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1、在學(xué)生就要走出校門的時候，班級工作仍要堅持德育先行，繼續(xù)重視對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育、集體主義教育、行為規(guī)范等的教育，認(rèn)真落實學(xué)校、學(xué)工處的各項工作要求第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a0)是一個非負(fù)數(shù),()2=a(a0),=a(a0).3.掌握=(a0,b0),=(a0,b0),=(a0,b0),=(a0,b0).4.了解最簡二次根式的概念,并能靈活運(yùn)用其對二次根式進(jìn)行加減.1.通過先提出問題,讓學(xué)生探討、分析問題,師生共同歸納得出概念,再對概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析,得出幾個重要結(jié)論,并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計算和化簡.2.讓學(xué)生用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律,采用不完全歸納法得出二次

2、根式的乘(除)法法則,并運(yùn)用法則進(jìn)行計算.3.讓學(xué)生利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法法則的逆向等式,并運(yùn)用它們進(jìn)行化簡.4.通過分析前面的計算和化簡結(jié)果,抓住它們的共同特點(diǎn),給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念,讓學(xué)生對被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并,達(dá)到對二次根式進(jìn)行計算和化簡的目的.1.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計算的能力,培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.2.經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論和二次根式的乘除法法則,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.二次根式是新課標(biāo)中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,它是在前面平方根、立方根的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,是對代數(shù)式及實數(shù)等內(nèi)容的延伸與補(bǔ)

3、充.同時,也是后繼學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的邊角關(guān)系等內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).因此,本章的相關(guān)知識對于整個初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)有著承前啟后的重要意義.本章內(nèi)容分為三節(jié),第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì);第二節(jié)是二次根式的乘法和除法運(yùn)算,主要研究二次根式的乘除法運(yùn)算法則和二次根式的化簡;第三節(jié)是二次根式的加法和減法運(yùn)算,主要研究二次根式的加減法運(yùn)算法則和二次根式的化簡.【重點(diǎn)】1.對(a0)是一個非負(fù)數(shù)的理解和對()2=a(a0),=a(a0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式乘除法的法則及其運(yùn)用.3.最簡二次根式的概念.4.二次根式的加減運(yùn)算.【難點(diǎn)】1.對(a0)是一個非負(fù)數(shù)的理解和對

4、等式()2=a(a0),=a(a0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式的乘法、除法的條件限制.3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.1.通過前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道了平方根、立方根的概念和求法,實數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算,對數(shù)的認(rèn)識已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實數(shù)范圍,并對實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受.因此,本章應(yīng)充分注意與已有經(jīng)驗的聯(lián)系.同時,本章內(nèi)容與整式也有著密切的聯(lián)系.由于數(shù)式通性,當(dāng)將二次根式中的實數(shù)看成字母時,二次根式的運(yùn)算實際上就是整式的運(yùn)算,所以整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.因此本章強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系.2.對于一些重要結(jié)論,要注意經(jīng)歷觀察、

5、思考、討論等探究活動歸納得出結(jié)論的過程.例如,對于二次根式的乘法法則,首先利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行具體的計算,并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系,并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計算,再歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則.這個過程實際上就是反映了一個由特殊到一般的認(rèn)識過程.要通過這樣的探究活動來發(fā)展我們的思維能力,有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.3.熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定的訓(xùn)練,可以適當(dāng)增加練習(xí),以便較好地理解二次根式的意義,較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).16.1二次根式2課時16.2二次根式的乘除2課時16.3二次根式的加減2課時單元概括整合1課時

6、16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.2.掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡.3.了解最簡二次根式的概念,會判斷一個二次根式是不是最簡二次根式.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識.【重點(diǎn)】會求二次根式中字母的取值范圍,理解和掌握二次根式的性質(zhì),熟練化簡二次根式.【難點(diǎn)】運(yùn)用二次根式的雙重非負(fù)性解決問題,二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.第課時使學(xué)生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的

