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1、任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計及其效果分析0、 引 言 三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他函數(shù)相比具有很多重要的特征: 它以角為自變量,是周期函數(shù),同時也是解決其他問題的重要工具,與后續(xù)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容有聯(lián)系. 作為高中階段最后學(xué)習(xí)的一個基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材,因此在教學(xué)上受到教師的足夠重視. 但是從實際教學(xué)效果上來看學(xué)生掌握的內(nèi)容并不理想. 造成這種結(jié)果有以下幾個原因: (1) 混淆初高中所學(xué)三角函數(shù)的定義,認為高中所學(xué)的內(nèi)容就是在初中所學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上的推廣,任意角三角函數(shù)仍然是解決三角形邊角關(guān)系的工具,沒有體會其中所蘊含的函數(shù)思想. (2) 對于弧度制的引入和單位圓的定義

2、在認知上存在障礙.為了解決上述問題,本文從 HPM 的視角下重新對三角函數(shù)的內(nèi)容進行整合,探索符合學(xué)生認知規(guī)律且順應(yīng)三角函數(shù)歷史發(fā)展規(guī)律的教學(xué)設(shè)計. 希望能為教師教學(xué)提供一點幫助. 1、 HPM 理論簡介 1972 年,在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上,成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組(International Study Group on the Relations betweenHistory and Pedagogy of Mathematics,簡稱 HPM) ,這也標志著一個數(shù)學(xué)教育研究的新領(lǐng)域出現(xiàn). HPM 研究主要內(nèi)容包括: 數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究、基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計、關(guān)于

3、相似性的實證研究和數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐探索. 數(shù)學(xué)史的引入對數(shù)學(xué)教學(xué)的確有一定的促進作用,但是如何引入、引入哪些內(nèi)容,一直是困擾著老師們的問題,尤其在國內(nèi)研究此領(lǐng)域的內(nèi)容比較匱乏,因此在實際教學(xué)中有很多老師選擇避而不談或是簡略帶過. 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用方式通常有 3 種,一是提供直接的歷史信息,二是借鑒歷史進行教學(xué),三是開發(fā)對數(shù)學(xué)及其社會文化背景的深刻覺悟. 其第二種方式就是發(fā)生教學(xué)法,通常所說的 HPM(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系) 視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)采用的主要就是這種方法. 從哲學(xué)家、教育家和數(shù)學(xué)家的論述可以看出,發(fā)生教學(xué)法是一種借鑒歷史、呈現(xiàn)知識自然發(fā)生過程、介于嚴格歷史方法和嚴格演繹

4、方法之間的一種方法. 本文基于 HPM 理論的背景下,以三角函數(shù)的概念教學(xué)為例,試圖找到將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂完美融合的思路,為今后教師在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史提供參考案例,并將數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂的作用發(fā)揮到最大. 2、 三角函數(shù)概念的歷史及其重構(gòu) 三角函數(shù)概念的發(fā)展前后經(jīng)歷了 4000 多年,從早期在天文學(xué)中應(yīng)用的三角學(xué)知識可以追溯至古巴比倫年代或者更早. 古埃及人由于尼羅河不定期的泛濫而遭受打擊,因此他們注意觀察尼羅河泛濫的規(guī)律以及時間. 后來人們注意到每逢天狼星于黃昏之后升起的日子尼羅河就會泛濫. 于是人們就開始記錄天狼星與太陽的位置,人們?yōu)榱私鉀Q實際問題引入了角等概念. 但是這并不是嚴格意義上的三

5、角學(xué),只能算是三角學(xué)的前身,是一種對天文觀測結(jié)果進行推算的方法. 三角學(xué)最早的創(chuàng)建者是希臘數(shù)學(xué)家 Hipparchus(約公元前 180 公元前 127) 被稱為三角學(xué)之父. 為了定量地解決天體的位置問題,他將球面三角方法引用于此,并且制作了弦表. 弦表是在固定的圓內(nèi)不同圓心角所應(yīng)的弦長,此時的正弦指的是圓弧所對弦的弦長相當于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的 2 倍. 后來 Ptolemy(約公元 100 178) 在此基礎(chǔ)上又豐富了弦表. 在 Ptolemy 的弦表中,弦指的是當圓的半徑為 60 時弦的長度,而不是一個比值.而印度數(shù)學(xué)家 Aryabhata 與希臘人的做法不同,他默認曲線和直線可以用

