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1、專題限時集訓(五)　概率 [專題通關練] (建議用時：30分鐘) 1．[一題多解](2019·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為(　　) A．0.5　　　B．0.6　　　C．0.7　　　D．0.8 C　[法一：設調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數為x

2、，則x＋80－60＝90，解得x＝70， 所以該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為＝0.7. 故選C. 法二：用Venn圖表示閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數之間的關系如圖： 易知調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數為70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為＝0.7.故選C.] 2．已知定義在區(qū)間[－3,3]上的函數f(x)＝2x＋m滿足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一個實數x，則使得f(x)的值不小于4的概率為(　　) A. B. C. D. B　[∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)

3、≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]， 故根據幾何概型的概率計算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故選B.] 3．標有數字1,2,3,4,5的卡片各1張，從這5張卡片中隨機抽取1張，不放回地再隨機抽取1張，則抽取的第1張卡片上的數大于第2張卡片上的數的概率為 (　　) A. B. C. D. A　[5張卡片上分別寫有數字1,2,3,4,5，從這5張卡片中隨機抽取2張，基本事件的總數n＝5×4＝20，抽得的第1張卡片上的數大于第2張卡片上的數的情況有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，

4、(5,4)，共10種．故抽取的第1張卡片上的數大于第2張卡片上的數的概率P＝＝，故選A.] 4．(2019·鄭州模擬)在區(qū)間(0,2)內隨機取一個實數a，則滿足的點(x，y)構成區(qū)域的面積大于1的概率是(　　) A. B. C. D. C　[作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S＝×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，根據幾何概型的概率計算公式得所求概率為＝，故選C.] 5．《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何．”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步．”現(xiàn)若向此三角形內隨機投一粒豆子

5、，則豆子落在其內切圓外的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ D　[如圖，直角三角形的斜邊長為＝17，設其內切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴內切圓的面積為πr2＝9π，∴豆子落在內切圓外的概率P＝1－＝1－.] 6．(2019·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________． 0．98　[＝＝0.98. 則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.

6、98.] 7．已知實數x，y滿足|x|≤3，|y|≤2，則任取其中的一對實數x，y，使得x2＋y2≤4的概率為________． 　[如圖，在平面直角坐標系xOy中，滿足|x|≤3，|y|≤2的點在矩形ABCD內(包括邊界)，使得x2＋y2≤4的點在圖中圓O內(包括邊界)．由題意知，S矩形ABCD＝4×6＝24，S圓O＝4π，故任取其中的一對實數x，y，使得x2＋y2≤4的概率P＝＝＝.] 8．從正五邊形ABCDE的5個頂點中隨機選擇3個頂點，則以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率是________． 　[從正五邊形ABCDE的5個頂點中隨機選擇3個頂點，基本事件總數為10，即AB

7、C，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的種數為5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率P＝＝.] [能力提升練] (建議用時：15分鐘) 9．某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位的?？繒r間(單位：小時)，如果?？繒r間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，依此類推，統(tǒng)計結果如表： ?？繒r間 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 輪船數量 12 12 17 20 15 13 8 3

8、 (1)設該月這100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為a小時，求a的值； (2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?？縜小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待的概率． [解]　(1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4. (2)設甲船到達的時間為x，乙船到達的時間為y， 則 若這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待，則|y－x|＜4， 符合題意的區(qū)域如圖中陰影部分(不包括x，y軸)所示． 記“這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待”為事件A， 則P(A)

9、＝＝. 所以這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待的概率為. 10．一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量(單位：輛)如表： A類轎車 B類轎車 C類轎車 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法從這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法從C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：9.4,

10、8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數xi(1≤i≤8，i∈N)，設樣本平均數為，求|xi－|≤0.5的概率． [解]　(1)設該廠這個月共生產轎車n輛，由題意得＝，所以n＝2 000，則z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得＝，得a＝2， 所以抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車． 用A1，A2分別表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3分別表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車”．從該樣

11、本中任取2輛包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個， 其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個． 故P(E)＝，即所求的概率為. (3)樣本平均數＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.設D表示事件“從樣本中任取一個數xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－|≤0.5”，則從樣本中任取一個數有8個基本事件，事件

12、D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6個． 所以P(D)＝＝，即所求的概率為. 題號 內容 押題依據 1 幾何概型 本題將半圓、圓、圓環(huán)的面積等知識融入到幾何概型中，既為幾何概型輸送了新鮮的“血液”，又為圓的知識找到了堅定的“著陸點”，使呆板、平淡的幾何概型充滿活力，很好地考查了考生的直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng) 2 頻率分布直方圖、分層抽樣、概率 本題是以臨潼石榴為背景設的頻率分布直方圖、概率、決策型問題相交匯的試題，設問角度新穎、典型，有代表性，意在考查考生的邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養(yǎng) 【押題1】　如圖，半圓

13、、較大圓、小圓的直徑比為4∶2∶1.若在該半圓內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. C　[設小圓的半徑為r，因為半圓、較大圓、小圓的直徑比為4∶2∶1，所以陰影部分的面積S1＝π(2r)2－πr2＝3πr2，半圓的面積S＝π(4r)2＝8πr2，根據幾何概型的概率計算公式，得該點取自陰影部分的概率P＝＝＝.故選C.] 【押題2】　臨潼石榴集中國石榴之優(yōu)，素以色澤艷麗，果大皮薄，汁多味甜，品質優(yōu)良等特點而著稱．臨潼石榴名居中國五大名榴之冠，被列為果中珍品．白居易曾寫詩贊美：“日照血球將滴地，風翻火焰欲燒人．”現(xiàn)從該地區(qū)某村的石榴樹上隨機

14、摘下100個石榴進行測重，其質量分布在區(qū)間[200,500]內(單位：克)，根據統(tǒng)計的數據作出頻率分布直方圖如圖所示： (1)按分層抽樣的方法從質量落在[350,400)，[400,450)內的石榴中隨機抽取5個，再從這5個石榴中隨機抽取2個，求這2個石榴中質量至少有一個不小于400克的概率； (2)以各組數據的中間數值代表這組數據，以頻率代表概率，已知該村大約還有100 000個石榴待出售，某電商提出如下兩種收購方案： 方案A：所有石榴均以20元/千克的價格收購． 方案B：低于350克的石榴以5元/個的價格收購，高于或等于350克的以9元/個的價格收購． 請你通過計算為該村選擇

15、收益最好的方案． [解]　(1)由題得石榴質量在[350,400)和[400,450)內的比例為3∶2， 所以應分別在質量在[350,400)和[400,450)內的石榴中各抽取3個和2個． 記所抽取的質量在[350,400)內的石榴為A1，A2，A3，質量在[400,450)內的石榴為B1，B2， 則從這5個石榴中隨機抽取2個的情況共有以下10種： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{B1，B2}． 其中質量至少有一個不小于400克的有7種情況，故所求概率為. (2)方

16、案B好，理由如下： 由頻率分布直方圖可知，石榴質量在[200,250)內的頻率為50×0.001＝0.05， 同理，石榴質量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]內的頻率依次為0.16,0.24,0.3,0.2,0.05. 若按方案B收購： 因為石榴質量低于350克的個數為(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000， 石榴質量不低于350克的個數為55 000個， 所以總收益為45 000×5＋55 000×9＝720 000(元)． 若按方案A收購： 根據題意各區(qū)間段內石榴個數依次為5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000， 于是總收益為(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×＝709 000(元)． 因為720 000＞709 000，即方案B的收益比方案A的收益高，所以該村應選擇方案B. - 7 -