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1、第一章 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1-1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，。式中x、y的單位為m，t的單位為。試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為 當(dāng)t 0 時(shí), vox -10 m-1 , voy 15 m-1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為,則12341(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設(shè)a 與x 軸的夾角為,則-3341(或32619)1-2 一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得其加速度aA-Bv，式中A、B 為正恒量，求

2、石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向?yàn)閥 軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1) 由題 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當(dāng),t時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1-3 一個(gè)正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即a= - kv2，k為常數(shù)。在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，試證：（1）船在t時(shí)刻的速度大小為 ；（2）

3、在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為 ；（3）船在行駛距離x時(shí)的速率為v=v0e-kx。證明（1）分離變數(shù)得， 故 ，可得： （2）公式可化為，由于v = dx/dt，所以：積分 因此 (3 ) 要求 v( x)，可由 ，有積分得證畢Hhv0圖1-18 習(xí)題1-4圖14行人身高為h，若人以勻速v0用繩拉一小車行走，而小車放在距地面高為H的光滑平臺(tái)上，求小車移動(dòng)的速度和加速度。解：人前進(jìn)的速度v0，則繩子前進(jìn)的速度大小等于車移動(dòng)的速度大小，所以小車移動(dòng)的速度小車移動(dòng)的加速度1-5 質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為 ，a 的單位為 m/s2，x 的單位為 m。質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m/s，試求質(zhì)點(diǎn)在

4、任何坐標(biāo)處的速度值。解： 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時(shí)，, 1-6 如圖所示，一彈性球由靜止開始自由下落高度 h 后落在一傾角的斜面上，與斜面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運(yùn)動(dòng)，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)。解：小球落地時(shí)速度為 建立直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖 （1） （2）第二次落地時(shí) 所以 17一人扔石頭的最大出手速率為v25m/s，他能擊中一個(gè)與他的手水平距離L=50m，高h(yuǎn)=13m的目標(biāo)嗎？在此距離上他能擊中的最大高度是多少？解：由運(yùn)動(dòng)方程,消去t得軌跡方程以x05.0m ，v25ms1代入后得取g10.0，則當(dāng)時(shí)，13所以他不能射中，能射中得最大高度

5、為1-8 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，v0 、b 都是常量。(1) 求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；(2) t 為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達(dá)到b 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)由給定的運(yùn)動(dòng)方程s s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量sst -s0因圓周長為2R,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得解(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為,

6、 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1-9 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：，式中為正的常量。求：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（2）質(zhì)點(diǎn)的速度大??；（3）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。解： （1）軌道方程為 這是一條空間螺旋線。在O平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓，螺距為h（2） （3） ， 110飛機(jī)以100ms-1的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)處。問：（1）此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)？（2）投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？（3）物品投出2s

7、后，它的法向加速度和切向加速度各為多少？解：（1）（2） （3） 111一無風(fēng)的下雨天，一列火車以v1=20m/s的速度勻速前進(jìn)，在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降，求雨滴下落的速度v2。（設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng)）解：以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為V1,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為V2，旅客看到雨滴下落速度V2為相對(duì)速度，它們之間的關(guān)系為112升降機(jī)以加速度a0=1.22ms-2上升，當(dāng)上升速度為2.44ms-1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板脫落，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m，試求：（1）螺帽從天花板落到底面所需時(shí)間；（2）螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離。解：

8、（1）以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度為a=g+a,螺絲落到底面時(shí)，有 （2）由于升降機(jī)在t時(shí)間內(nèi)的高度為則113飛機(jī)A相對(duì)地面以vA =1000km/h的速率向南飛行，另一飛機(jī)B相對(duì)地面以vB =800 km/h的速率向東偏南30方向飛行。求飛機(jī)A相對(duì)飛機(jī)B的速度。解：114 一人能在靜水中以1.10ms-1的速度劃船前進(jìn)，今欲橫渡一寬為1000m、水流速度為0.55ms1的大河。（1），那么應(yīng)如何確定劃行方向？到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間？（2）如果希望用最短的時(shí)間過河，應(yīng)如何確定劃行方向？船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？解：如圖（1）若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一點(diǎn)，則劃行速度和水流

9、速度u的合速度的方向正對(duì)著岸，設(shè)劃行速度合速度的夾角為如圖（2）用最短的時(shí)間過河，則劃行速度的方向正對(duì)著岸115設(shè)有一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處，飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為，而空氣相對(duì)地面的速率為u，A、B間的距離為l。（1）假定空氣是靜止的（即u=0），求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間；（2）假定空氣的速度向東，求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間；（3）假定空氣的速度向北，求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間。解：由相對(duì)速度的矢量關(guān)系有（1）空氣時(shí)靜止的，即u0，則往返時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度就等于飛機(jī)相對(duì)空氣的速度v（圖（1），故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間(2) 空氣的速度向東時(shí)，當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)，風(fēng)速與飛機(jī)相對(duì)空氣的速度