6、同一單位,此時他計算的弦是圓弧所對弦的半弦長,相當于現(xiàn)在所指的正弦. 其后Regiomontanus(1436 1476) 在他的著作論各種三角形中首次對三角學(xué)做了完整、獨立的闡述,使三角學(xué)正式從天文學(xué)中獨立出來. 在書中采用了印度人的正弦,即圓弧的半弦,明確使用了正弦函數(shù)這一概念. 討論了一半三角形的正弦定理,提出了求三角形邊長的代數(shù)解法,給出了球面三角形的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理. 后來哥白尼的學(xué)生、印度數(shù)學(xué)家 Rheticus(1514 1576) 最先給出角的正弦概念,把原來說弧的正弦改成了說銳角的正弦. 三角形就形成了三角關(guān)系的基本結(jié)構(gòu),相應(yīng)的圓成了從屬.他把正弦、余弦、正切等定義

7、成直角三角形的邊長之比,從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨立出來,至此三角學(xué)真正形成了. 總之 16 世紀,三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來,成為數(shù)學(xué)的一個獨立分支,值得注意的是,這時所討論的三角函數(shù)僅限于銳角三角函數(shù),而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計算. 一直到 17 世紀,三角仍然是常量數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,直到 1729 年 Euler研究插值的方法時用三角級數(shù)表示了函數(shù),函數(shù)的思想成了三角學(xué)的組成部分,變量數(shù)學(xué)占據(jù)了核心地位. 隨著解析幾何和微積分的建立,三角函數(shù)的嚴格解析理論建立了,正弦不再是線段,而是變成了數(shù)值,是單位圓上點的縱坐標,而三角級數(shù)在實變函數(shù)的基礎(chǔ)上又形成了另一門重要的數(shù)

8、學(xué)分支調(diào)和分析.根據(jù)上面的歷史發(fā)展順序,三角函數(shù)概念(以正弦為例) 的發(fā)展歷史大致可以分為正弦是圓弧所對的弦的弦長,正弦是圓弧所對的弦的半弦長,正弦是比值,正弦是單位圓上點的縱坐標. 概括的說就是經(jīng)歷了幾何的三角學(xué),代數(shù)的三角學(xué),解析的三角學(xué). 學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的內(nèi)容,相當于代數(shù)的三角學(xué),是用來解決三角形三邊關(guān)系的主要工具. 而后來當用解析的眼光來看待三角學(xué)的時候,三角函數(shù)是用來刻畫函數(shù)性質(zhì)的工具而不再拘泥于解決三角形邊角關(guān)系的問題,而任意角的三角函數(shù)的研究與圓周運動密不可分. 所以銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間關(guān)系而發(fā)展起來的,任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起

9、來的,他們研究的現(xiàn)象不同,表現(xiàn)的性質(zhì)也不同,我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣(或一般化) ,又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的限定.學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的任意角三角函數(shù)的內(nèi)容應(yīng)該是以函數(shù)的眼光來對待,認真體會其作為函數(shù)的一些性質(zhì),尤其是周期性. 因為三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實事物周期性很好的一個模型. 教材(人教 A 版) 只是在第一節(jié)內(nèi)容上安排了任意角與弧度制的內(nèi)容,接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數(shù),教師的普遍作法也是回顧初中銳角三角函數(shù)的定義,然后讓學(xué)生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣的任意角三角函數(shù). 這種講法無疑就把學(xué)生陷入一個誤區(qū),即任意角三角函數(shù)是銳角三角

10、函數(shù)的推廣,自然有很多同學(xué)認為任意角三角函數(shù)仍然是研究三角形三邊關(guān)系的工具只是不再局限于銳角三角形,也有很多同學(xué)排斥單位圓的定義,覺得不如初中給的比值法好,不直觀難用來計算. 盡管這樣的處理方式很直截了當,但對照發(fā)生教學(xué)法我們發(fā)現(xiàn)這種做法存在以下不足: (1) 沒有講明高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)研究的內(nèi)容和方法都不同,容易造成學(xué)生的概念混淆. (2) 沒有很好的利用單位圓,單位圓是函數(shù)周期性的一個很好的體現(xiàn),在三角函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)中有很大的作用. 但學(xué)生在教師的實際教學(xué)中體會的很少.基于發(fā)生教學(xué)法,考慮學(xué)生在了解三角函數(shù)發(fā)展歷史之后,就不會陷入銳角三角函數(shù)同任意角三角函數(shù)概念混淆

