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1、柯西準(zhǔn)則及其應(yīng)用摘要：柯西準(zhǔn)則是實(shí)數(shù)完備性六大定理之一，它是極限論的基礎(chǔ)它的應(yīng)用貫穿于數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)始終一般地，數(shù)學(xué)分析課程教材在討論柯西準(zhǔn)則時(shí)都只就一種情形來討論，本文將補(bǔ)給并詳細(xì)證明其它五種情形函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，同時(shí)探討總結(jié)柯西準(zhǔn)則在極限、級(jí)數(shù)、積分等方面的靈活應(yīng)用關(guān)鍵詞：柯西準(zhǔn)則；應(yīng)用；極限存在；優(yōu)越性朗讀顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音字典 引言：柯西準(zhǔn)則是實(shí)數(shù)完備性六大定理之一，它是極限論的基礎(chǔ)它的應(yīng)用非常廣泛，貫穿于數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)始終一般地，數(shù)學(xué)分析課程教材在討論柯西準(zhǔn)則時(shí)都只就一種情形來討論，即設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)()，使得對(duì)任何，都有事實(shí)上，當(dāng)，五種

2、情形函數(shù)極限存在的柯西準(zhǔn)則可以類比，它們的應(yīng)用也非常廣泛本文將詳細(xì)敘述并證明其它五種情形函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，同時(shí)探討總結(jié)柯西準(zhǔn)則在極限、級(jí)數(shù)、積分等方面的靈活應(yīng)用，充分展示其在解決上述幾個(gè)方面問題的優(yōu)越性和博大精深之處1 柯西準(zhǔn)則的其它五種形式定理1.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，均有，存在正數(shù)(，存在正數(shù)(存在使得當(dāng)時(shí)有從而有于是，按數(shù)列極限的柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列的極限存在，記為，即設(shè)另一數(shù)列且，則如上所證，存在，記為現(xiàn)證，為此，考慮數(shù)列易見且，故仍如上面所證，也收斂于是，作為的兩個(gè)子列，與必有相同的極限，所以由歸結(jié)原則推得證畢定理1.2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義存

3、在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，均有，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，均有證 先證必要性設(shè)，按照定義，于是再證充分性設(shè)，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，均有，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，均有定理1.5的證明可以類似前面4個(gè)定理的證明2 歸納柯西準(zhǔn)則在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用2.1柯西準(zhǔn)則在實(shí)數(shù)完備性理論中的應(yīng)用實(shí)數(shù)完備性是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，其六大定理即確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、柯西準(zhǔn)則，建立了實(shí)數(shù)完備性理論的骨架作為六大定理之一的柯西準(zhǔn)則，起著至關(guān)重要的作用，由該準(zhǔn)

4、則入手，可依次推出其它五個(gè)定理2.1.1用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證 設(shè)為非空有上界數(shù)集由實(shí)數(shù)的阿基米德性，對(duì)任何正數(shù)，存在整數(shù)，使得為的上界，而不是的上界，即存在，使得分別取則對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，存在相應(yīng)的，使得為的上界，而不是的上界，故存在，使得 （1）又對(duì)正整數(shù)，是的上界，故有結(jié)合（1）式得；同理有從而得 于是，對(duì)任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)有由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂記 （2）現(xiàn)在證明就是的上確界首先，對(duì)任何和正整數(shù)有，由(2)式得，即是的一個(gè)上界其次，對(duì)任何，由及(2)式，對(duì)充分大的同時(shí)有又因不是的上界，故存在，使得結(jié)合上式得這說明為的上確界 同理可證：若為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界2

5、.1.2 用平面點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則證明閉區(qū)間套定理證 在閉域套的每一個(gè)閉域內(nèi)任取一點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)各點(diǎn)各不相同的平面點(diǎn)列，則對(duì)一切自然數(shù)，由于，以，因此由定義任給，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)，都有，根據(jù)柯西準(zhǔn)則收斂，記現(xiàn)證為此任意取定則因?yàn)閷?duì)一切自然數(shù)都有，由定義知是的聚點(diǎn)，而閉域必為閉集，所以它的聚點(diǎn)最后證明的唯一性，若還有則由于，所以2.2 柯西準(zhǔn)則是極限論的基礎(chǔ)，許多斂散性判別法都由它導(dǎo)出2.2.1 柯西準(zhǔn)則在數(shù)列收斂性判定中的應(yīng)用數(shù)列收斂有數(shù)列發(fā)散使得例1 應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則，證明數(shù)列收斂證 對(duì)取，則對(duì)，有 而由知，故由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂2.2.2 柯西準(zhǔn)則在函數(shù)極限存在性判定中