7、取值范圍.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識.【重點(diǎn)】了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.【難點(diǎn)】會求二次根式中字母的取值范圍.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)所需的習(xí)題資料.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平方根和立方根的有關(guān)知識.導(dǎo)入一:唐僧師徒在萬壽山五莊觀做客.豬八戒來到后花園,看見人參果樹上結(jié)滿了人參果,嘴饞得直流口水.正準(zhǔn)備伸手摘時,突然一道金光,在同一個枝頭上一大一小的兩個果子同時掉了下來,噗的一聲同時著地.有愛好數(shù)學(xué)的電視迷算了人參果下落的時間t與h之間的

8、關(guān)系式為t=,你覺得他算的正確嗎?要解決這個問題,我們得從二次根式說起.設(shè)計意圖將數(shù)學(xué)問題融入到學(xué)生喜愛的神話故事中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離,為探究本節(jié)課奠定了基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.教師出示復(fù)習(xí)題:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.學(xué)生口答:(1)4的平方根是2;0的平方根是0;-16沒有平方根.(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.2.教師出示教材第2頁“思考”題:用帶有根號的式子填空,看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn):(1)面積為3的正方形的邊長為,面積為S的正方形的邊長為.(2)一個長方形的圍欄,長是寬的2倍,面積為130

9、m2,則它的寬為m.(3)一個物體從高處自由落下,落到地面所用的時間t(單位:s)與開始落下時離地面的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t為.學(xué)生思考后回答,教師補(bǔ)充得出答案:(1),;(2);(3).設(shè)計意圖以回顧練習(xí)和思考的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶,鞏固所學(xué)知識,并引入新課.1.二次根式的概念思路一過渡語(針對導(dǎo)入二)讓我們一起來看下面的問題:上面得到的式子,分別表示什么意義?它們有什么共同特征?教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根.討論:你能用一個式子表示一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎?學(xué)生小組討論

10、,全班交流.教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如(a0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號.追問:在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a0”?教師引導(dǎo)學(xué)生舉出例子說明,經(jīng)過討論知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).設(shè)計意圖讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系,體會研究二次根式的必要性,再讓學(xué)生體會由特殊到一般的過程,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力,最后通過討論二次根式中被開方數(shù)a0,進(jìn)一步加深學(xué)生對二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解.思路二像,這樣的式子有什么共同特點(diǎn)呢?學(xué)生觀察,交流發(fā)現(xiàn):一是從形式上看,都含有二次根號;二是被開方數(shù)的取值范圍有限制:被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).教師進(jìn)一

11、步明確:形如(a0)的式子叫做二次根式.引導(dǎo)學(xué)生說一說對二次根式的認(rèn)識:(1)表示a的算術(shù)平方根;(2)a可以是數(shù),也可以是代數(shù)式;(3)從形式上看,含有二次根號;(4)a0,0.設(shè)計意圖加深對二次根式的理解,進(jìn)一步明確二次根式的非負(fù)性.2.例題講解過渡語二次根式的定義怎樣理解?讓我們一起來學(xué)習(xí)幾個例題.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被開方數(shù).,(x3),(y-1),(xy0).引導(dǎo)學(xué)生觀察根指數(shù)和被開方數(shù)分析發(fā)現(xiàn):顯然不是二次根式(因為它的根指數(shù)是4,含有四次根號),其余式子都含有二次根號,關(guān)鍵看根號下的被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若根號下是負(fù)數(shù),則二次根式?jīng)]有意義.解:,(x3)

12、,(xy0)是二次根式.其中被開方數(shù)依次是7,x-3,(x+1)2,.解題策略當(dāng)被開方數(shù)形式是含有字母的代數(shù)式時,可以把這個代數(shù)式看成一個整體.如的被開方數(shù)是x2+2015.當(dāng)被開方數(shù)形式比較復(fù)雜時,可以將這個被開方數(shù)適當(dāng)化簡.如,因為(-3)2-7=9-7=2,所以它的被開方數(shù)其實就是2.【變式訓(xùn)練】下列各式中,一定是二次根式的是()A.B.C.D.(其中a0)解析的被開方數(shù)-9D.x解析:是二次根式,因此2x-10,在分母上,因此0.則解得x.故選C.3.當(dāng)x=時,二次根式有最小值,其最小值是.解析:二次根式有意義,x+30,即x+3的最小值是0,x+3=0,解得x=-3.答案:-304.