11、的誤區(qū),能更好的認識單位圓在研究三角函數(shù)中的重要作用,體會其作為一個周期函數(shù)的性質(zhì)等等,因此對三角函數(shù)的概念的歷史進行重構(gòu)以便于教學(xué). 3、 任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計 基于三角函數(shù)概念(以正弦為例) 的發(fā)展歷史,講其進行重構(gòu)并應(yīng)于實際教學(xué). 如圖 1: 3. 1 學(xué)情分析 學(xué)生在前面一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了弧度制,從弧度制一課來講數(shù)學(xué)史的引入就很有必要,很多學(xué)者在前面的研究中已經(jīng)給出了很多寶貴的建議. 在前一節(jié)的很好的鋪墊下,學(xué)生已經(jīng)體會到引入弧度制的必要性,這也為本節(jié)學(xué)習(xí)單位圓打下了良好的基礎(chǔ). 學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)的定義,對三角函數(shù)(正弦、余弦、正切) 有一定的了解,而且學(xué)生通過弧度制

12、的歷史回顧,已經(jīng)了解了銳角三角函數(shù)在解三角形中的作用. 因此我建議對于銳角三角函數(shù)的概念的回顧可以放在弧度制一課對弧度制的歷史回顧之中完成,因為在弧度制最早的也是為了解決三角形邊角關(guān)系的情況下產(chǎn)生的. 是區(qū)別于角度制的另外一種度量方式. 而在本節(jié)課任意角的三角函數(shù)中,先不要提及銳角三角函數(shù)的定義方式,以免學(xué)生發(fā)生概念的混淆. 等到學(xué)生熟練掌握了任意角三角函數(shù)的概念以后,再把初高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容進行對比,這樣即可以幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系,也能讓學(xué)生更好的體會任意角三角函數(shù)作為函數(shù)的性質(zhì). 3. 2 教學(xué)情景設(shè)計 高中生具有豐富的生活經(jīng)驗和聯(lián)想,因此從現(xiàn)實生活入手更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 如觀察: 鐘表

13、指針的旋轉(zhuǎn)、自行車輪子的旋轉(zhuǎn)、摩天輪、跳水運動員優(yōu)美的動作,這些周期現(xiàn)象中都存在著超過 180°的角,而且形成的圖形都與圓有關(guān),那么我們?nèi)绾窝芯窟@種周期現(xiàn)象呢? 任意角的三角函數(shù)是我們的好幫手,回顧歷史我們可知,正弦和余弦是一對起源于圓周運動,密切配合的周期函數(shù),是圓對稱性的直接反映. 因此三角函數(shù)也叫圓函數(shù),我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)存在很大的差別. 就此借助單位圓引入任意角三角函數(shù)的概念. 3. 2. 1 任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)片段 問題一: 如何借助圓來研究三角函數(shù)? 回顧歷史上數(shù)學(xué)家的做法,三角學(xué)最早起源于天文學(xué),而三角函數(shù)是用于研究圓內(nèi)接圖形(主要是三角形)

14、 的工具,隨著后來的發(fā)展是用于研究確定行星位置的工具. 那么如何借助于圓來研究三角函數(shù)的內(nèi)容呢? 通過觀察幾組圖片,鐘表兩個指針的運動軌跡、自行車輪子旋轉(zhuǎn)等圖片,激發(fā)學(xué)生的興趣. 顯然我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到角的頂點的距離為 1(方便定義三角函數(shù)) ,隨著角度的任意擴大,以這個點旋轉(zhuǎn)一周的軌跡圓,來幫助我們學(xué)習(xí)三角函數(shù). 雖然在此處沒有提到,這是數(shù)學(xué)家歐拉的做法,將單位圓的半徑定位 1,大大方便了我們研究三角函數(shù)的過程. 我們在此引入單位圓的定義: 在直角坐標系中,我們稱以原點 O 為圓心,以單位長度為半徑的圓. 問題二: 如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義? 如圖 2

15、,設(shè) α 是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y) ,那么: (1) y 叫做α 的正弦(sine) ,記做 sinα,即sinα = y; (2) x叫做α 的余弦(cosine) ,記 問題三: 任一點 P 的選擇,對于任意角三角函數(shù)的值有沒有影響? 回顧最初引入單位圓的過程,學(xué)生借助于相似三角形的知識可以得到點 P 的選擇對于任意角三角函數(shù)的值沒有影響. 問題四: 任意角的三角函數(shù)符號的確定與點p(x,y) 的坐標有什么關(guān)系? 引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析,r 0,三角函數(shù)值的符號決定于橫坐標、縱坐標的正負.問題五

