《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 課后限時集訓(xùn)48 直線與橢圓的位置關(guān)系 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 課后限時集訓(xùn)48 直線與橢圓的位置關(guān)系 理（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、課后限時集訓(xùn)(四十八)　直線與橢圓的位置關(guān)系 (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1．直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞)　　 B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞) B　[由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0， 由題意可知 解得又m＞0，且m≠3， ∴m＞1且m≠3.故選B.] 2．中心為(0,0)，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　[由題意可

2、設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則a2－b2＝50.(*) 設(shè)直線y＝3x－2與橢圓的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知 ①－②得＋＝0， 又由題意可知，弦中點的坐標為， 故x1＋x2＝1，y1＋y2＝－1. 又kAB＝＝3， 故＋＝0，∴a2＝3b2， 結(jié)合(*)得a2＝75，b2＝25， 即該橢圓的方程為＋＝1，故選C.] 3．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. A　[

3、由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故選A.] 4．(2018·石家莊二模)傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F，與橢圓交于A，B兩點，且＝2，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. B　[由題意可知，直線的方程為y＝x－c，與橢圓方程聯(lián)立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直線過橢圓的右焦點，故必與橢圓有交點，則Δ＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(

4、x2－c，y2)， ∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故選B.] 5.(2019·合肥模擬)如圖，橢圓＋＝1(a＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，交y軸于點H.若F1，H是線段MN的三等分點，則△F2MN的周長為(　　) A．20 B．10 C．2 D．4 D　[由F1，H是線段MN的三等分點，得H是F1N的中點，又F1(－c,0)，∴點N的橫坐標為c，聯(lián)立方程，得得N，∴H，M.把點M的坐標代入橢圓方程得＋＝1，化簡得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由橢圓的定義知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|

5、＝2a，∴△F2MN的周長為|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故選D.] 二、填空題 6．過橢圓C：＋＝1的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則＋等于________． 　[由題意可知F(－1,0)，故l的方程為y＝(x＋1)． 由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－. ∴A(0，)，B. 又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝， ∴＋＝.] 7．已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM的斜率與直線l的斜率的

6、乘積為________． －9　[設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2， 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0， 得xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝， 故直線OM的斜率kOM＝＝－， 即kOM·k＝－9，所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為－9.] 8．(2018·銅川一模)已知橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓交于點A，B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是________． 3　[如圖，設(shè)橢圓的右焦點為E，連接AE，BE.由橢圓的定義得，△FAB的周長為|AB

7、|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.當直線AB過點E時取等號，此時直線x＝m＝c＝1，把x＝1代入橢圓＋＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是×3×|EF|＝×3×2＝3.] 三、解答題 9.如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求橢圓C的離心率； (2)若斜率為2的直線l

8、過點(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程． [解]　(1)由已知|AB|＝|BF|， 即＝a， 4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2， ∴3a2＝4c2， ∴e＝＝. (2)由(1)知a2＝4b2， ∴橢圓C：＋＝1. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直線l的方程為y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 由消去y， 得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0， 即17x2＋32x＋16－4b2＝0. Δ＝322＋16×17(b2－4)＞0， 解得b＞. x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵OP⊥

9、OQ，∴·＝0， 即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0. 從而－＋4＝0， 解得b＝1，滿足b＞. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. 綜上可知，直線l的方程為2x－y＋2＝0， 橢圓C的方程為＋y2＝1. 10．已知A，B分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)在x軸正半軸、y軸正半軸上的頂點，原點O到直線AB的距離為，且|AB|＝ . (1)求橢圓C的離心率； (2)直線l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝2相切，并與橢圓C交于M，N兩點，若|MN|＝，求k的值． [解]　(1)由|AB|＝＝， ＝，a＞b＞0

10、， 計算得出a＝2，b＝，則橢圓C的離心率為e＝＝. (2)由(1)知橢圓方程為＋＝1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則消去y得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直線l與橢圓相交，則Δ＞0，即48(3k2－m2＋4)＞0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝. 又直線l與圓x2＋y2＝2相切， 則＝，即m2＝2(k2＋1)． 而|MN|＝· ＝ ＝＝， 又|MN|＝， 所以＝， 即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且滿足Δ＞0，故k的值為±1. B組　能力提升 1．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4

11、y＝0交橢圓E于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. A　[根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點到橢圓左、右焦點的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因為1≤b＜2，所以0＜e≤.] 2．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，且弦的中點是M(－4,1)，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. C　[設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點

12、，因為AB的中點是M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直線AB的斜率k＝＝1.因為所以兩式相減可得＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是橢圓的離心率e＝＝＝，故選C.] 3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)與直線y＝x＋3只有一個公共點，且橢圓的離心率為，則橢圓C的方程為________． ＋＝1　[將直線方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由橢圓與直線只有一個公共點得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化簡得a2＋b2＝9.又由橢圓的離心率為，所以＝＝，則＝，解得a2＝5，b2＝4，所以橢圓方程為

13、＋＝1.] 4.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax＋2by－ab＝0相切． (1)求橢圓C的離心率； (2)如圖，過F1作直線l與橢圓分別交于P，Q兩點，若△PQF2的周長為4，求·的最大值． [解]　(1)由題意得＝c， 即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)， 所以a2＝2b2，所以橢圓C的離心率e＝. (2)因為△PQF2的周長為4， 所以4a＝4，所以a＝， 由(1)易知b＝1，則橢圓C的方程為＋y2＝1，且焦點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， ①若直線l斜率不存在，則可得l⊥x軸， 方程為x＝－1，P，Q， ＝，＝， 故·＝； ②若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)， 由消去y得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， ·＝(x1－1，y1)(x2－1，y2) ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2， 則·＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1 ＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1 ＝＝－，由k2＞0可得·∈，結(jié)合當k不存在時的情況，得·∈， 所以·的最大值是. - 8 -