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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)14 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 文(含解析)北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(十四)  (建議用時(shí):60分鐘) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1.函數(shù)y=4x2+的增區(qū)間為(  ) A.(0,+∞)   B. C.(-∞,-1) D. B [函數(shù)y=4x2+的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞), y′=8x-=,令y′>0,得8x3-1>0. 解得x>,故選B.] 2.若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上遞增,則k的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) D [由于f′(x)=k-,f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上遞增?f′(x)=k-≥0在(1,+∞

2、)上恒成立. 由于k≥,而0<<1,所以k≥1.即k的取值范圍為[1,+∞).] 3.已知函數(shù)f(x)=xsin x,x∈R,則f,f(1),f的大小關(guān)系為(  ) A.f>f(1)>f B.f(1)>f>f C.f>f(1)>f D.f>f>f(1) A [因?yàn)閒(x)=xsin x, 所以f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x). 所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f=f.又x∈時(shí),f′(x)=sin x+xcos x>0,所以此時(shí)函數(shù)是增函數(shù). 所以f<f(1)<f. 所以f>f(1)>f,故選A.] 4.已知函數(shù)f(x)=x3-ax,在(-1,1)

3、上遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.(1,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,3] B [f′(x)=3x2-a,由題意知3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2在(-1,1)上恒成立,又0≤3x2<3,則a≥3,故選B.] 5.(2019·長(zhǎng)春模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f′(x)>f(x)恒成立,若x1<x2,則ex1f(x2)與ex2f(x1)的大小關(guān)系為(  ) A.ex1f(x2)>ex2f(x1) B.ex1f(x2)<ex2f(x1) C.ex1f(x2)=ex2f(x1) D.ex1f(x2)與ex2f(x1)的大小關(guān)

4、系不確定 A [設(shè)g(x)=, 則g′(x)==, 由題意得g′(x)>0,所以g(x)遞增, 當(dāng)x1<x2時(shí),g(x1)<g(x2),即<, 所以ex1f(x2)>ex2f(x1),故選A.] 二、填空題 6.函數(shù)f(x)=x2-2ln x的遞減區(qū)間是________. (0,1) [函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞) f′(x)=2x-=,令f′(x)<0得 0<x<1,因此f(x)的遞減區(qū)間為(0,1).] 7.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)上遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. [3,+∞) [∵函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)上

5、遞減,∴f′(x)=3x2-2ax≤0在(0,2)上恒成立, 即a≥x在(0,2)上恒成立. ∵t=x在(0,2]上的最大值為×2=3,∴a≥3.] 8.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a-1)x(a∈R)是區(qū)間(1,4)上的單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是________. (-∞,2]∪[5,+∞) [f′(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)] ∵f(x)是區(qū)間(1,4)上的單調(diào)函數(shù). ∴a-1≤1或a-1>4,解得a≤2或a≥5.] 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y=x.

6、 (1)求a的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. [解] (1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=--(x>0), 由f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y=x,知f′(1)=--a=-2,解得a=. (2)由(1)知f(x)=+-ln x-, 則f′(x)=(x>0). 令f′(x)=0,解得x=-1或x=5. 因?yàn)閤=-1不在f(x)的定義域(0,+∞)內(nèi),故舍去. 當(dāng)x∈(0,5)時(shí),f′(x)<0, 故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù); 當(dāng)x∈(5,+∞)時(shí),f′(x)>0, 故f(x)在(5,+∞)內(nèi)為增函數(shù), 綜上,f(x)的增區(qū)間為(5,+∞),減

7、區(qū)間為(0,5). 10.已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. [解] 函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞), f′(x)=x-+a-2=. ①當(dāng)-a=2,即a=-2時(shí),f′(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增. ②當(dāng)0<-a<2,即-2<a<0時(shí),∵0<x<-a或x>2時(shí),f′(x)>0;-a<x<2時(shí),f′(x)<0, ∴f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)遞增,在(-a,2)內(nèi)遞減. ③當(dāng)-a>2,即a<-2時(shí), ∵0<x<2或x>-a時(shí),f′(x)>0;2<x<-a時(shí),f′(x)<0, ∴f(x)在(0,2),(-a

8、,+∞)內(nèi)遞增,在(2,-a)內(nèi)遞減. 綜上所述,當(dāng)a=-2時(shí),f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增;當(dāng)-2<a<0時(shí),f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)遞增,在(-a,2)內(nèi)遞減;當(dāng)a<-2時(shí),f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)遞增,在(2,-a)內(nèi)遞減. B組 能力提升 1.(2019·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<,則f(x)<+的解集為(  ) A.{x|-1<x<1}    B.{x|x<-1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1} D [令φ(x)=f(x)--,則φ′(x)=f′(x)-<0,∴φ(x)在R上是減

9、函數(shù).∵φ(1)=f(1)--=1-1=0,∴φ(x)=f(x)--<0的解集為{x|x>1},故選D.] 2.(2017·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上遞增,則稱(chēng)函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是(  ) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x A [若f(x)具有性質(zhì)M,則[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定義域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定義域上恒成立. 對(duì)于選項(xiàng)A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln

10、 2=2-x(1-ln 2)>0,符合題意. 經(jīng)驗(yàn)證,選項(xiàng)B,C,D均不符合題意. 故選A.] 3.(2019·合肥模擬)已知f(x)=e-x-ex+x-sin x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則不等式f(x2-x)<f(x+3)的解集為_(kāi)_______. (-∞,-1)∪(3,+∞) [由已知得,f(-x)=ex-e-x-x+sin x=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),又f′(x)=-e-x-ex+1-cos x,-e-x-ex=-≤-2,所以f′(x)<0恒成立,所以f(x)是R上的減函數(shù),所以f(x2-x)<f(x+3),即x2-x>x+3,所以x2-2x-3>0,所以x<-

11、1或x>3.] 4.(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+2ax. (1)若a=1,求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程; (2)若f(x)在R上遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解] (1)∵當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=ex-2x+2,∴f′(1)=e, 又f(1)=e+1, ∴所求切線(xiàn)方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0. (2)f′(x)=ex-2x+2a, ∵f(x)在R上遞增,∴f′(x)≥0在R上恒成立, ∴a≥x-在R上恒成立,令g(x)=x-, 則g′(x)=1-,令g′(x)=0,則x=ln 2, 在(-∞,ln 2)上,g′(x)>0;在(ln 2,+∞)上,g′(x)<0, ∴g(x)在(-∞,ln 2)上遞增,在(ln 2,+∞)上遞減, ∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞). - 6 -

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