《2020年高考數學一輪復習 專題08 對數與對數函數（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年高考數學一輪復習 專題08 對數與對數函數（含解析）（22頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題08指數與指數函數 最新考綱 1.了解指數函數模型的實際背景． 2.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算． 3.理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，，的指數函數的圖象． 4.體會指數函數是一類重要的函數模型. 基礎知識融會貫通 1．分數指數冪 (1)我們規(guī)定正數的正分數指數冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在條件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以寫成分數指數冪的形式．正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規(guī)定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分數

2、指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義． (2)有理數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數函數的圖象與性質 【知識拓展】 1．指數函數圖象的畫法 畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，. 2.指數函數的圖象與底數大小的比較 如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，a≠1)

3、的圖象越高，底數越大． 3．指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究． 重點難點突破 【題型一】指數冪的運算 【典型例題】 若0＜a＜1，b＞0，且，則ab﹣a﹣b等于（　　） A． B．2或﹣2 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵， ∴a2b+a﹣2b＝8﹣2＝6． ∴（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4． ∵0＜a＜1，b＞0， ∴ab＜a﹣b， 則ab﹣a﹣b＝﹣2． 故選：C． 【再練一題】 設a＞0，將表示成分數指數冪，其結果是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：由題意

4、 故選：C． 思維升華 (1)指數冪的運算首先將根式，分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意： ①必須同底數冪相乘，指數才能相加； ②運算的先后順序． (2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數． (3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數． 【題型二】指數函數的圖象及應用 【典型例題】 函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過點A，則下列函數中圖象不經過點A的是（　　） A．y B．y＝|x﹣2| C．y＝2x﹣1 D．y＝log2（2x） 【解答】解：函數f（x）＝y(tǒng)＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過點

5、A， 即x﹣1＝0，可得x＝1， 那么：y＝1． ∴恒過點A（1，1）． 把x＝1，y＝1帶入各選項， 經考查各選項，只有A沒有經過A點． 故選：A． 【再練一題】 函數的圖象的大致形狀是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：f（x）是分段函數，根據x的正負寫出分段函數的解析式，f（x）， ∴x＞0時，圖象與y＝ax在第一象限的圖象一樣，x＜0時，圖象與y＝ax的圖象關于x軸對稱， 故選：C． 思維升華 (1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除． (2)對于有關指數型函數的圖象可從指數函數的圖象通過平

6、移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論． 【題型三】指數函數的性質及應用 命題點1　指數函數單調性的應用 【典型例題】 已知函數f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），則a，b，c的大小關系為（　?。? A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【解答】解：根據題意，函數f（x）＝（）x，則f（x）在R上為減函數， 又由20.3＜21＜2＜log25， 則a＞b＞c； 故選：B． 【再練一題】 下列不等關系式正確的是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：A冪函

7、數y在（0，+∞）上是增函數，則，故A錯誤， B．函數y在R上是增函數，則，故B錯誤， C．冪函數y在（0，+∞）上是減函數，則，故C正確， D．函數y＝0.7x在R上是減函數，則，故D錯誤， 故選：C． 命題點2　與指數函數有關的復合函數的單調性 【典型例題】 已知函數． （1）判斷f（x）的單調性； （2）求f（x）的值域； （3）解方程f（x）＝0； （4）求解不等式f（x）＞0． 【解答】解：（1）此函數由y＝t2+t﹣2與t兩個函數復合而成，由于t是一個減函數，且其值域為（0，+∞），函數 y＝t2+t﹣2在（，+∞）是增函數，此復合函數外增內減，故是單調

8、遞減函數； （2）由（1）內層函數的值域是（0，+∞），外層函數在（0，+∞）上是增函數，故函數的值域為（﹣2，+∞）； （3）由f（x）＝0得t2+t﹣2＝0，解得t＝﹣2（舍）或t＝1，令解得x＝0； （4）由f（x）＞0得t2+t﹣2＞0解得t＞1或t＜﹣2（舍），令，解得x＜0，即不等式的解集是（﹣∞，0）． 【再練一題】 已知函數f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的單調區(qū)間； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范圍． 【解答】解：（1）當a＝﹣1時，f（x）， 令g（x）＝﹣x2﹣4x+3， 由于g（

