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1、課時(shí)規(guī)范練33 基本不等式及其應(yīng)用
基礎(chǔ)鞏固組
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lgx2+>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.<1(x∈R)
2.若a,b都是正數(shù),則1+1+的最小值為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
3.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
4.(2018江西南昌測(cè)試三,10)若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+4y-xy=0,則的最大值為( )
A. B. C. D.1
5.(2018江西新余四中適應(yīng)性考試,9)設(shè)正數(shù)x,y滿(mǎn)足x>
2、y,x+2y=3,則的最小值為( )
A. B.3 C. D.
6.(2018遼寧遼南協(xié)作校一模擬,6)若lg a+lg b=0且a≠b,則的取值范圍為( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.[2,3)∪(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)
7.(2018天津十二中學(xué)聯(lián)考一,12)已知a>b>0,則2a+的最小值為( )
A.2+2 B.
C.2 D.
8.(2018河北唐山遷安三中期中,9)設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù),且=1,則xy的最小值為( )
A.4 B.4 C.9 D.16
9.若對(duì)于任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是 .?
10.已
3、知x,y∈R且滿(mǎn)足x2+2xy+4y2=6,則z=x2+4y2的取值范圍為 .?
11.(2018河北唐山二模,23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.
(1)求證:a+b≤2;
(2)判斷等式=c+d能否成立,并說(shuō)明理由.
12.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
(1)≥8;
(2)1+1+≥9.
綜合提升組
13.(2018湖北宜昌一中適應(yīng)性考試,11)若P是面積為1的△ABC內(nèi)的一點(diǎn)(不含邊界),△PAB,△PAC和△PBC的面積分別為x,y,z,則的最小值
4、是( )
A.3 B.
C. D.
14.(2018廣東廣州仲元中學(xué)期末,11)已知x,y∈R+,且滿(mǎn)足x+2y=2xy,則x+4y的最小值為( )
A.3- B.3+2 C.3+ D.4
15.(2018湖南澧縣一中一檢,14)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),則的最小值為 .?
創(chuàng)新應(yīng)用組
16.(2018河南信陽(yáng)二模,11)點(diǎn)M(x,y)在曲線C:x2-4x+y2-21=0上運(yùn)動(dòng),t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值為b,若a>0,b>0,則的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5、
參考答案
課時(shí)規(guī)范練33 基本不等式及其應(yīng)用
1.C 當(dāng)x>0時(shí),x2+≥2·x·=x,所以lgx2+≥lg x(x>0),故選項(xiàng)A不正確;運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正”“二定”“三相等”,而當(dāng)x≠kπ,k∈Z時(shí),sin x的正負(fù)不定,故選項(xiàng)B不正確;由基本不等式可知,選項(xiàng)C正確;當(dāng)x=0時(shí),有=1,故選項(xiàng)D不正確.
2.C ∵a,b都是正數(shù),∴1+1+=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a>0時(shí)取等號(hào).故選C.
3.C 依題意,得+=+·(a+b)= 5++≥5+2=,
當(dāng)且僅當(dāng)
即a=,b=時(shí)取等號(hào),
即+的最小值是.
4.A 因?yàn)閤+4y-xy=0,化簡(jiǎn)可得x+
6、4y=xy,左右兩邊同時(shí)除以xy,得+=1,求的最大值,即求=+的最小值,所以+×1=+×+=+++≥2++≥3,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào),所以的最大值為,所以選A.
5.A 因?yàn)閤+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以+=+×6=+[(x-y) +(x+5y)]= 10++≥ (10+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=時(shí)取最小值.故選A.
6.A ∵lg a+lg b=0且a≠b,∴l(xiāng)g ab=0,即ab=1.∴+·ab=2b+a≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí)取等號(hào).∴+的取值范圍為[2,+∞),故選A.
7.A ∵a>b>0,2a++=a+b+a-b++,
∴a
7、+b+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=時(shí)取等號(hào);a-b+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=時(shí)取等號(hào).
∴聯(lián)立解得
∴當(dāng)時(shí),a+b+a-b++≥2+2,即2a++取得最小值2+2.
8.D 將等式化簡(jiǎn)可得xy-8=x+y≥2,解得≥4,所以xy≥16,
所以最小值為16.故選D.
9.,+∞ =,
因?yàn)閤>0,所以x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),則≤=,即的最大值為,故a≥.
10.[4,12] ∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤,
∴6-(x2+4y2)≤,
∴x2+4y2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)).
∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,
∴z=x2+4y2=6
8、-2xy≤12(當(dāng)且僅當(dāng)x=-2y時(shí)取等號(hào)).
綜上可知4≤x2+4y2≤12.
11.(1)證明 由題意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào).
解得(a+b)2≤4,又a,b>0,所以a+b≤2.
(2)解 不能成立.+≤+,
因?yàn)閍+b≤2,
所以+≤1+,
因?yàn)閏>0,d>0,cd>1,
所以c+d=+≥+>+1,
故+=c+d不能成立.
12.證明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴++=++=2+=2+=2++4≥4+4=8當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立,
∴++≥8.
(2)∵1+1+=+++1,
由(1)知++≥8.
∴
9、1+1+≥9.
13.A ∵x+y+z=1,∴+=+=+=++1≥2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào),∴+的最小值為3,故選A.
14.B 由題意可得(2y-1)(x-1)=1,變形為(x-1)(4y-2)=2,所以=≤,所以x+4y≥2+3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4y-2時(shí),等號(hào)成立,即x=+1,y=,選B.
15.4 由題意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,則+=+++=+++≥2+2=2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)取等號(hào).∴+的最小值為4.
16.A 曲線C:x2-4x+y2-21=0可化為(x-2)2+y2=25,表示圓心為A(2,0),半徑為5的圓.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,
(x+6)2+(y-6)2可以看作點(diǎn)M到點(diǎn)N(-6,6)的距離的平方,圓C上一點(diǎn)M到N的距離的最大值為|AN|+5,即點(diǎn)M是直線AN與圓C的離點(diǎn)N最遠(yuǎn)的交點(diǎn),
所以直線AN的方程為y=-(x-2),
由解得或(舍去),
∴當(dāng)時(shí),t取得最大值,且tmax=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b,
∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,
∴+=+[(a+1)+b]=++2≥1,
當(dāng)且僅當(dāng)=,且a+b=3,即a=1,b=2時(shí)等號(hào)成立.
故選A.
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