6、的應(yīng)用不存在的充要條件是：，對(duì)，都存在，使得例2 證明極限不存在證 可取，對(duì)任何，設(shè)正整數(shù)，令則有，而于是按照柯西準(zhǔn)則，極限不存在2.2.3 柯西準(zhǔn)則在無窮積分與瑕積分收斂性判定中的應(yīng)用因?yàn)闊o窮積分的斂散性是由變上限函數(shù)存在與否確定的因此，可由函數(shù)極限存在的柯西準(zhǔn)則導(dǎo)出無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則：無窮積分收斂有同理，由函數(shù)極限存在的柯西準(zhǔn)則可直接推出瑕積分（a為瑕點(diǎn)）收斂的柯西準(zhǔn)則：瑕積分（a為瑕點(diǎn)）收斂有例3 設(shè)在上連續(xù)可微，并且如果(當(dāng)時(shí))，其中為一常數(shù)試證：證 （反證）假設(shè)，則使對(duì)，總有因?yàn)樵谏线B續(xù)可微，故在上一致連續(xù)，于是，使當(dāng)時(shí)，又因收斂，故時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)該，存在，故，當(dāng)時(shí) 矛盾2.2.4

7、 柯西準(zhǔn)則在級(jí)數(shù)收斂性判定中的應(yīng)用因?yàn)榧?jí)數(shù)的斂散性是由其前項(xiàng)和數(shù)列的斂散性確定的所以，由收斂的柯西準(zhǔn)則直接可得級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則：收斂有例4 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：對(duì)任意的正整數(shù)序列都有證 必要性 因?yàn)槭諗?，所以?duì)當(dāng)及有特別地所以充分性 用反證法若發(fā)散，則及自然數(shù)，使特別及自然數(shù)使，及自然數(shù)，使 這與矛盾所以級(jí)數(shù)是收斂的例5應(yīng)用級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù)收斂證 由于因此，對(duì)任給，取，使當(dāng)及對(duì)任意正整數(shù)，由上式就有依級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則推得級(jí)數(shù)是收斂的2.2.5 柯西準(zhǔn)則在函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判定中的應(yīng)用由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則易推得函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則：函數(shù)列在上一致收斂有又因?yàn)楹瘮?shù)項(xiàng)級(jí)

8、數(shù)的一致收斂性是由其部分和函數(shù)列的一致收斂性確定的所以，可用函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則直接推出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則：在上一致收斂 當(dāng)時(shí)，有 進(jìn)一步易推出判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂常用的魏爾斯特拉斯判別法例6 證明：若對(duì)，有且收斂，則函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂證 ， 因?yàn)槭諗?，故有有所以函?shù)列在區(qū)間上一致收斂例7 設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：若與都絕對(duì)收斂，則在上絕對(duì)且一致收斂證 因?yàn)榕c絕對(duì)收斂對(duì)當(dāng)時(shí)，對(duì)有又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以對(duì)有 或 由一致收斂的柯西準(zhǔn)則可推出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上絕對(duì)且一致收斂柯西準(zhǔn)則的優(yōu)越性柯西準(zhǔn)則的優(yōu)越性是顯然的，在數(shù)學(xué)分析中，凡涉及到“收斂”與“一致收斂”概念都有內(nèi)容相應(yīng)的柯西

9、收斂（或一致收斂）準(zhǔn)則，其最大的優(yōu)點(diǎn)是不需借助于數(shù)列（或函數(shù)）以外的任何信息，只依據(jù)各項(xiàng)的具體特點(diǎn)來解決相應(yīng)的問題，使得看似復(fù)雜的問題變的簡(jiǎn)單易懂它具有整齊完美的形式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，使得許多抽象的數(shù)學(xué)理論形象可見在數(shù)學(xué)分析中有非常重要的理論價(jià)值，所以深刻理解柯西準(zhǔn)則很重要參考文獻(xiàn)1 責(zé)任編輯高尚華，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，2001年，第三版2 崔萬臣，談柯西準(zhǔn)則在數(shù)學(xué)分析中的作用，唐山師專學(xué)報(bào)，1993年，第21卷，第2期3 王安斌、賓紅華，用柯西準(zhǔn)則證明幾個(gè)相關(guān)命題，數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004年，第24卷，第4期4 陳祥平，對(duì)柯西準(zhǔn)則教學(xué)的體會(huì)，濟(jì)寧師專學(xué)報(bào)，1998

10、年，第19卷，第6期5 薛懷玉，上完備性定理的等價(jià)，咸陽師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)（自然學(xué)版），1998年，第13卷，第6期6 錢吉林，數(shù)學(xué)分析題解精粹，湘北長(zhǎng)江出版集團(tuán)，2009年，第二版7 劉玉鏈、傅沛仁，數(shù)學(xué)分析講義，高等教育出版社，2003年，第三版8 陳紀(jì)修、於崇華、金路，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，2004年，第二版Cauchy criterion and its applicationAbstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers

11、. it is the foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis, its application has always been. In general, During the curriculum materials of the mathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only a situation thatis discussed. This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on. Keywords: Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority第12頁