10、同向；返回時(shí)，兩者剛好相反（圖（2），故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間為(3) 空氣的速度向北時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度的大小由可得為，故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間為vuv(1)(2)vu第二章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)AB習(xí)題2-1圖aAmgTATBaBmg21如本題圖，A、B兩物體質(zhì)量均為m，用質(zhì)量不計(jì)的滑輪和細(xì)繩連接，并不計(jì)摩擦，則A和B的加速度大小各為多少 。解：如圖由受力分析得習(xí)題22圖22如本題圖所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m=3.0kg，物體A以加速度a=1.0m/s2 運(yùn)動(dòng)，求物體B與桌面間的摩擦力。（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)）解：分別對(duì)物體和滑輪受力分析（如圖），由牛頓定律和動(dòng)力學(xué)方程得，2-3 如圖所示，

11、細(xì)線不可伸長，細(xì)線、定滑輪、動(dòng)滑輪的質(zhì)量均不計(jì)已知。求各物體運(yùn)動(dòng)的加速度及各段細(xì)線中的張力。習(xí)題2-3 圖解：設(shè)m1下落的加速度為a1，因而動(dòng)滑輪也以a1上升。再設(shè)m2相對(duì)動(dòng)滑輪以加速度a下落，m3相對(duì)動(dòng)滑輪以加速度a上升，二者相對(duì)地面的加速度分別為：（下落）和（上升），設(shè)作用在m1上的線中張力為T1，作用在m2和m3上的線中張力為T2。列出方程組如下：代入，可求出：，24光滑的水平面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng)，其摩擦系數(shù)為。物體的初速率為v0，求：（1）t時(shí)刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速率從v0減少到v0/2時(shí)，物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程。解：（1）設(shè)物體質(zhì)量為m

12、，取圖示的自然坐標(biāo)系，由牛頓定律得，（2） 當(dāng)物體速率從v0減少到v0/2時(shí)，由可得物體所經(jīng)歷的時(shí)間經(jīng)過的路程25從實(shí)驗(yàn)知道，當(dāng)物體速度不太大時(shí)，可以認(rèn)為空氣的阻力正比于物體的瞬時(shí)速度，設(shè)其比例常數(shù)為k。將質(zhì)量為m的物體以豎直向上的初速度v0拋出。（1）試證明物體的速度為(2)證明物體將達(dá)到的最大高度為(3)證明到達(dá)最大高度的時(shí)間為證明：由牛頓定律可得26 質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動(dòng)員，從距水面距離為h的高臺(tái)上由靜止跳下落入水中。把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，并略去空氣阻力。運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉，水對(duì)其阻力為bv2，其中b為一常量。若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向下為Oy軸，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與

13、y的函數(shù)關(guān)系；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0的1/10？（假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）解：運(yùn)動(dòng)員入水可視為自由落體運(yùn)動(dòng)，所以入水時(shí)的速度為，入水后如圖由牛頓定律的yfkvmgv 27一物體自地球表面以速率v0豎直上拋。假定空氣對(duì)物體阻力的值為fkmv2，其中k為常量，m為物體質(zhì)量。試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時(shí)速度的值。解：分別對(duì)物體上拋和下落時(shí)作受力分析（如圖），2-8 質(zhì)量為的子彈以速度v0水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力f = - kv，為常數(shù)，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；(2) 子彈

14、進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：，分離變量，可得： 兩邊同時(shí)積分，所以：（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0的時(shí)候子彈的位移，則：由 可推出：，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移： 。2-9 已知一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的力，是比例常數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在處的速度的大小。解：由題意和牛頓第二定律可得：再采取分離變量法可得： ，兩邊同時(shí)取積分，則：所以：2-10 一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為，子彈從槍口射出時(shí)的速率為。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時(shí)間；（2）子彈在槍筒中所受力的沖量；（3）子彈的

15、質(zhì)量。解：（1）由和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得到： 算出t=0.003s。（2）由沖量定義：（3）由動(dòng)量定理：2-11 高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為51.0 kg 的人，在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護(hù)，最終使他被懸掛起來。已知此時(shí)人離原處的距離為2.0 m ，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50 s。求安全帶對(duì)人的平均沖力。分析從人受力的情況來看,可分兩個(gè)階段：在開始下落的過程中,只受重力作用,人體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過程中,則人體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用,其合力是一變力,且作用時(shí)間很短為求安全帶的沖力,可以從緩沖時(shí)間內(nèi),人體運(yùn)

16、動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)量)的改變來分析,即運(yùn)用動(dòng)量定理來討論事實(shí)上,動(dòng)量定理也可應(yīng)用于整個(gè)過程但是,這時(shí)必須分清重力和安全帶沖力作用的時(shí)間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零這樣,運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果解以人為研究對(duì)象,按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論在自由落體運(yùn)動(dòng)過程中,人跌落至2 m 處時(shí)的速度為 (1)在緩沖過程中,人受重力和安全帶沖力的作用,根據(jù)動(dòng)量定理,有 (2)由式(1)、(2)可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為212長為60cm的繩子懸掛在天花板上，下方系一質(zhì)量為1kg的小球，已知繩子能承受的最大張力為20N。試求要多大的水平?jīng)_量作用在原來靜止的小球上才能將繩子打斷？解：由動(dòng)量定理

