《歷年高考數(shù)學圓錐曲線試題匯總.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《歷年高考數(shù)學圓錐曲線試題匯總.doc（56頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、圓錐曲線解答題解答題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.(1)求橢圓G的方程(2)求的面積(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.【解析】（1）設橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：. (2 )點的坐標為 （3）若，由可知點（6，0）在圓外， 若，由可知點（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.2.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個點。 （I）求得

2、取值范圍； （II）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標分析：（I）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得（）拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點 設四個交點的坐標分別為、。則由（I）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二

3、次均值類似。 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。下面來處理點的坐標。設點的坐標為：由三點共線，則得。以下略。3.（2009浙江理）（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程； （II）設點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，所以有，設線段MN的中點的橫坐標是，則， 設線段PA的中

4、點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為14.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為 （I）求與的值； （II）設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點若是的切線，求的最小值解析（）由拋物線方程得其準線方程：，根據(jù)拋物線定義點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。則，當 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為 ，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得

5、：，或，而拋物線在點N處切線斜率：MN是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，5.（2009北京文）（本小題共14分） 已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。（）求雙曲線C的方程；（）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求m的值. 【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）設A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為， 由得（判別式）, ,點在圓上，.6.（2009北京理）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲

6、線的方程；（）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，且，設A、B兩點的坐標分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，設A、B兩點的坐標分別為，則， 的大小為.（且，從而當時，方程和方程的判別式均大于零

7、）.7.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A（2，2），其焦點F在軸上。（1）求拋物線C的標準方程；（2）求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設過點的直線交拋物線C于D、E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為，求關(guān)于的表達式?！窘馕觥?必做題本小題主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力。滿分10分。 8.(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩

8、個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, 當時因

9、為所以,所以,所以當且僅當時取”=”. 當時,. 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.9. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,動點的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出

10、該圓的方程;(3)已知,設直線與圓C:(1R2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因為,所以, 即. 當m=0時,方程表示兩直線,方程為;當時, 方程表示的是圓當且時,方程表示的是橢圓; 當時,方程表示的是雙曲線.(2).當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.綜上, 存在圓心

11、在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.(3)當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:(1R0）與x軸的左、右兩個交點，直線過點B,且與軸垂直，S為上異于點B的一點，連結(jié)AS交曲線C于點T.(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標；（II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。 19.【解析】解法一：()當曲線C為半圓時，如圖，由點T為圓弧的三等分點得BOT=60或120.(1)當BOT=60時, SAE=30.又AB=2,故在SAE中,有 (2

12、)當BOT=120時,同理可求得點S的坐標為,綜上, ()假設存在,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k0,可設直線AS的方程為.由設點故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗,當時,O,M,S三點共線. 故存在,使得O,M,S三點共線.解法二:()同解法一.()假設存在a,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K0,可設直線AS的方程為由設點,則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點共線.23.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）已知，橢

13、圓C以過點A（1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。 (22)解：（）由題意，c1,可設橢圓方程為。 因為A在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 4分（）設直線方程：得，代入得 設（，），（，）因為點（1，）在橢圓上，所以， 。8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分24.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（1，0）

14、，（1，0）。（3） 求橢圓C的方程； （4） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。（20）解：（）由題意，c=1,可設橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設直線AE方程為：，代入得 設,因為點在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分25.（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.（）求橢圓C的方程；（）

15、若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。 解:()設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得， 所以橢圓的標準方程為 （）設，其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時?；喌?所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時，方程變形為，其中當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；26.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。 （I） 求雙曲線C的方

16、程；(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。解析：解法1（）由題意知，雙曲線C的頂點（0，a）到漸近線，所以所以由所以曲線的方程是（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設由將P點的坐標代入因為又所以記則由又S（1）=2，當時，面積取到最小值，當當時，面積取到最大值所以面積范圍是解答2（）由題意知，雙曲線C的頂點（0，a）到漸近線，由所以曲線的方程是.（）設直線AB的方程為由題意知由由將P點的坐標代入得設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）=以下同解答127.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分）已知雙曲

17、線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。（I）求雙曲線C的方程； (II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。 28（本小題滿分14分）已知雙曲線C的方程為 離心率頂點到漸近線的距離為（）求雙曲線C的方程；（）如圖，P是雙曲線C上一點，A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若求AOB面積的取值范圍.解答一（）由題意知，雙曲線C的頂點到漸近線由 得 雙曲線C的方程為（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設 由得P點的坐標為將P點坐標代入化簡得設AOB又記由當時，AOB的面積取得最小值2，當時，AOB

18、的面積取得最大值A(chǔ)OB面積的取值范圍是解答二（）同解答一 （）設直線AB的方程為由題意知 由 得A點的坐標為 由 得B點的坐標為 由得P點的坐標為 將P點坐標代入設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）. = 以下同解答一.29.（2009四川卷文）（本小題滿分12分） 已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程?！窘馕觥浚↖）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 4分（II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設直線直線的斜率為，則直線的方程