13、求下列各式中字母a的取值范圍:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+10,得a-1.字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數(shù).(2)由0,得1-2a0,即a0,所以字母a的取值范圍是全體實數(shù).第1課時1.二次根式的概念2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第3頁練習(xí)第1,2題;教材第5頁習(xí)題16.1第1題.【選做題】教材第5頁習(xí)題16.1第7題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.若是二次根式,則下列結(jié)論正確的是()A.x0,y0B.x0,y0C.x,y同號D.02.已知實數(shù)x,y,m滿足+=0,且y為負(fù)數(shù),則m的取值范圍是()A.m6B.m-6D.m-63.如果式子+有意義,那么在直

14、角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.(2015遵義中考)使二次根式有意義的x的取值范圍是.【能力提升】5.當(dāng)x時,+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.6.(2015攀枝花中考)若y=+2,則xy=.7.已知x,y為實數(shù),且滿足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知實數(shù)a滿足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n滿足關(guān)系式+=,試確定m的值.【答案與解析】1.D(解析:依題意得0,即0.故選D.)2.A(解析:根據(jù)題意,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得=0,=0,所以解得因為y是負(fù)數(shù),所以6-m6.故選A.)3.A(解析:根據(jù)二次根

15、式有意義的條件,易得a0,b0.故選A.)4.x(解析:要使二次根式有意義,則需滿足5x-20,x.)5.-且x-1(解析:要使+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足的被開方數(shù)2x+30和的分母x+10,即由得x-,由得x-1.當(dāng)x-且x-1時,+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.)6.9(解析:由題意得x-30,3-x0,得x=3,故y=2,xy=9.)7.解:-(y-1)=0,+(1-y)=0.x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-20150,得a2015,故已知式子可化為a-2014+=a.=2014.兩邊平方并整理,

16、得a-20142=2015.9.解:由等式的右邊,根據(jù)二次根式有意義的條件得x-2013+y0且2013-x-y0,得x+y2013且x+y2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以-,得x+2y=2.又x+y=2013,兩式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我們經(jīng)常說過程比結(jié)果更重要.我對整節(jié)課的設(shè)計力求符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)生動活潑的教學(xué)情境,使學(xué)生始終處在好奇、好學(xué)的高亢的學(xué)習(xí)情緒當(dāng)中,同時,整節(jié)課努力做到先有框架,中有深化,后有突破.學(xué)生學(xué)有情趣,學(xué)有所獲,并由衷感到:學(xué)習(xí)是快樂的事,學(xué)會了更是幸福的事.在教學(xué)中,我適當(dāng)增加了有拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),想使

17、不同的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展和提高,但受到教材中練習(xí)題的局限,就當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時,本身也是一個非負(fù)數(shù)的練習(xí)沒有落實到位.根據(jù)教學(xué)時間多少調(diào)整例題教學(xué),適當(dāng)增加對二次根式非負(fù)性的例題的講解,注重變式練習(xí),以加深對二次根式具有雙重非負(fù)性的理解.練習(xí)(教材第3頁)1.解:設(shè)長方形的長和寬分別為3a cm,2a cm.由題意,得3a2a=18,a2=3,a=(舍去a=-),3a=3,2a=2.故長方形的長取3 cm,寬取2 cm.2.解:(1)當(dāng)a-10,即a1時,有意義.(2)當(dāng)2a+30,即a-時,有意義. (3)當(dāng)-a0,即a0時,有意義.(4)當(dāng)5-a0時,即a5時,有意義.若x,y為實數(shù),且滿