17、得，如圖受力分析并由牛頓定律得，213一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面為19.6m。爆炸1.0s后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為100m。問第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上？(設(shè)空氣的阻力不計(jì))解：取如圖示坐標(biāo)系，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，爆炸前，物體在最高點(diǎn)得速度得水平分量為214質(zhì)量為M的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m的物體，此人用與水平面成角的速率v0向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為u的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）（自己算一遍）解：取如圖所示坐標(biāo)，把人和物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到

18、最高點(diǎn)處，在向左拋物得過程中，滿足動(dòng)量守恒，故有215鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為M，設(shè)平板車可無摩擦地在水平軌道上運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)有N個(gè)人從平板車的后端跳下，每個(gè)人的質(zhì)量均為m，相對(duì)平板車的速度均為u。問：在下列兩種情況下，（1）N個(gè)人同時(shí)跳離；（2）一個(gè)人、一個(gè)人地跳離，平板車的末速是多少?所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么?（典型）解：取平板車及N個(gè)人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系，平板車的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，系統(tǒng)在該方向上滿足動(dòng)量守恒?？紤]N個(gè)人同時(shí)跳車的情況，設(shè)跳車后平板車的速度為v，則由動(dòng)量守恒定律得0Mv+Nm（vu）vNmu/(Nm+M) (1)又考慮N個(gè)人一個(gè)接一個(gè)的跳車的情況。設(shè)當(dāng)

19、平板車上商有n個(gè)人時(shí)的速度為vn，跳下一個(gè)人后的車速為vn1，在該次跳車的過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒有（M+nm）vn=M vn1+(n-1)m vn1+m(vn1-u) (2)由式（2）得遞推公式vn1=vn+mu/(M+nm) (3)當(dāng)車上有N個(gè)人得時(shí)（即Nn），vN0；當(dāng)車上N個(gè)人完全跳完時(shí)，車速為v0，根據(jù)式（3）有，vN-1=0+mu/(Nm+M)vN-2= vN-1+mu/(N-1)m+M).v0= v1+mu/(M+nm)將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得，2-16 一物體在介質(zhì)中按規(guī)律x ct3 作直線運(yùn)動(dòng)，c為一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方：，試求物體由x0 0 運(yùn)動(dòng)

20、到x l 時(shí)，阻力所作的功。分析本題是一維變力作功問題,仍需按功的定義式來求解關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F F(x)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系,可將已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F(v) kv2 變換到F(t),進(jìn)一步按x ct3 的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)換為F(x),這樣,就可按功的定義式求解解由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x ct3 ,可得物體的速度按題意及上述關(guān)系,物體所受阻力的大小為則阻力的功為217一人從10m深的井中提水，起始桶中裝有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。（典型）解：水桶在勻速上提的過程中，加速度為0，拉力和重力平衡，在圖示坐標(biāo)下，水桶重力隨位置的變化關(guān)

21、系為Gmggy其中0.2kg/m,人對(duì)水桶的拉力的功為218如本題圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為m1和m2。問在A板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來時(shí)B稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k）解：選取如圖所示坐標(biāo)系，取原點(diǎn)處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)，作各種狀態(tài)下物體的受力圖。對(duì)A板而言，當(dāng)施以外力F時(shí)，根據(jù)受力平衡有習(xí)題218圖219如本題圖所示，質(zhì)量為m、速度為v的鋼球，射向質(zhì)量為M的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動(dòng)，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：設(shè)彈簧得最大壓縮量為x0。小球

22、與靶共同運(yùn)動(dòng)得速度為v1。由動(dòng)量守恒定律，有習(xí)題219圖習(xí)題220圖220以質(zhì)量為m的彈丸，穿過如本題圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。已知擺錘的質(zhì)量為M，擺線長度為l，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？解：221如本題圖所示，一質(zhì)量為M的物塊放置在斜面的最底端A處，斜面的傾角為，高度為h，物塊與斜面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0 沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動(dòng)，求物塊滑出頂端時(shí)的速度大小。解：圖2-40 習(xí)題2-22 圖2-22 如圖2-40所示，在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連著物體、，

23、它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為。用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求：（1）當(dāng)與開始分離時(shí)，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)?解：（1）當(dāng)A和B開始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，根據(jù)能量守恒，可得到：，所以：; （2）分離之后，A的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以： ，則： 圖2-41 習(xí)題2-23 圖2-23 如圖2-41所示，光滑斜面與水平面的夾角為a=30，輕質(zhì)彈簧上端固定。今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為M= 1.0kg的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動(dòng)。當(dāng)木塊向下滑x=30cm時(shí)，恰好有一質(zhì)量m=0.01kg的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧

24、的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，（瞬間）可得： (碰撞前木快的速度) 習(xí)題221圖224 二質(zhì)量相同的小球，一個(gè)靜止，另一個(gè)以速度0與靜止的小球作對(duì)心碰撞，求碰撞后兩球的速度。（1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的；（2）假設(shè)碰撞是完全彈性的；（3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)。解：由碰撞過程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得（1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行：所以：（2）假設(shè)碰撞是完全彈性的，兩球交換速度， （3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)，也就是所以： ， 習(xí)題225圖225如本題圖所示，一質(zhì)量為m的鋼球，系

25、在一長為l的繩一端，繩另一端固定，現(xiàn)將球由水平位置靜止下擺，當(dāng)球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與質(zhì)量為M，靜止于水平面上的鋼塊發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后m和M的速率。圖2-43 習(xí)題2-26 圖2-26 如圖2-43所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A、B，用一勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。A緊靠墻。今用力推B塊，使彈簧壓縮x0然后釋放。（已知）求：（1）釋放后兩滑塊速度相等時(shí)的速度大?。唬?）彈簧的最大伸長量。解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時(shí)，是彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)換為B木塊的動(dòng)能，然后B帶動(dòng)A一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)動(dòng)量守恒，可得到兩者相同的速度v ，并且此時(shí)就是彈簧伸長最大的位置，由機(jī)械能守恒

26、可算出其量值。所以（2）那么計(jì)算可得：227如本題圖示，繩上掛有質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，兩球碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)e=0.5。球A由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，撞擊球B，剛好使球B到達(dá)繩成水平的位置，求證球A釋放前的張角q 應(yīng)滿足cosq = 1/9。B q2L習(xí)題227圖ABCL證明：設(shè)球A到達(dá)最低點(diǎn)的速率為v，根據(jù)機(jī)械能守恒有圖2-45 習(xí)題2-28 圖2-28 如圖2-45所示，一質(zhì)量為m，半徑為R的球殼，靜止在光滑水平面上，在球殼內(nèi)有另一質(zhì)量也為m，半徑為r的小球，初始時(shí)小球靜止在圖示水平位置上。放手后小球沿大球殼內(nèi)往下滾，同時(shí)大球殼也會(huì)在水平面上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們?cè)俅戊o止在水平面上時(shí)，問大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)

27、刻的位移大小是多少？解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變。如圖所示，初始時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心到球心O的距離為(從質(zhì)心公式算)小球最終將靜止于大球殼的最下方，而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻的位移大小(另外從質(zhì)心公式算)圖2-46 習(xí)題2-29 圖2-29 如圖2-46所示，從坐標(biāo)原點(diǎn)以v0的初速度發(fā)射一發(fā)炮彈，發(fā)射傾角q = 45。當(dāng)炮彈到達(dá) 處時(shí)，突然爆炸分成質(zhì)量相同的兩塊，其中一塊豎直下落，求另一塊落地時(shí)的位置x2是多少？解：炮彈爆炸后其質(zhì)心仍按原拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，因而落地后的質(zhì)心坐標(biāo)為由式，且 ，有第三章 剛體力學(xué)31一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角

28、速度0繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解：（1）由題可知：阻力矩，又因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)定理 當(dāng)時(shí)，。圖3-28 習(xí)題3-3圖（2）角位移， 所以，此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為。32質(zhì)量面密度為的均勻矩形板，試證其對(duì)與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。其中a，b為矩形板的長，寬。 證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元，對(duì)與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 證明二：如圖，在板上取一細(xì)棒，對(duì)通過細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，根據(jù)平行軸定理，對(duì)與板面垂直

29、的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 T(這道題以右邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，左為正方向)3-3 如圖3-28所示，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。（現(xiàn)在滑輪質(zhì)量要計(jì)，所以繩子拉力會(huì)不等）解：受力分析如圖 （1）（2）（3）（4）（對(duì)于質(zhì)量非常小的物體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，才有可能T=T1）， (5)聯(lián)立求出，圖3-29 習(xí)題3-4圖3-4 如圖3-29所示，一均勻細(xì)桿長為L，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度繞過細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多

30、長時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。（1） 解：設(shè)桿的線，在桿上取一小質(zhì)元考慮對(duì)稱（2） 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律所以35質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R和r，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩中的張力。解：分別對(duì)兩物體做如圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律有 又因?yàn)榻M合輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪慣量之和，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有（從積分定義式即可算出）而且，（列1.牛二2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.約束方程即可求解） 36如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A、B。A置于傾角為

31、的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為。若B向下作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：（1）其下落加速度的大?。唬?）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計(jì)，繩與滑輪間無滑動(dòng)，滑輪軸光滑）解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有 對(duì)滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 由于繩子不可伸長、繩與輪之間無滑動(dòng)，則 圖3-32 習(xí)題3-7圖3-7 如圖3-32所示，定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，半徑為 r；物體的質(zhì)量為 m，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)為 k 的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時(shí)使物體由靜止開始下落。求：（1）物體下落的最大距離；(2) 物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置。解：（1）機(jī)械能守恒

