2的兩直線與曲線C相切，同時滿足k1＋2k2＝0？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 3．已知圓心為F1的圓的方程為(x＋2)2 ＋y2＝32，F(xiàn)2(2，0)，C是圓

8、F1上的動點，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M. (1)求動點M的軌跡方程； (2)設N(0，2)，過點P(－1，－2)作直線l，交M的軌跡于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1＋k2為定值． 提升訓練 4．如圖15-3所示，兩條相交線段AB，PQ的四個端點都在拋物線y2＝x上，其中，直線AB的方程為x＝m，直線PQ的方程為y＝x＋n. (1)若n＝0，∠BAP＝∠BAQ，求m的值． (2)探究：是否存在常數(shù)m，當n變化時，恒有∠BAP＝∠BAQ? 圖15-3

9、 5．設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點． (1)若直線AP與BP的斜率之積為－，求橢圓的離心率； (2)若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞. 專題限時集訓(十五)A 【基礎演練】 1．C　[解析] 因為a2＋1≥2a(當且僅當a＝1時，等號成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|.當a≠1時，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此時動點P的軌跡是橢圓；當a＝1時，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此時動點P的軌跡是線段F1F2. 2．B　[解

10、析] 由于直線y＝kx＋1過定點(0，1)，要使直線與橢圓恒有公共點，只需定點(0，1)在橢圓上或橢圓內，所以m≥1.由于焦點在x軸上，所以0

11、AQ于點P，所以|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，所以|PA|＋|PB|＝|AQ|＝6，又|PA|＋|PB|>|AB|，從而點P的軌跡是中心在原點，以A，B為焦點的橢圓，其中2a＝6，2c＝4，所以b2＝9－4＝5，所以橢圓方程為＋＝1. 7．B　[解析] 依題有P，A，B，故OP＝3，AB＝4，所以S△APB＝·|AB|·|OP|＝×4×3＝6. 8．B　[解析] 由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 9．A　[解析] 直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準線，由拋

12、物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F(1，0)的距離，故本題轉化為在拋物線y2＝4x上找一個點P，使得P到點F(1，0)和直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝＝2. 10．－1　[解析] 根據(jù)拋物線的定義知，點P到準線的距離即點P到焦點F(1，0)的距離．因為焦點F到圓心(0，3)的距離為，所以點P到圓上點Q與到準線距離之和的最小值為－1. 11．＋＝1　[解析] 由已知得＋＝8，即動點P到兩定點M (3，0)，N(－3，0)的距離之和為常數(shù)，且|PM|＋|PN|>|MN|＝6，所以動點P的軌跡是橢圓，且2a＝8，

13、2c＝6，所以橢圓方程為＋＝1. 12．(4，6)　[解析] 過A作AA′垂直準線交準線于A′，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，而焦點恰為圓的圓心，所以△ABF的周長C＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝|AA′|＋|AB|＋|BF|＝|BA′|＋|BF|，顯然2<|BA′|<4，所以4

14、令x＝0，得y2－2by＋4a－4＝0，則y1＋y2＝2b，y1·y2＝4a－4.所以|AB|＝＝＝.設拋物線C的方程為y2＝mx(m≠0)，因為圓心M在拋物線C上，所以b2＝ma，所以|AB|＝＝.由此可得，當m＝4時，|AB|＝4為定值．故存在一條拋物線y2＝4x，使|AB|為定值4. 14．解：(1)由題意得e＝，b＝＝1， 即＝，a2－c2＝1，解得a＝， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)當直線AB的斜率不存在時，設A(x0，y0)，則B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得 ＋ ＝ 2，得x0＝－1， 當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y＝kx＋b(b≠1)，A(x

15、1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0， 則x1＋x2＝，x1·x2＝. ∵k1＋k2＝2，∴＋＝2，∴＝2， 即(2－2k)x2x1＝(b－1)(x2＋x1)，∴(2－2k)(2b2－2)＝(b－1)(－4kb)， ∵b≠1，上式化簡得(1－k)(b＋1)＝－kb，∴k＝b＋1， 即y＝kx＋b＝(b＋1)x＋b?b(x＋1)＝y(tǒng)－x， 故直線AB過定點(－1，－1)． 15．解：(1)設拋物線方程為y2＝ax(a>0)， 又a＝2×4＝8， ∴拋物線方程為y2＝8x. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

