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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 教案《等差、等比數(shù)列》 第二講 等差數(shù)列及前n項(xiàng)和 7．2等差、等比數(shù)列（一） 本節(jié)約需3課時(shí) 【考綱要求】 1．理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念． 2．掌握等

2、差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式． 3．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比 數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題． 4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 【知識(shí)梳理】 1．等差、等比數(shù)列的定義及等差、等比中項(xiàng) （1）如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 （ ）是同一個(gè)常數(shù)，那么，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列（等比數(shù)列），符號(hào)表示為 （ ）（是常數(shù)） 等價(jià)形式：； （2）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，其中

3、 若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則叫做與的等比中項(xiàng)，其中 2．等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式 （1）通項(xiàng)公式： ， ；（與一次函數(shù)的關(guān)系） ， （與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系） （2）前項(xiàng)和公式 ＝ （與二次函數(shù)的關(guān)系） ＝ （注意：公比等于1的情況） （3）等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值、最小值： 在等差數(shù)列中， 若，,則有最大值，可由不等式組來(lái)決

4、定 若，,則有最小值，可由不等式組來(lái)決定 已知通項(xiàng)公式用此法 若已知前項(xiàng)和，可用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值以及取得最值時(shí)的值。 3．等差等比數(shù)列的性質(zhì) 已知等差（等比）數(shù)列 （1）若，則 （ ） 特別地，若，則 （ ） 推廣：項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，項(xiàng)成等差數(shù)列（項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，項(xiàng)成 等比數(shù)列） （2）成等差數(shù)列，公差；（等比數(shù)列，公比） 是等差數(shù)列 （3）等差數(shù)列中 為奇數(shù)時(shí)，；即 為

5、偶數(shù)時(shí)， （4）增減性 等差數(shù)列中， 時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列； 時(shí)， 數(shù)列為遞減數(shù)列； 時(shí)，數(shù)列為 數(shù)列； 等比數(shù)列中， 時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列； 時(shí)，數(shù)列 為遞減數(shù)列； 時(shí)，數(shù)列為 數(shù)列；時(shí)，數(shù)列為 數(shù)列 【方法歸納】 1．思想方法 方程的思想：等差（等比）數(shù)列的問(wèn)題，通過(guò)（）之間 的關(guān)系，列方程組求出基本量首項(xiàng)和公差（公比），問(wèn)題 可迎刃而解。 注意：恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用相關(guān)性

6、質(zhì)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算 整體思想： 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)：，則 涉及到等比數(shù)列前項(xiàng)和的問(wèn)題，經(jīng)常做整體看待 函數(shù)的思想：數(shù)列是特殊的函數(shù)，如等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值、等差數(shù)列的 增減性等，都可利用一次、二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。 類(lèi)比的思想：等差數(shù)列中的“差”，“和”，“倍數(shù)”等關(guān)系，類(lèi)比到等比數(shù)列中就是 “商”，“積”，“冪”的關(guān)系。 2．等差（等比）數(shù)列的判定方法 （1）定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列. （常數(shù)）是等比數(shù)列. （2）中項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列. 且是等比數(shù)列 （3）通項(xiàng)公式法：為

7、常數(shù)是等差數(shù)列. 為常數(shù)是等比數(shù)列. （4）前項(xiàng)和法：為常數(shù)是等差數(shù)列. 【基礎(chǔ)自測(cè)】 第84頁(yè)第1－5題，第87頁(yè)第1－5題， 【例題精析】 題型一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 例1 設(shè)等差數(shù)列滿(mǎn)足 （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值 分析（1）； （2），當(dāng)時(shí)，取得最大值。 例2 等比數(shù)列中，為公比，為前項(xiàng)和 （1）則 （ ；或 ） ； （2）則 ； （3）則 ； （4），，則公比 （1或－） （5）若，，則 （） （6）

8、 ， . 分析：由求得或 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 題型二 等差、等比數(shù)列的判定與證明 例1 已知數(shù)列滿(mǎn)足，令， 求證數(shù)列是等差數(shù)列。 分析：利用等差數(shù)列的定義 由知，， 而， 故是等差數(shù)列。 例2 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知， （1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：（1）已知之間的關(guān)系，利用， 當(dāng)時(shí)， ， 所以 ，所以，，即 所以，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 （2）由（1）可得，即，兩邊同除以可得，，所以，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以 例3 已知數(shù)列滿(mǎn)足 （1）令，證明

9、是等比數(shù)列； （2）求的通項(xiàng)公式。 分析：（1）利用等比數(shù)列的定義，只需證明是與無(wú)關(guān)的常量。 由題設(shè)可得，，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的 等比數(shù)列； （2），即，根據(jù)類(lèi)差法可 題型三 等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例1 已知數(shù)列是等差數(shù)列 （1）前四項(xiàng)的和為，末四項(xiàng)的和為，前的和為，則項(xiàng)數(shù) ＝ 26 ； （2）若則 54 （3）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為44，偶數(shù)項(xiàng)的和為33，則數(shù)列的中間項(xiàng)為 11 ，項(xiàng)數(shù)為 7 （4）若，則通項(xiàng)公式 （?；颍? （5）若，且，則 48 （） 例2 若、都是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，且， 則 。 例3（1）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若 150 。（構(gòu)成等比數(shù)列， 公比為2） （2）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 10 。 例4 在等比數(shù)列中，已知，， 則 （）。 --------------------------------------------------