9、x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞增，在（﹣2，+∞）上單調遞減， 而yt在R上單調遞減， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞減，在（﹣2，+∞）上 單調遞增， 即函數f（ x）的遞增區(qū)間是（﹣2，+∞），遞減區(qū)間是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，yh（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）應有最小值﹣1， 因此1， 解得a＝1． 即當f（x）有最大值3時，a的值等于1． （3）由指數函數的性質知， 要使y＝h（x）的值域為（0，+∞）． 應使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域為R， 因此只能有a＝0． 因為若a≠0，則h（x）為二次函數，其

10、值域不可能為R． 故 a的取值范圍是{0}． 命題點3　指數函數性質的綜合應用 【典型例題】 對于函數f（x）＝4x﹣m?2x+1，若存在實數x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，則實數m的取值范圍是（　?。? A．m B．m C．m≤1 D．m≥1 【解答】解：∵f（x）＝4x﹣m?2x+1，f（﹣x0）＝﹣f（x0）， ∴m?m?， ∴m（）， ∴2m， 令t，則t≥2， ∴2m＝t（t≥2）， ∵函數y＝t與函數y在[2，+∞）上均為單調遞增函數， ∴2m＝t（t≥2）在[2，+∞）上單調遞增， ∴當t＝2時，2m＝t（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，

11、 解得：m． 故選：B． 【再練一題】 函數的值域為（　?。? A． B． C．（0，] D．（0，2] 【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1 ∵單調遞減 ∴即y 故選：A． 思維升華 (1)利用指數函數的函數性質比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則． (2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域，單調區(qū)間，最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷． 基礎知識訓練 1．下列說法正確的是（ ） A．對任意的，必有 B．若，對任意的，必有 C．若，對任意的，必有 D．若，總存在，當時，總有

12、 【答案】D 【解析】 對于選項A，取，則，不滿足，故A錯誤； 對于選項B，取，則，，故選項B錯誤； 對于選項C，取，則，故選項C錯誤； 故選項D一定正確。（選項D中，，可知都是增函數，同時二者圖象關于直線對稱，而函數也是增函數，當足夠大時，指數函數的增長速度最大，對數函數的增長速度最慢，故存在，當時，總有.） 2．若tanα=1+lgt，tanβ=lg，且α+β=，則實數t的值為（　?。? A． B．1 C．或1 D．1或10 【答案】C 【解析】 ∵tanα＝1+lgt，tanβ＝lg，且α+β， ∴tan（α+β）＝tan， ∴1＝1﹣（1+lgt）lg， ∴（1

13、+lgt）lg0， ∴10t＝1或1， ∴t或1． 故選：C． 3．函數的單調遞增區(qū)間為　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 在定義域內單調遞減 根據復合函數單調性可知，只需單調遞減即可 結合定義域可得單調遞增區(qū)間為： 本題正確選項： 4．設正實數a，b滿足3a=7b，下面成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵正實數a，b滿足3a=7b， ∴設3a=7b=t，（t＞0），則a=log3t，b=log7t， ∴=log7t×logt3==log73， ∴． 故選：B． 5．已知，b=l

14、og827，，則a，b，c的大小關系為（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，log25＞log23＞1，； ∴a＞b＞c． 故選：D． 6．下列四類函數中，具有性質“對任意的，函數滿足“”的是（　?。? A．冪函數 B．對數函數 C．指數函數 D．一次函數 【答案】C 【解析】 在A中，冪函數不滿足性質“對任意的，函數滿足“”，故A錯誤； 在B中，對數函數不滿足性質“對任意的，函數滿足“”，故B錯誤； 在C中，指數函數滿足性質“對任意的，函數滿足“”，故C正確； 在D中，一次函數不滿足性質“對任意的，函數滿足“”，故D錯誤．

15、 故選：C． 7．計算：　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 本題正確選項： 8．已知是定義在上奇函數，當時，，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由題意，函數是定義在上的奇函數，且當時，， 則，故選A. 9．關于x的函數上為減函數，則實數a的取值范圍是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 函數上為減函數， 則上為增函數，且在上大于0恒成立． 則，解得實數a的取值范圍是． 故選：C． 10．成立的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】

16、A 【解析】 解：lnx＞1?x＞e ∵x＞3?x＞e， x＞e推不出x＞3， ∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要條件 故選：A． 11．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ,故 故選：C 12．已知實數，則的大小關系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 本題正確選項： 13．已知，則______． 【答案】 【解析】 因為，所以，所以. 故答案為 14．若函數_____． 【答案】6 【解析】 由題 故答案為6 15．設函數的圖象與的圖象關于直線對稱，且，則實數____

