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1、全等三角形知識(shí)點(diǎn)梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線對(duì)應(yīng)相等。（4）全等三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線相等；（5）全等三角形的周長(zhǎng)和面積相等；3、全等三角形的判定方法（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ASA）（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）（4）兩邊和它

2、們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（HL）4、角平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 判定：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上（二）靈活運(yùn)用定理1、判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此在尋找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性。2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等。（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找： 夾邊相等（ASA）任一組等角的對(duì)邊相等(AAS)（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可

3、找: 夾角相等(SAS)第三組邊也相等(SSS)（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找: 任一組角相等(AAS 或 ASA)夾等角的另一組邊相等(SAS) 注意：判定兩個(gè)三角形全等必須具備的三個(gè)條件中“邊”是不可缺少的，邊邊角（SSA）和角角角（AAA）不能作為判定兩個(gè)三角形全等的方法。證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2.回顧三角形判定公理，搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式（順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證 明的問題）。常見考法：（1）利用全等三角形的

4、性質(zhì)：證明線段（或角）相等；證明兩條線段的和差等于另一條線段；證明面積相等；（2）利用判定公理來證明兩個(gè)三角形全等；（3）題目開放性問題，補(bǔ)全條件，使兩個(gè)三角形全等。老師誤區(qū)提醒：（1）忽略題目中的隱含條件；（2）不能正確使用判定公理。全等三角形常見題型分類練習(xí)全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用類型一.全等三角形的基本性質(zhì)應(yīng)用1下列命題正確的是( )A全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B全等三角形是指面積相同的兩個(gè)三角形C兩個(gè)周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形 D全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等2. 如圖1，ABDCDB，且AB、CD是對(duì)應(yīng)邊；下面四個(gè)結(jié)論中不正確的是：( )A.ABD和CDB的面積相等 B.

5、ABD和CDB的周長(zhǎng)相等C.A+ABD =C+CBD D.AD/BC，且AD = BC3.（2009海南）如圖所示，已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則度數(shù)是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50第2題 第3題4.（2009陜西）如圖，=30，則的度數(shù)為（ ）A20 B30C35 D40 5如圖，ABCAEF，AB和AE，AC和AF是對(duì)應(yīng)邊，那么BAE等于 ( ) AACBBBAFCFDCAF6已知ABCEFG，有B=70，E=60，則C=（ ）A 60 B 70 C 50 D 657（2009清遠(yuǎn)）如圖，若，且，則= 8ABC中，ABC432，且ABCDEF，則E_ABCC1A1B1CAB第4

6、題 第5題 第7題 9（2009邵陽）如圖，將RtABC(其中B34，C90）繞A點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到AB1 C1的位置，使得點(diǎn)C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（ ）A.56 B.68 C.124 D.18034B1CBAC1第9題 第12題10一個(gè)三角形的三邊為2、5、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、2、6，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y=_11已知ABCDEF，DEF的周長(zhǎng)為32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm則AB=_，BC=_，AC=_12如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)ABC在網(wǎng)格中作一個(gè)與它全等的三角形；如每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則ABC的面積是 全等三角形的證明【基礎(chǔ)

7、應(yīng)用】1（2009年江蘇?。┤鐖D，給出下列四組條件：； ； 其中，能使的條件共有（ ）A1組 B2組 C3組 D4組2.如圖，在ABC與DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使ABCDEF，不能添加的一組條件是( ) A.B=E,BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.A=D，B=E D.A=D，BC=EF3.（2009廣西）如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC、BD交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（ ）A2對(duì) B3對(duì) C4對(duì) D5對(duì) 第1、2題 第3題4.如圖：AB=DC，BE=CF，AF=DE。求證：ABEDCF。5如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分別為E、F

8、，ME=MF。求證：MB=MC6.如圖，1=2，ABC=DCB。求證：AB=DC。7. 已知BE=ED，1=2,求證：ABECDE8.如圖；AB=AC，BF=CF。求證：B=C。9.如圖：在ABC中，ADBC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F。 求證：（1）BE=AC，（2）BFAC?！灸芰μ岣摺款愋鸵?、平行線性質(zhì)的應(yīng)用1.如圖：ACEF，AC=EF，AE=BD。 求證：ABCEDF。2.如圖（8）A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線上，AC=DB，BECF，AEDF。求證：ABEDCF。CEBFDA3.(2009武漢)如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，

9、ABDE，ACB=F求證：D COA B4.如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC,OB=OD.求證DCAB. DAB F C E5.如圖，點(diǎn)B,E,C,F在一條直線上，F(xiàn)B=CE,ABED,ACFD.求證AB=DE,AC=DF.6.（2009黃石）如圖，C、F在BE上，A=D，ACDF,BF=EC求證：AB=DEABCFED7.如圖（16）ADBC，AD=BC，AE=CF。求證：（1）DE=DF，（2）ABCD。類型三、角平分線性質(zhì)應(yīng)用1如圖，ABC中，C = 90，AC = BC，AD是BAC的平分線，DEAB于E，若AC = 10cm，則BD+DE=（ ）A10cm B8cm C6cm

10、D9cm2尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法：以為O圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP,由作法得的根據(jù)是( ）A SAS BASA CAAS DSSS 3.如圖, C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離為( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能確定第1題 第2題 第3題 4如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB垂足分別為A，B下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）APA=PB BPO平分APB COA=OB DAB垂直平分OP5如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=

11、90AD平分BAC，BEAD交AC的延長(zhǎng)線于F，E為垂足則結(jié)論：AD=BF；CF=CD；AC+CD=AB；BE=CF；BF=2BE，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )A1 B.2 C3 D46.如圖,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,且AB=5cm,則DEB的周長(zhǎng)為 _OBAP第4題 第5題 第6題AEBDCF7.如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。求證：DE=DF 8.如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N求證：OAB=OBA9.已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180，求證：AE=AD+

12、BE10.如圖，ABC中，AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：C=2B類型四、垂直平分線性質(zhì)應(yīng)用1如圖，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E已知BAE=10，則C的度數(shù)為（ ）A B C D2如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB=5，AC=3，則AD的取值范圍是 。ADCEB第1題 第2題 3.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD4.如圖：A、E、F、B四點(diǎn)在一條直線上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求證：ACFBDE類型五、添加輔助線（一） 連接四邊形的對(duì)角線1. 如圖，AB/CD，AD/BC，

13、求證：AB=CD。（二）作垂線，利用角平分線的知識(shí)1. 如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P。求證：BP為MBN的平分線。2.如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分ABC，求證： AC1803.如圖，中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求證：CDAC（三） “截長(zhǎng)補(bǔ)短”構(gòu)造全等三角形1.如圖，ADBC， AE, BE分別平分DAB,CBA，CD過點(diǎn)E，求證;ABAD+BC2.如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;ABACPBPC3.已知ABC中，A=60，BD、CE分別平分ABC和ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 11 / 11