32、。設(shè)下落最大距離為 （2）（物體的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為這些能）若速度達(dá)最大值，圖3-36 習(xí)題3-11圖3-8 如圖3-33所示，一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)，當(dāng)時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量，求在的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置？解：機(jī)械能守恒圖3-33 習(xí)題3-8圖（一開始的機(jī)械能=后面的機(jī)械能，水平臨界狀態(tài)速度為零，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)能） 據(jù)幾何關(guān)系 圖3-34 習(xí)題3-9圖3-9 如圖3-34所示，一質(zhì)量為、半徑為的圓盤，可繞過點(diǎn)的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤從圖中實(shí)線位置開始由靜止下落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤轉(zhuǎn)到圖中虛線所示的鉛直位置時(shí)，質(zhì)心C和盤緣

33、A點(diǎn)的速率；（2）在虛線位置軸對(duì)圓盤的作用力。解：在虛線位置的C點(diǎn)設(shè)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，下降過程機(jī)械能守恒圖3-34 習(xí)題3-9圖 （平行軸定理：圓心到O） 方向向上圖3-35 習(xí)題3-10圖3-10 如圖3-35所示，一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以v的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)。試證明：從直線外任意一點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)的矢量r在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相同。解：質(zhì)點(diǎn)不受任何力作用才會(huì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而它對(duì)O點(diǎn)的力矩也為零，即對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒 常量。另一方面，矢量r在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積：=常量。3-11 如圖3-36所示，質(zhì)量的衛(wèi)星開始時(shí)繞地球作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。由于某種原因衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向突然改變了q =30角，而速率不

34、變，此后衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)。求（1）衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率v；（2）衛(wèi)星繞地球橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，距地心的最遠(yuǎn)和最近距離和。解：（1）由 ，得 （2） 衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)地心的角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒： (rF=0，角動(dòng)量守恒)（橢圓的三個(gè)點(diǎn)，突變前不守恒）（突變后橢圓的三個(gè)點(diǎn)）其中，、分別是衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)與近地點(diǎn)時(shí)的速率，可求出，LoMmv習(xí)題3-7圖312如本題圖所示，質(zhì)量為M長為L的均勻直桿可繞過端點(diǎn)o的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖示，若M=6m，求質(zhì)點(diǎn)與桿分別作完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的角速度大小。解：（1）質(zhì)點(diǎn)與桿完全彈性碰撞，則能量守恒

35、又因?yàn)榻莿?dòng)量守恒 （碰撞的瞬間角動(dòng)量守恒） 且 ， (2) 完全非彈性碰撞，角動(dòng)量守恒 又 習(xí)題313圖313如本題圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=10.0kgm2，開始時(shí)B輪靜止，A輪以n1=600r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A與B連接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n=200r/min為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）在嚙合過程中損失的機(jī)械能。解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)，嚙合過程中系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，即（沒有外力） 所以B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 （2）嚙合過程中系統(tǒng)機(jī)械能變化圖3-39 習(xí)題3-14圖圖3-39 習(xí)題3-14圖3-14 如圖3-39所

36、示，長為的輕桿（質(zhì)量不計(jì)），兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度v0與桿下端小球作對(duì)心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動(dòng)量守衡 有圖3-40 習(xí)題3-15圖3-15 如圖3-40所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0 ，環(huán)的半徑為R，初始的角速度為0 ，今有一質(zhì)量為m 的小球靜止在環(huán)內(nèi)A 點(diǎn)，由于微小擾動(dòng)使小球向下滑動(dòng)。問小球到達(dá)B、C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度與小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少？ (假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑。)圖3-40 習(xí)題3-15圖解: (1

37、)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)，有（球看成質(zhì)心J=mR2） 該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為，以點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有 聯(lián)立、兩式，得(2)當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)， 故由機(jī)械能守恒，有(A、C兩點(diǎn)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量回到初始狀態(tài)，) 316一長為2L的均勻細(xì)桿，一端靠墻上，另一端放在的水平地板上，如本題圖所示，所有的摩擦均可略去不計(jì)，開始時(shí)細(xì)桿靜止并與地板成0角，當(dāng)松開細(xì)桿后，細(xì)桿開始滑下。問細(xì)桿脫離墻壁時(shí)，細(xì)桿與地面的夾角為多大？解：如圖，以初始細(xì)桿的質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則任意時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)為 （1） （2） 取初始位置的勢(shì)能為零，則根據(jù)機(jī)械能守恒有

38、（3）（掉下了y，轉(zhuǎn)化為.）將式（1）代入（3）得 （4） （5） 當(dāng)細(xì)桿與墻壁脫離接觸時(shí)， （6） 將式（4）、（5）、（6）代入（2）解得OCAB317如本題圖所示，A、B兩個(gè)輪子的質(zhì)量分別為m1和m2，半徑分別為r1和r2。另有一細(xì)繩繞在兩輪上，并按圖所示連接。其中A輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。試求：（1）B輪下落時(shí)，其輪心的加速度；（2）細(xì)繩的拉力。解：如圖，取豎直向下為正方向。輪A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角加速度為，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有 輪B作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心加速度為，角加速度為，根據(jù)牛頓定律有 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有 A輪邊緣一點(diǎn)加速度 B輪邊緣一點(diǎn)加速度 Clh習(xí)題3-18圖 而且 ，318如本題圖所示，一長為