17、_． 【答案】 【解析】 函數y＝f（x）的圖象與的圖象關于直線y＝﹣x對稱， 設f（x）上任意一點為（x，y），則（x，y）關于直線y＝﹣x對稱的點為（﹣y，﹣x）， 把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝， ∴f（x）＝log3（-x）+a， ∵f（﹣3）+f（﹣）＝4， ∴1+a﹣1+a＝4， 解得a＝2． 故答案為2． 16． __________． 【答案】2 【解析】 由題意． 17．計算下列各式的值： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）原式＝； （Ⅱ）原式＝． 18．已知函數 ，求的單調區(qū)間； 是否存在實數a，使的

18、最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 【答案】（I）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（II）存在實數，使的最小值為0. 【解析】 ， 可得函數 真數為 函數定義域為 令 可得：當時，t為關于x的增函數； 當時，t為關于x的減函數． 底數為 函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為 設存在實數a，使的最小值為0， 由于底數為，可得真數恒成立， 且真數t的最小值恰好是1， 即a為正數，且當時，t值為1． 因此存在實數，使的最小值為0． 19．已知函數的圖象過點． 判斷函數的奇偶性并求其值域； 若關于x的方程上有解，求實數t的取值范圍． 【答案】（

19、Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】 函數的圖象過點 即： （Ⅰ） 則的定義域為，關于原點對稱 且 故為偶函數 又由 故，即和值域為 （Ⅱ）若關于的方程上有解 即，即上有解 即上有解 由對勾函數的圖象和性質可得： 當時，取最小值；當時，取最大值 故實數的取值范圍是 20．已知函數 （I）若函數，求函數的定義域； （II）求不等式的解集. 【答案】（I）（II）見解析 【解析】 （I）由得，由，取交集得到， 所以函數的定義域為 （II）由得， 當時，有 得，得 由（I）知，所以， 當時，有 得 由（I）知，所以， 綜上，解集為

20、（2，3）. 能力提升訓練 1．若，則( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因為上遞增， 又， 所以. 故選：B 2．若，則下列不等式成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由可得，又，所以，綜上，可得．故選A． 3．在同一直角坐標系中，函數f（x）＝（x≥0），g（x）＝的圖象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：∵實數a＞0且a≠1， ∴函數f（x）＝xa（x＞0）是上增函數，故排除A； ∴當a＞1時， 在同一直角坐標系中，函數f（x）＝x

21、a（x＞0）是下凹增函數，g（x）＝logax的是增函數， 觀察四個選項，沒有符合條件選項； 當0＜a＜1時， ∴在同一直角坐標系中，函數f（x）＝xa（x＞0）是增函數，g（x）＝logax是減函數， 由此排除B和C，符合條件的選項只有D． 故選：D． 4．設則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 上單調遞增 ，即 又 又 本題正確選項： 5．已知實數滿足，且，則　　 A． B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】 實數滿足，故， 又由得：， 解得：，或舍去， 故， ，故選D．

22、 6．函數的單調遞增區(qū)間是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t＝x2﹣2x﹣8，則y＝lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）時，t＝x2﹣2x﹣8為減函數； x∈（4，+∞）時，t＝x2﹣2x﹣8為增函數； y＝lnt為增函數， 故函數f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的單調遞增區(qū)間是（4，+∞）， 故選：D． 7．記函數的定義域為M，的定義域為N. （1）求M； （2）若，求實數a的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）定義域要求： 即：

23、（2）定義域要求： 即： 若，則 即： 8．已知. （1）若，求t的值； （2）當，且有最小值2時，求的值； （3）當時，有恒成立，求實數的取值范圍. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1） 即 （2）， 又單調遞增， 當，解得 當， 解得（舍去） 所以 (3），即 ，，，， ，依題意有 而函數 因為，，所以. 9．設函數 值域為R

24、，求實數m的取值范圍 對于恒成立，求實數m的取值范圍． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 函數 設函數， 值域為R， 是函數的值域的子集； 當時，可得，其值域為R，滿足題意； 當時，則，即， 解得：． 綜上可得實數m的取值范圍是； ，即． 當時，可得恒成立， 即函數恒成立， 其對稱軸 即可 可得：． 解得：． 當時，可得恒成立， 即恒成立， 可得：， 即， 令， ， 則， ， 當時，， ． 得． 綜上可得：實數m的取值范圍是． 10．已知函數． 求函數的定義域； 求滿足的實數的取值范圍． 【答案】，或. 【解析】 對于函數，應有，求得，或， 故該函數的定義域為，或． ，即， 即，求得， 即實數x的取值范圍為． 22