18、足y=+-3,求x+2y的值.解析根據(jù)二次根式的被開方數(shù)不小于0,求得x,y的值,然后將其代入所求的代數(shù)式并計算.解:由二次根式有意義的條件得即x2-4=0,所以x=2.當(dāng)x=2時,y=-3.當(dāng)x=2,y=-3時,x+2y=2+2(-3)=-4;當(dāng)x=-2,y=-3時,x+2y=-2+2(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.解題策略根據(jù)已知得出并得到x=2是解決本題的關(guān)鍵.已知(3a-6)2+=0,求ba的值.解析根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì):若兩個非負(fù)數(shù)的和為0,則這兩個非負(fù)數(shù)的值都為0,解出a,b的值,再代入原式中計算.解:因為(3a-6)2與都是非負(fù)數(shù),且它們的和為0,所以3a-6=0,b-

19、3=0,即a=2,b=3.此時ba=32=9.解題策略本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù):(1)絕對值;(2)偶次方;(3)二次根式(算術(shù)平方根).當(dāng)它們的和為0時,必須滿足其中的每一項都等于0.根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類問題.第課時1.理解()2=a(a0)和=a(a0),并利用它們進(jìn)行計算和化簡.2.用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義推出()2=a(a0)和探究=a(a0),會用這個結(jié)論解決具體問題.3.了解代數(shù)式的概念.在明確()2=a(a0)和=a(a0)的算理的過程中,感受數(shù)學(xué)的實用性.通過運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡的相關(guān)計算,解決一些實際問題,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.【重點(diǎn)】

20、掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡.【難點(diǎn)】能運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)所需的習(xí)題資料.【學(xué)生準(zhǔn)備】自學(xué)教材第34頁的內(nèi)容.導(dǎo)入一:教師出示問題:先化簡再求值:當(dāng)a=9時,求a+值,甲、乙兩人的解答如下:甲的解答為:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答為:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.兩種解答中,誰的解答是錯誤的呢?本節(jié)課,我們一起來學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì),然后就可以解決上面的問題了.設(shè)計意圖以問題設(shè)疑,發(fā)揮問題導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生的求知欲,為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.什么叫二次根式?2.當(dāng)a0時,叫什么?當(dāng)a0時,有意義嗎?學(xué)生口答

21、,老師點(diǎn)評.通過前面的學(xué)習(xí),我們知道了二次根式具有雙重非負(fù)性.今天我們主要學(xué)習(xí)一些二次根式的其他性質(zhì).設(shè)計意圖復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新知,讓本節(jié)課自然過渡,為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).思路一1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a0)過渡語我們先來探究性質(zhì)1:()2=a(a0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?()2,()2,()2.學(xué)生口述,教師根據(jù)情況評價.()2表示4的算術(shù)平方根的平方;()2表示2的算術(shù)平方根的平方;表示的算術(shù)平方根的平方;()2表示0的算術(shù)平方根的平方.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).()2=;()2=;=;()2=.學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出

22、得到結(jié)論的依據(jù).教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個式子的含義.是4的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個平方等于4的非負(fù)數(shù),因此有()2=4.是2的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個平方等于2的非負(fù)數(shù),因此有()2=2.是的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個平方等于的非負(fù)數(shù),因此有=.表示0的算術(shù)平方根,因此有()2=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個式子表示這個規(guī)律嗎?引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì):一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù),即()2=a(a0).(教材例2)計算:(1)()2;(2)(2)2.學(xué)生獨(dú)立完成,兩名學(xué)生板演,再集體訂正.解析(1)直接運(yùn)用

23、()2=a(a0)化簡即可.(2)運(yùn)用冪的性質(zhì)(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22()2=45=20.解題策略把底數(shù)看成根號外因數(shù)與二次根式的積,按照積的乘方計算即可.【變式訓(xùn)練】計算:(-2)2.解析把原式的底數(shù)看成是-2與的積,先利用(mn)2=m2n2,再根據(jù)()2=a(a0)化簡.解:(-2)2=(-2)2()2=43=12.知識拓展形如(x)2的關(guān)于二次根式的運(yùn)算可結(jié)合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.設(shè)計意圖讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)1,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過例題和變式訓(xùn)練及時鞏固二次根式的性質(zhì)1,學(xué)會靈活運(yùn)用