39、l的均質(zhì)桿自水平放置的初始位置平動(dòng)自由下落，落下h距離時(shí)與一豎直固定板的頂部發(fā)生完全彈性碰撞，桿上碰撞點(diǎn)在距質(zhì)心C為l/4處，求碰撞后瞬間的質(zhì)心速率和桿的角速度。解：由機(jī)械能守恒 其中J為繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由動(dòng)量定理 由角動(dòng)量定理 聯(lián)立解得 ，q2q-4q2q習(xí)題41圖第4章真空中的靜電場(chǎng)41 在邊長為a的正方形的四角，依次放置點(diǎn)電荷q,2q,-4q和2q，它的幾何中心放置一個(gè)單位正電荷，求這個(gè)電荷受力的大小和方向。解：如圖可看出兩2q的電荷對(duì)單位正電荷的在作用力將相互抵消，單位正電荷所受的力為方向由q指向-4q。42 如圖，均勻帶電細(xì)棒，長為L，電荷線密度為。（1）求棒的延長線上任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)；

40、(2)求通過棒的端點(diǎn)與棒垂直上任一點(diǎn)Q的場(chǎng)強(qiáng)。0dqxdx,P習(xí)題42 圖ax解：（1）如圖72 圖a，在細(xì)棒上任取電荷元dq，建立如圖坐標(biāo)，dqldx，設(shè)棒的延長線上任一點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離為x，則整根細(xì)棒在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為0dqxdx,P習(xí)題42 圖bydEqyQq00方向沿x軸正向。（2）如圖72 圖b，設(shè)通過棒的端點(diǎn)與棒垂直上任一點(diǎn)Q與坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離為y， 因，代入上式，則，方向沿x軸負(fù)向。43 一細(xì)棒彎成半徑為R的半圓形，均勻分布有電荷q，求半圓中心O處的場(chǎng)強(qiáng)。dqqqdExy習(xí)題43圖R解：如圖，在半環(huán)上任取dl=Rdq的線元，其上所帶的電荷為dq=lRdq。對(duì)稱分析

41、Ey=0。，如圖，方向沿x軸正向。a12習(xí)題44圖0 xdq44 如圖線電荷密度為1的無限長均勻帶電直線與另一長度為l、線電荷密度為2的均勻帶電直線在同一平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。解：在2的帶電線上任取一dq，1的帶電線是無限長，它在dq處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度由高斯定理容易得到為，兩線間的相互作用力為如圖，方向沿x軸正向。45 兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷之和為Q，問它們各帶電荷多少時(shí)，相互作用力最大？解：設(shè)其中一個(gè)電荷的帶電量是q，另一個(gè)即為Qq，若它們間的距離為r，它們間的相互作用力為相互作用力最大的條件為由上式可得：Q=2q，q=Q/2yqr習(xí)題46圖o46 一半徑為R的半球殼，均勻帶

42、有電荷，電荷面密度為，求球心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。 解：將半球殼細(xì)割為諸多細(xì)環(huán)帶，其上帶電量為dq在o點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)據(jù)（710）式為，。如圖，方向沿y軸負(fù)向。47 設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與半徑為R的半球面對(duì)稱軸平行，計(jì)算通過此半球面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量。S1S2E習(xí)題47圖解：如圖，設(shè)作一圓平面S1蓋住半球面S2，成為閉合曲面高斯，對(duì)此高斯曲面電通量為0，即r0R習(xí)題48圖48 求半徑為R，帶電量為q的空心球面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。解： 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而它所產(chǎn)生的電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性，與帶電球面同心的球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分別作與帶電球面同心的高斯球面S

43、1與S2。對(duì)S1與S2，應(yīng)用高斯定理，即先計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的通量，然后得出場(chǎng)強(qiáng)的分布，分別為得 （rR)d習(xí)題49圖0 xE49 如圖所示，厚度為d的“無限大”均勻帶電平板，體電荷密度為，求板內(nèi)外的電場(chǎng)分布。解:帶電平板均勻帶電，在厚度為d/2的平分街面上電場(chǎng)強(qiáng)度為零，取坐標(biāo)原點(diǎn)在此街面上，建立如圖坐標(biāo)。對(duì)底面積為A，高度分別為xd/2的高斯曲面應(yīng)用高斯定理，有得 習(xí)題410圖ro 410 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其體電荷密度為，0為常數(shù)。求場(chǎng)強(qiáng)分布。解： 據(jù)高斯定理有時(shí)：時(shí)：411 帶電為q、半徑為R1的導(dǎo)體球，其外同心地放一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑為R2、R3。oR1R2R3q-qq習(xí)題411