19、為，設、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡得解得 所求直線的方程為 12分30.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點。（）求r的取值范圍（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標。解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得（1）拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根即。解這個方程組得.（II） 設四個交點的坐標分別為、。則由（I）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。法2：設四個交點的坐標分別

20、為、則直線AC、BD的方程分別為解得點P的坐標為。設，由及（）得 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當時，；當時；當時，故當且僅當時，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為。 31.（2009湖北卷文）（本小題滿分13分）如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1 ()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、S2、，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。 本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平

21、面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力（滿分13分）（1） 證法1：由拋物線的定義得 2分如圖，設準線l與x的交點為 而即故證法2：依題意，焦點為準線l的方程為設點M,N的坐標分別為直線MN的方程為，則有由 得于是，故（）成立，證明如下：證法1：設，則由拋物線的定義得，于是 將與代入上式化簡可得 ，此式恒成立。故成立。證法2：如圖，設直線M的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的結(jié)論，得即，得證。32.（2009寧夏海南卷文）(本小題滿分12分)已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個項點到兩個焦點的距離分別是7和1（I） 求橢圓的方

22、程（II） 若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（e為橢圓C的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（20）解：（）設橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以橢圓C的方程為 （）設M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由點P在橢圓C上得 代入式并化簡得所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段. 33.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和 （）求點P的軌跡C； （）設過點F的直線I與軌跡C相交于M

23、，N兩點，求線段MN長度的最大值。 解（）設點P的坐標為（x，y），則3x-2由題設 當x2時，由得 化簡得 當時 由得 化簡得 故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當點P在上時，由知. 當點P在上時，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當k，或k，即k-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點M（，），N（，）都在C 上，此時由知MF= 6 - NF= 6 - 從而MN= MF+ NF= （6 - ）

24、+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因為當 當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則知， 設直線AF與橢圓的另一交點為E 所以。而點A，E都在上，且 有（1）知 若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段MN長度的最大值為35.（2009天津卷理）（本小題滿分14分） 以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。（1） 求橢圓的離心率； （2） 求直線AB的斜率； （3） 設點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值 本小題主要考查橢

25、圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力，滿分14分（I） 解：由/且，得，從而 整理，得，故離心率 （II） 解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為 設直線AB的方程為，即. 由已知設，則它們的坐標滿足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設知，點B為線段AE的中點，所以 聯(lián)立解得， 將代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知 當時，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組 ， 由解得故當時，同理可得

26、. 解法二：由（II）可知當時，得,由已知得 由橢圓的對稱性可知B，C三點共線，因為點H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形. 由直線的方程為,知點H的坐標為.因為，所以，解得m=c（舍），或.則，所以. 當時同理可得 36.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理運算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線

27、l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設、， . ,與題設矛盾。 直線l的斜率存在。 設直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，。 。化簡得解得 37.（2009福建卷文）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。 （I）求橢圓的方程； （）求線段MN的長度的最小值； （）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由解法一：（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方

28、程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而由得0設則得，從而 即又由得故又 當且僅當，即時等號成立 時，線段的長度取最小值（）由（）可知，當取最小值時， 此時的方程為 要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設直線則由解得或 38.（2009年上海卷理）（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分。 已知雙曲線設過點的直線l的方向向量 （1） 當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2） 證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。解：（1）雙曲線C

29、的漸近線直線l的方程.6分 直線l與m的距離.8分 （2）設過原點且平行與l的直線則直線l與b的距離當 又雙曲線C的漸近線為 雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。 證法二 雙曲線的右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得， 設 當，0.13分將 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假設不成立 故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l 的距離為.16分39.（2009上海卷文）（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條

30、漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線C的方程； （2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；（3） 證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.【解】（1）設雙曲線的方程為 ，解額雙曲線的方程為（2）直線，直線由題意，得，解得（3）【證法一】設過原點且平行于的直線則直線與的距離當時， 又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為【證法二】假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得設，當時，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設不成立，故在雙曲線的

31、右支上不存在點，使之到直線的距離為 40.（2009重慶卷理）（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，是橢圓上的動點（）若的坐標分別是，求的最大值；（）如題（20）圖，點的坐標為，是圓上的點，是點在軸上的射影，點滿足條件：，求線段的中點的軌跡方程； (20)（本小題12分）解：（）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為（a b 0 ）. 設，由準線方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 . 又易知C，D兩點是橢圓的焦點，所以, 從而，當且僅當，即點M的坐標為時上式取等號，的最大值為4. （II）如圖（20）

32、圖，設 .因為，故 因為 所以 . 記P點的坐標為，因為P是BQ的中點所以 由因為 ，結(jié)合，得 故動點P的估計方程為41.（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（）問5分，（）問7分）已知以原點為中心的雙曲線的一條準線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如題（20）圖，點的坐標為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標； 解：（）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故可設雙曲線的方程為，設，由準線方程為得，由得 解得 從而，該雙曲線的方程為；（）設點D的坐標為，則點A、D為雙曲線的焦點，所以 ，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故 從而當在線段CD上時取等號，此時的最小值為直線CD的方程為，因點M在雙曲線右支上，故由方程組 解得 所以點的坐標為； - 56 -