24、.2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a0)過渡語我們再來探究一下性質(zhì)2:=a(a0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?,.教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個式子的含義.表示2的平方的算術(shù)平方根;表示0.1的平方的算術(shù)平方根;表示的平方的算術(shù)平方根;表示0的平方的算術(shù)平方根.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).=;=;=;=.學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).4=22,=2,因此=2;0.01=0.12,=0.1,因此=0.1;=,=,因此=;0=02,=0,因此=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個式子表示這個規(guī)律嗎?引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:一個非負(fù)數(shù)的平

25、方的算術(shù)平方根等于這個數(shù).即=a(a0).(教材例3)化簡:(1);(2).引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)=a(a0)進(jìn)行分析:(1)因為16=42,所以=,再計算即可得出結(jié)果.(2)因為(-5)2=52,所以=.學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正.解:(1)=4.(2)=5.知識拓展(1)中的a的取值范圍可以是任意實數(shù),即不論a取何值,一定有意義.(2)化簡時,一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù),若是正數(shù)或0,則等于a本身,即=a(a0);若a是負(fù)數(shù),則等于a的相反數(shù)-a,即=-a(a0).小組討論:()2和有什么關(guān)系?學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平

26、方根的平方,()2=a(a0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=設(shè)計意圖讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)2,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過例題練習(xí)及時鞏固二次根式的性質(zhì)2.思路二請同學(xué)們閱讀和自學(xué)課本第34頁的內(nèi)容,并思考下面的問題:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想當(dāng)a0時,()2=.2.(1)觀察下列各式的特點(diǎn),找出各式的共同規(guī)律,并用表達(dá)式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.=;=;=;=;.通過觀察,你得到的結(jié)論是什么?試著說一說.(2)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a0時,=,當(dāng)a0時,=.學(xué)生用充足的時間學(xué)習(xí)后,交流學(xué)習(xí)情況,教師分析并講解.1.(1)根據(jù)算術(shù)

27、平方根與乘方運(yùn)算的關(guān)系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以=.根據(jù)以上規(guī)律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)從第(1)問可以發(fā)現(xiàn),一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù),即()2=a(a0).2.先計算=2;=2;=3;=3;.可以看出:一個正數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù),一個負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的相反數(shù).于是當(dāng)a0時,=a,當(dāng)a0時,=-a.歸納并板書:二次根式的性質(zhì):1.()2=a(a0);2.=a(a0).提問:()2和有什么關(guān)系?學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方

28、根的平方,()2=a(a0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=設(shè)計意圖在計算的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、歸納得出二次根式的兩個性質(zhì),并從式子的意義和結(jié)果進(jìn)行比較,得出二者之間的關(guān)系.3.代數(shù)式提問:回顧我們學(xué)過的式子,如a+b,-ab,-x3,(a0),這些式子有哪些共同特征?學(xué)生概括式子的共同特征,得出代數(shù)式的概念.這些式子都是用基本運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式.學(xué)生舉出一些例子,并書寫,教師針對學(xué)生書寫出現(xiàn)問題的地方進(jìn)行指導(dǎo).設(shè)計意圖學(xué)生通過觀察式子的共同特征,形成代數(shù)式的概念,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.4.例題講解(補(bǔ)充)計算:(-5)2,-.解析利

29、用()2=a(a0)和=a(a0)化簡,注意被開方數(shù)的符號.解:(-5)2=(-5)2()2=252=50.=.-=-=-.(補(bǔ)充)比較2與3的大小.解析直接比較這兩個二次根式的大小不太容易,由于這兩個二次根式平方后得到兩個有理數(shù),因此可以通過比較這兩個二次根式平方的大小來比較它們的大小.解:(2)2=22()2=44,(3)2=32()2=45,又440,30,23.師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:知識要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項()2=a(a0)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方,其結(jié)果仍然是它本身被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)=|a|=任何實數(shù)的平方的算術(shù)平方根是它的絕對值底數(shù)a可以是任何實數(shù)代數(shù)式用運(yùn)算符號把數(shù)和