16、: 如何借助單位圓研究三角函數(shù)的周期性? 我們觀察圖形發(fā)現(xiàn),角度每變化 360°的整數(shù)倍的時候,角的終邊又回到了同一位置,因此終邊相同的同名三角函數(shù)值應(yīng)該相等. 這樣一來可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求 0 到 2π(0° 360°) 角的三角函數(shù)值,簡化我們的計算.課后思考: 觀察單位圓,我們可以得到同角三角函數(shù)之間存在著哪些關(guān)系呢? 為一下節(jié)課研究同角三角函數(shù)的關(guān)系做好鋪墊. 4、 課堂實施與問卷調(diào)查 按照 HPM 視角下的教學(xué)設(shè)計,研究者在 2013年于北京市某重點高中實習(xí)期間做了充分的調(diào)查研究,并進行了課堂教學(xué)的實踐. 該校在高中一年級學(xué)習(xí)完必修一之后

17、接著學(xué)習(xí)必修四的內(nèi)容,可以說為任意角三角函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊. 該校文理科班級比例為 1: 3,考慮到文科班的同學(xué)對于歷史更感興趣效果應(yīng)該優(yōu)于理科班,所以選擇 2 個理科班,1 個文科班來進行教學(xué). 但是結(jié)果卻出乎意料,理科生對本節(jié)課表示出了濃厚的興趣,甚至熱情高于文科班. 以下是對某個理科班同學(xué)的課后訪談片段: T(教師) : 對今天這節(jié)課的感覺如何?S(學(xué)生) : 挺好的,感覺比以往新穎,似乎更有興趣了.T: 你理解今天所講的任意角三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的差別了嗎?S: 理解了,初中學(xué)習(xí)內(nèi)容是研究三角形邊角關(guān)系的,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是具有函數(shù)性質(zhì)的. 不是同一個內(nèi)容.S: 那你理

18、解在這里引入單位圓的作用了嗎?T: 差不多吧,圓具有周期性、對稱性,用來研究三角函數(shù)很好. 最后老師又問了一個問題,感覺還有內(nèi)容要學(xué)習(xí).T: 那今后采用這種方式上課怎么樣?S: 好啊,不容易溜號了.圖 3 是對全體授課班級同學(xué)學(xué)習(xí)情況的統(tǒng)計,我們可以看到本節(jié)課的教學(xué)效果還是顯著的. 三角函數(shù)歷史悠久,有幾何的、代數(shù)的、解析的視角,現(xiàn)在向量也進入教材,三角函數(shù)和向量、復(fù)數(shù)之間的關(guān)系也應(yīng)引起教師重視,教師把對三角函數(shù)概念的理解局限于一節(jié)課、一章里是不對的,學(xué)生對一個概念的理解不是一蹴而就的,需要一個循序漸進的過程. 作為教師更要有全局觀念,在教三角這一章時要用三角的眼光看待后續(xù)內(nèi)容,適當?shù)倪x擇教學(xué)

19、方式方法. 因此建議教師在教授任意角三角函數(shù)概念的時候,不要把對學(xué)生理解此概念的任務(wù)放在這一節(jié)里,而是在整個單元的教學(xué)中都要反復(fù)的重視學(xué)生對任意角三角函數(shù)概念的理解情況. 從本課的課堂反饋和效果調(diào)查來看,基于 HPM 視角下的教學(xué)設(shè)計對于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念有一定的促進作用. 5、結(jié)論與反思 人的認識過程與人類認識的過程是基本一致的,所以我們需要研究數(shù)學(xué)史. 了解數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也應(yīng)在個人身上重現(xiàn),使我們懂得應(yīng)該怎樣安排學(xué)習(xí)順序,應(yīng)該選擇哪些有生命力的內(nèi)容. 教師在這一環(huán)節(jié)中起到了重要的作用.從實際教學(xué)上來看數(shù)學(xué)史雖然在數(shù)學(xué)課程標準和教材中都有明確的要求,但在實際課堂教學(xué)中卻幾乎沒有融入,即存在高評價、低應(yīng)用、理論層面和實踐操作層面相脫離的現(xiàn)象. 雖然實際教學(xué)中,教師需要查閱大量的歷史資料并對其進行重新整合才能適用于課堂的教學(xué),費時又費力,數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的運用確實存在一定的困難. 但是我們不能忽視其作用,應(yīng)該思考如何借助這一高效高產(chǎn)的方法提高我們教學(xué)的效果,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來龍去脈,體會其發(fā)展過程中蘊含的深刻數(shù)學(xué)思想,真正讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的魅力,充分的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 參考文獻: 汪曉勤. HPM 研究的內(nèi)容和方法J. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2006,2(1) : 18.