44、圖（1）球殼的電荷及電勢(shì)分布；（2）把外球接地后再絕緣，求外球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢(shì)分布；（3）再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢(shì)。解：（1）靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶q，外表面帶q電荷。據(jù)（723）式的結(jié)論得： （2） （3）再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的電荷重新分布設(shè)靜電平衡，內(nèi)球帶q/，球殼內(nèi)表面帶q/，外表面帶q/q。得：oo/pr2r1習(xí)題412圖412 一均勻、半徑為R的帶電球體中，存在一個(gè)球形空腔，空腔的半徑r(2rR），細(xì)線近端離球心的距離為L。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定，試求細(xì)線在電場(chǎng)中的電勢(shì)能。解：在帶電細(xì)線中任取一長度為dr的線元，其上所帶的電荷元為dq=ldr，據(jù)

45、（723）式帶電球面在電荷元處產(chǎn)生的電勢(shì)為電荷元的電勢(shì)能為: 細(xì)線在帶電球面的電場(chǎng)中的電勢(shì)能為： p習(xí)題415圖xo*415 半徑為R的均勻帶電圓盤，帶電量為Q。過盤心垂直于盤面的軸線上一點(diǎn)P到盤心的距離為L。試求P點(diǎn)的電勢(shì)并利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的梯度關(guān)系求電場(chǎng)強(qiáng)度。解：P到盤心的距離為L，p點(diǎn)的電勢(shì)為圓盤軸線上任意點(diǎn)的電勢(shì)為利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的梯度關(guān)系得：P到盤心的距離為L，p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：416 兩個(gè)同心球面的半徑分別為R1和R2,各自帶有電荷Q1和Q2。求：（1）各區(qū)城電勢(shì)分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢(shì)差為多少？解：（1）據(jù)（723）式的結(jié)論得各區(qū)城電勢(shì)分布為oQ1Q2R1R

46、2習(xí)題416圖 （2）兩球面間的電勢(shì)差為417 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為，若取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫出電勢(shì)分布曲線。解： 據(jù)高斯定理有時(shí)：時(shí)，V=0，則時(shí)：時(shí)：RroV空間電勢(shì)分布并畫出電勢(shì)分布曲線大致如圖。418 兩根很長的同軸圓柱面半徑分別為R1、R2，帶有等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為U，求：（1）圓柱面單位長度帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題418圖ro解：設(shè)圓柱面單位長度帶電量為l，則兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為兩圓柱面之間的電勢(shì)差為由上式可得：所以419 在一次典型的閃電中，兩個(gè)放電點(diǎn)間的電勢(shì)差約為109V，被遷移的

47、電荷約為30庫侖，如果釋放出來的能量都用來使00C的冰熔化成00C的水，則可融化多少冰?（冰的熔解熱為3.34105Jkg-1)解：兩個(gè)放電點(diǎn)間的電勢(shì)差約為109V，被遷移的電荷約為30庫侖，其電勢(shì)能為上式釋放出來的能量可融化冰的質(zhì)量為：8.98104kg420 在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)。（1）若把電子從原子中拉出來需要克服電場(chǎng)力作多少功?（2）電子在玻爾軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為多少？解：電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)，其電勢(shì)能為（1）把電子從原子中拉出來需要克服電場(chǎng)力作功為：（2）電子在玻爾軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為：電子的總能量為：第五章 靜電

48、場(chǎng)中的導(dǎo)體與電介質(zhì)R2R1習(xí)題 51圖q-qq51 點(diǎn)電荷+q處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為Rl和R2，試求，電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的分布。解：靜電平衡時(shí)，球殼的內(nèi)球面帶q、外球殼帶q電荷在rR1的區(qū)域內(nèi)，在R1rR2的區(qū)域內(nèi):52 把一厚度為d的無限大金屬板置于電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，E0與板面垂直，試求金屬板兩表面的電荷面密度。E0E0習(xí)題 52圖s1s2解：靜電平衡時(shí)，金屬板內(nèi)的電場(chǎng)為0，金屬板表面上電荷面密度與緊鄰處的電場(chǎng)成正比所以有53 一無限長圓柱形導(dǎo)體，半徑為a，單位長度帶有電荷量l1，其外有一共軸的無限長導(dǎo)體圓簡，內(nèi)外半徑分別為b和c，單位長度帶有電荷量l2，求（1）圓筒內(nèi)

49、外表面上每單位長度的電荷量；（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。解：（1）由靜電平衡條件，圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量為習(xí)題 53圖（2）在ra的區(qū)域內(nèi):E=0在ab的區(qū)域內(nèi):Een54 三個(gè)平行金屬板A、B和C，面積都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。如果A板帶正電3.0107C，略去邊緣效應(yīng)（1）求B板和C板上感應(yīng)電荷各為多少?（2）以地為電勢(shì)零點(diǎn)，求A板的電勢(shì)。解：（1）設(shè)A板兩側(cè)的電荷為q1、q2，由電荷守恒原理和靜電平衡條件，有ABC習(xí)題 54圖d1d2（1），（2）依題意VAB=VAC,即代入（1）（2）式得q11.010-7C，q22

50、.010-7C，qB1.010-7C，qC=-q22.010-7C，（2）=2.3103V習(xí)題 55圖q-qq+Q55 半徑為R1=l.0cm的導(dǎo)體球帶電量為q=1.01010 C，球外有一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心導(dǎo)體球殼，殼帶有電量Q=111010 C，如圖所示，求（1）兩球的電勢(shì)；（2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時(shí)兩球的電勢(shì)；（3）外球接地時(shí)，兩球電勢(shì)各為多少？（以地為電勢(shì)零點(diǎn)）解：靜電平衡時(shí)，球殼的內(nèi)球面帶q、外球殼帶q+Q電荷（1）代入數(shù)據(jù)3.3102V=2.7102V（2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時(shí)兩球的電勢(shì)為=2.7102V（3）外球接地時(shí)，兩球電勢(shì)各為60V

51、56 證明:兩平行放置的無限大帶電的平行平面金屬板A和B相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號(hào)相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號(hào)相同。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=6108 C和QB=4108C，略去邊緣效應(yīng)，求兩個(gè)板的四個(gè)表面上的電面密度。證：設(shè)A板帶電量為QA、兩側(cè)的電荷為q1、q2，B板板帶電量為QB、兩側(cè)的電荷為q3、q4。由電荷守恒有q2AB習(xí)題 56圖q1q3q4（1）（2）在A板與B板內(nèi)部取兩場(chǎng)點(diǎn)，金屬板內(nèi)部的電場(chǎng)為零有，得（3），得（4）聯(lián)立上面4個(gè)方程得：,即相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號(hào)相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號(hào)相同，本題得證

52、。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=6108 C和QB=4108C，則5.0106C/m2,1.010-6C/m257 半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用細(xì)導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距離為D=3R處有一點(diǎn)電荷+q，試求金屬球上的感應(yīng)電荷。qQD=3RR習(xí)題 57圖解：設(shè)金屬球上的感應(yīng)電荷為Q，金屬球接地電勢(shì)為零，即tdbx習(xí)題 58圖58 一平行板電容器，兩極板為相同的矩形，寬為a，長為b，間距為d，今將一厚度為t、寬度為a的金屬板平行地向電容器內(nèi)插入，略去邊緣效應(yīng)，求插入金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系。解：設(shè)如圖左邊電容為C1，右邊電容為C2左右電容并聯(lián)，總電容即金

53、屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系，為=(a)(b)習(xí)題 59圖59 收音機(jī)里的可變電容器如圖（a）所示，其中共有n塊金屬片，相鄰兩片的距離均為d，奇數(shù)片聯(lián)在一起固定不動(dòng)（叫定片）偶數(shù)片聯(lián)在起而可一同轉(zhuǎn)動(dòng)（叫動(dòng)片）每片的形狀如圖（b）所示。求當(dāng)動(dòng)片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度為q時(shí)，電容器的電容。解：當(dāng)動(dòng)片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度為q時(shí)，電容器的電容的有效面積為此結(jié)構(gòu)相當(dāng)有n-1的電容并聯(lián)，總電容為510 半徑都為a的兩根平行長直導(dǎo)線相距為d（da），（1）設(shè)兩直導(dǎo)線每單位長度上分別帶電十l和一l求兩直導(dǎo)線的電勢(shì)差；（2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容。解：（1）兩直導(dǎo)線的電電場(chǎng)強(qiáng)度大小為or

54、習(xí)題 510圖兩直導(dǎo)線之間的電勢(shì)差為（2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容為=ABC1C3C2習(xí)題 511圖511 如圖，C1=10mF，C2=5mF，C3=5mF，求（1）AB間的電容；（2）在AB間加上100V電壓時(shí)，求每個(gè)電容器上的電荷量和電壓；（3）如果C1被擊穿，問C3上的電荷量和電壓各是多少？解：（1）AB間的電容為=3.75mF；（2）在AB間加上100V電壓時(shí)，電路中的總電量就是C3電容器上的電荷量，為（3）如果C1被擊穿，C2短路，AB間的100V電壓全加在C3上，即V3=100V，C3上的電荷量為V習(xí)題 512圖512 平行板電容器，兩極間距離為l.5cm，外加電壓39kV，若空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為30kV/cm，問此時(shí)電容器是否會(huì)被擊穿？現(xiàn)將一厚度為0.3cm的玻璃插入電容器中與兩板平行，若玻璃的相對(duì)介電常數(shù)為7，擊穿場(chǎng)強(qiáng)為100kV/cm，問此時(shí)電容器是否會(huì)被擊穿？結(jié)果與玻璃片的位置有無關(guān)系?解：（1）未加玻璃前，兩極間的電場(chǎng)為不會(huì)擊穿（2）加玻璃后，兩極間的電壓為空氣部分會(huì)擊穿，此后，玻璃中的電場(chǎng)為，玻璃部分也被擊穿。結(jié)果與玻璃片的位置無關(guān)。513 一平行板電容器極板面積為S，兩板間距離為d,其間充以相對(duì)介電常數(shù)分別為er1、er2，的兩種均勻電