30、表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式式子中不能出現(xiàn)“=,”;單個的數(shù)字或單個的字母也是代數(shù)式1.計算的結(jié)果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:=3.故選B.2.下列各式:m2-3;(a0);a-1=6;3x-50;66.其中代數(shù)式的個數(shù)是()A.2個B.3個C.4個D.5個解析:a-1=6是方程,不是代數(shù)式;3x-50是一元一次不等式,也不是代數(shù)式;其余都是代數(shù)式.故選C.3.+的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)當(dāng)x時,=2-x成立;(2)計算=.解析:(1)當(dāng)x-20時,=2-x,所以x2;(2)因為3,所以3-0,因此=-3.答案:(1)2(2)-35.計算:(1);(2)

31、(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22()2=12.(3)=(-2)2=2.(4)(-)2=(-1)2()2=15.第2課時1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a0)例12.二次根式的性質(zhì)2:=a(a0)例23.代數(shù)式4.例題講解例3例4一、教材作業(yè)【必做題】教材第4頁練習(xí)第1,2題;教材第5頁習(xí)題16.1第2,3,4,5,6題.【選做題】教材第5頁習(xí)題16.1第7,8,9,10題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.已知二次根式的值為3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,則()A.aD.a3.(2015杭州中考)若kk+1(k是整數(shù))

32、,則k等于()A.6B.7C.8D.94.實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡-|a+b|的結(jié)果為()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一個正整數(shù),則正整數(shù)m的最小值是.6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代數(shù)式:(1)面積為3的圓的半徑;(2)面積為S且兩條鄰邊之比為35的長方形的長、寬.8.計算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化簡,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.對于題目“化簡并求值:+,其中a=”,甲、乙兩人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=

33、+=+a-=a=.誰的解答是錯誤的?為什么?【答案與解析】1.D(解析:根據(jù)題意得x2=9,解得x=3.故選D.)2.B(解析:由已知得2a-10,解得a.故選B.)3.D(解析:本題主要考查了算術(shù)平方根的化簡及算術(shù)平方根的估算,而,即910,所以k=9.)4.C(解析:觀察圖可知a0,且|a|b|,那么可知a+b0,x-80.原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化簡二次根式時,當(dāng)根號內(nèi)的因式移到根號外面時,一定要注意原來根號里面的符號,這也是化簡時最容易出錯的地方.解:乙的解答是錯誤的.因為當(dāng)a=時,=5,a-0恒成立,無論x取任何實數(shù),都有意

34、義.(2)(x-1)20恒成立,無論x取任何實數(shù),都有意義.(3)即x0,當(dāng)x0時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.(4)即x-1,當(dāng)x-1時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.8.解:設(shè)h=kt2, 則由題意,得20=k22,解得k=5,h=5t2,t=(負(fù)值已舍去).當(dāng)h=10時,t=,當(dāng)h=25時,t=.故當(dāng)h=10和h=25時,小球落地所用的時間分別為 s和 s.9.解:(1)由題意知18-n0且為整數(shù),則n18,n為自然數(shù)且為整數(shù),符合條件的n的所有可能的值為2,9,14,17,18.(2)24n0且是整數(shù),n為正整數(shù),符合條件的n的最小值是6.10.解:V=r210,r=(負(fù)值已舍去),當(dāng)V=5時, r=,

35、當(dāng)V=10時,r=1,當(dāng)V=20時,r=.如圖所示,根據(jù)實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置,化簡:+.解析根據(jù)數(shù)軸可得出a+b與a-b的正負(fù)情況,從而可將二次根式化簡.解:由數(shù)軸可得:a+b0,+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.解題策略結(jié)合數(shù)軸得出字母的取值范圍,再化簡二次根式,此題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.已知a,b,c為三角形的三條邊,則+=.解析根據(jù)三角形三邊的關(guān)系,先判斷a+b-c與b-a-c的符號,再去根號、絕對值符號并化簡.因為a,b,c為三角形的三條邊,所以a+b-c0,b-a-c0,所以原式=(a+b-c)+-(b-a-c)=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.解題

36、策略此類化簡問題要特別注意符號問題.化簡:.解析題中并沒有明確字母x的取值范圍,需要分x3和x3兩種情況考慮.解:當(dāng)x3時,=|x-3|=x-3;當(dāng)x,0).學(xué)生討論,得出:(1)先把被開方數(shù)化為20210,再利用=計算;(2)先把被開方數(shù)化為(9m)2與n乘積的形式,再利用=計算.解:(1)原式=20.(2)原式=9m.教師針對練習(xí)中的錯誤進(jìn)行糾正,引導(dǎo)學(xué)生歸納:兩個非負(fù)數(shù)積的算術(shù)平方根等于它們算術(shù)平方根的積,即=(a0,b0).設(shè)計意圖鼓勵學(xué)生嘗試練習(xí),練后進(jìn)行歸納,培養(yǎng)學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)規(guī)律的能力,提高他們的歸納總結(jié)能力.知識拓展(1)當(dāng)a0,b-4C.a4D.-4a0,y0,則=.解析:

37、=xy.故填xy.5.化簡:(1);(2)(a0,b0).解:(1)=69=54.(2)=3a=3a=3ab.6.計算:(1);(2)47;(3)35;(4).解:(1)=6.(2)47=47=28=252.(3)35=35=15.(4)=a.第1課時1.二次根式的乘法2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)3.例題講解例1例2例3一、教材作業(yè)【必做題】教材第7頁練習(xí)第1,2,3題;教材第10頁習(xí)題16.2第1題.【選做題】教材第11頁習(xí)題16.2第6題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列各數(shù)中,與的積為有理數(shù)的是()A.B.3C.2D.2.(2015安徽中考)計算的結(jié)果是()A.B.4C.D.23.已知m=(

38、-2),則有()A.5m6B.4m5C.-5m-4D.-6m-54.k,m,n為三個整數(shù),若=k,=15,=6,則下列有關(guān)k,m,n的大小關(guān)系正確的是()A.km=nB.m=nkC.mnkD.mkn【能力提升】5.張老師在計算機(jī)上設(shè)計了一個長方形,已知長方形的長是 cm,寬是 cm.他又想設(shè)計一個面積與其相等的圓,則圓的半徑是.6.是一個整數(shù),那么最小正整數(shù)a的值為.7.計算:(1);(2)0.5(a0);(3)(-).8.一個底面為30 cm30 cm的長方體玻璃容器中裝滿水,現(xiàn)將一部分水倒入一個底面為正方形、高為10 cm的長方體鐵桶中,當(dāng)鐵桶裝滿水時,容器中的水面下降了20 cm,求鐵桶

39、的底面邊長是多少厘米.(容器的尺寸為從里面量得的)9.若y=,且x,y為實數(shù),求的值.【拓展探究】10.觀察下列各式:=2,=3,=4,.(1)你能發(fā)現(xiàn)上述式子有什么規(guī)律嗎?將猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n(n為正整數(shù))的代數(shù)式表示出來是;(2)請你運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,寫出第9個式子;(3)請你驗證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.【答案與解析】1.C(解析:因為=,而為無理數(shù),所以選項A錯誤;因為3=3,而3是無理數(shù),所以選項B錯誤;因為2=6,而6是有理數(shù),所以選項C正確;因為=3,而3為無理數(shù),所以選項D錯誤.故選C.)2.B(解析:=(a,b都是非負(fù)數(shù)),=4.故選B.)3.A(解析:m=()=2.252836,即526.故選A.)4.D(解析:化簡二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5