16、 C(x0，0)． 由得y2－8ty－8＝0， 則 由點C在以AB為直徑的圓上可得·＝0. 又＝(x1－x0，y1－0)，＝(x2－x0，y2－0)， ∴(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2＝0. 又x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1， ∴1－[t(y1＋y2)＋2]x0＋x＋y1y2＝0， ∴x－(8t2＋2)x0－7＝0.(*) 若存在t，使得△ABC的內心在x軸上，則kCA＋kCB＝0， ∴＋＝0， 即2ty1y2＋(y1＋y2)(1－x0)＝0， 即2t(－8)＋8t(1－x0)＝0， ∴x0＝－1. 結合(*)得，t＝±. 專題限時集訓(十五)B

17、【基礎演練】 1．解：(1)設A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，則 直線A1A的方程為y＝(x＋a)，① 直線A2B的方程為y＝(x－a)，② 由①②得y2＝(x2－a2)．③ 由點A(x1，y1)在橢圓C0上，故＋＝1. 從而y＝b2，代入③得 －＝1(x＜－a，y＜0). (2)證明： 設A′(x2，y2)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，得 4|x1||y1|＝4|x2||y2|， 故xy＝xy. 因為點A，A′均在橢圓上，所以 b2x＝b2x， 由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2. 從而

18、y＋y＝b2， 因此t＋t＝a2＋b2為定值． 2．解：(1)根據(jù)拋物線的定義，曲線C是以(2，0)為焦點，x＝－2為準線的拋物線，所以p＝4. 故曲線C的方程為y2＝8x. (2)設Q(－4，y0)，過Q與曲線C相切的直線設為y－y0＝k(x＋4)(k≠0)， 聯(lián)立得ky2－8y＋8y0＋32k＝0. Δ＝64－4k(8y0＋32k)＝0，即4k2＋y0k－2＝0， 所以因為k1，k2是兩切線的斜率且滿足 k1＝－2k2，所以解得 又因為k1·k2＝－，所以y0＝±2. 故存在點Q(－4，2)和(－4，－2)，使得過點Q的兩直線與曲線C相切，且滿足k1＋2k2＝0. 3

19、．解：(1)由線段的垂直平分線的性質，得|MF2|＝|MC|, 又|F1C|＝4 ，∴|MF1|＋|MC|＝4 ，∴|MF1|＋|MF2|＝4 ， ∴ 動點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，長軸長為4 的橢圓． 由c＝2，a＝2 ，得b2＝a2－c2＝4， ∴動點M的軌跡方程為＋＝1. (2)當直線l的斜率不存在時， 求得A ，B，則k1＋k2＝4. 當直線l的斜率存在時，設其方程為y＋2＝k(x＋1), 由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0, 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－， x1x2＝， 從而k1＋k2＝＋＝＝ 2

20、k－(k－4)＝4， 綜上，恒有k1＋k2＝4. 【提升訓練】 4．解：(1)由解得P(0，0)，Q(4，2)． 因為∠BAP＝∠BAQ，所以kAP＋kAQ＝0. 設A(m，y0)，則＋＝0， 化簡得my0＝2y0＋m， 又y＝m，聯(lián)立解得m＝1或m＝4. 因為AB平分∠PAQ，所以m＝4不合適，故m＝1. (2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得y2－2y＋2n＝0. Δ＝4(1－2n)，y1＋y2＝2，y1y2＝2n. 若存在常數(shù)m，當n變化時，恒有∠BAP＝∠BAQ，則由(1)知，只可能m＝1. 當m＝1時，A(1，－1)，∠BAP＝∠BAQ等價于＋

21、＝0， 即(y1＋1)(2y2－2n－1)＋(y2＋1)(2y1－2n－1)＝0， 即4y1y2＝(2n－1)(y1＋y2)＋2(2n＋1)， 即8n＝2(2n－1)＋2(2n＋1)，此式恒成立． 也可以從kAP＋kAQ＝＋＝＝0恒成立來說明 所以，存在常數(shù)m＝1，當n變化時，恒有∠BAP＝∠BAQ. 5．解：(1)設點P的坐標為(x0，y0)． 由題意，有＋＝1.?、? 由A(－a，0)，B(a，0)，得kAP＝，kBP＝. 由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以橢圓的離心率e＝. (

22、2)證明：(方法一) 依題意，直線OP的方程為y＝kx， 設點P的坐標為(x0，y0)． 由條件得消去y0并整理得 x＝.② 由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2＋4.由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|>. (方法二)依題意，直線OP的方程為y＝kx，可設點P的坐標為(x0，kx0)．由點P在橢圓上，有＋＝1.因為a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1， 即(1＋k2)x＜a2.③ 由|AP|＝|OA|，A(－a，0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞.