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1、離散數(shù)學試題與答案試卷一一、填空 20% （每小題2分）1設 （N：自然數(shù)集，E+ 正偶數(shù)） 則 。2A，B，C表示三個集合，文圖中陰影部分的集合表達式為 A B C 。3設P，Q 的真值為0，R，S的真值為1，則的真值= 。4公式的主合取范式為 。5若解釋I的論域D僅包含一個元素，則 在I下真值為 。6設A=1，2，3，4，A上關系圖為則 R2 = 。7設A=a，b，c，d，其上偏序關系R的哈斯圖為則 R= 。8圖的補圖為 。9設A=a，b，c，d ，A上二元運算如下：*a b c dabcda b c db c d ac d a bd a b c那么代數(shù)系統(tǒng)的幺元是 ，有逆元的元素為 ，它

2、們的逆元分別為 。10下圖所示的偏序集中，是格的為 。 二、選擇 20% （每小題 2分）1、下列是真命題的有（）A ； B；C ； D 。2、下列集合中相等的有（ ） A4，3；B，3，4；C4，3，3；D 3，4。3、設A=1，2，3，則A上的二元關系有（ ）個。 A 23 ； B 32 ； C ； D 。4、設R，S是集合A上的關系，則下列說法正確的是（ ） A若R，S 是自反的， 則是自反的； B若R，S 是反自反的， 則是反自反的； C若R，S 是對稱的， 則是對稱的； D若R，S 是傳遞的， 則是傳遞的。5、設A=1，2，3，4，P（A）（A的冪集）上規(guī)定二元系如下則P（A）/ R

3、=（ ）AA ；BP(A) ；C1，1，2，1，2，3，1，2，3，4；D，2，2，3，2，3，4，A6、設A=，1，1，3，1，2，3則A上包含關系“”的哈斯圖為（ ）7、下列函數(shù)是雙射的為（ ）Af : IE , f (x) = 2x ； Bf : NNN, f (n) = ；Cf : RI , f (x) = x ； Df :IN, f (x) = | x | 。（注：I整數(shù)集，E偶數(shù)集， N自然數(shù)集，R實數(shù)集）8、圖 中 從v1到v3長度為3 的通路有（ ）條。A 0；B 1；C 2；D 3。9、下圖中既不是Eular圖，也不是Hamilton圖的圖是（ ）10、在一棵樹中有7片樹葉，

4、3個3度結點，其余都是4度結點則該樹有（ ）個4度結點。A1；B2；C3；D4 。三、證明 26%、 R是集合X上的一個自反關系，求證：R是對稱和傳遞的，當且僅當 和在R中有在R中。（8分）、 f和g都是群到的同態(tài)映射，證明是的一個子群。其中C= (8分)、 G= (|V| = v，|E|=e ) 是每一個面至少由k（k3）條邊圍成的連通平面圖，則， 由此證明彼得森圖（Peterson）圖是非平面圖。（11分）四、邏輯推演 16%用CP規(guī)則證明下題（每小題 8分）1、2、五、計算 18%1、設集合A=a，b，c，d上的關系R= , , , 用矩陣運算求出R的傳遞閉包t (R)。 （9分）2、如

5、下圖所示的賦權圖表示某七個城市及預先算出它們之間的一些直接通信線路造價，試給出一個設計方案，使得各城市之間能夠通信而且總造價最小。（分）試卷一答案：一、填空 20% （每小題2分）1、0，1，2，3，4，6； 2、；3、1； 4、； 5、1；6、, , , ；7、, IA ；8、9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；10、c; 二、選擇 20% （每小題 2分）題目12345678910答案C DB、CCADCADBA三、證明 26%1、 證：“” 若由R對稱性知，由R傳遞性得 “” 若，有 任意 ，因若 所以R是對稱的。若， 則 即R是傳遞的。2、 證，有 ，又

6、 是 的子群。3、 證：設G有r個面，則，即 。而 故即得 。（8分）彼得森圖為，這樣不成立，所以彼得森圖非平面圖。（3分） 二、 邏輯推演 16%1、 證明：P（附加前提）TIPTITITIPTICP2、證明 P（附加前提）USPUSTIUGCP三、 計算 18%1、 解： ， ，t (R)= , , , , , , , , 2、 解： 用庫斯克（Kruskal）算法求產(chǎn)生的最優(yōu)樹。算法略。結果如圖：樹權C(T)=23+1+4+9+3+17=57即為總造價。試卷二試題與答案一、填空 20% （每小題2分）1、 P：你努力，Q：你失敗。“除非你努力，否則你將失敗”的翻譯為 ；“雖然你努力了，但

7、還是失敗了”的翻譯為 。2、論域D=1，2，指定謂詞PP (1,1)P (1,2)P (2,1)P (2,2)TTFF則公式真值為 。2、 設S=a1 ，a2 ，a8，Bi是S的子集，則由B31所表達的子集是 。3、 設A=2，3，4，5，6上的二元關系，則R= （列舉法）。R的關系矩陣MR= 。5、設A=1，2，3，則A上既不是對稱的又不是反對稱的關系R= ；A上既是對稱的又是反對稱的關系R= 。*a b cabca b cb b cc c b6、設代數(shù)系統(tǒng)，其中A=a，b，c,則幺元是 ；是否有冪等 性 ；是否有對稱性 。7、4階群必是 群或 群。8、下面偏序格是分配格的是 。9、n個結點

8、的無向完全圖Kn的邊數(shù)為 ，歐拉圖的充要條件是 。10、公式的根樹表示為 。二、選擇 20% （每小題2分）1、在下述公式中是重言式為（ ）A；B；C； D。2、命題公式 中極小項的個數(shù)為（ ），成真賦值的個數(shù)為（ ）。A0； B1； C2； D3 。3、設，則 有（ ）個元素。A3； B6； C7； D8 。4、 設，定義上的等價關系則由 R產(chǎn) 生的上一個劃分共有（ ）個分塊。A4； B5； C6； D9 。5、設，S上關系R的關系圖為則R具有（ ）性質。A自反性、對稱性、傳遞性； B反自反性、反對稱性；C反自反性、反對稱性、傳遞性； D自反性 。6、設 為普通加法和乘法，則（ ）是域。A

9、BC D= N 。7、下面偏序集（ ）能構成格。8、在如下的有向圖中，從V1到V4長度為3 的道路有（ ）條。A1； B2； C3； D4 。9、在如下各圖中（ ）歐拉圖。10、設R是實數(shù)集合，“”為普通乘法，則代數(shù)系統(tǒng) 是（ ）。A群； B獨異點； C半群 。三、證明 46%1、 設R是A上一個二元關系，試證明若R是A上一個等價關系，則S也是A上的一個等價關系。（9分）2、 用邏輯推理證明：所有的舞蹈者都很有風度，王華是個學生且是個舞蹈者。因此有些學生很有風度。（11分）3、 若是從A到B的函數(shù)，定義一個函數(shù)對任意有，證明：若f是A到B的滿射，則g是從B到 的單射。（10分）4、 若無向圖G

10、中只有兩個奇數(shù)度結點，則這兩個結點一定連通。（8分）5、 設G是具有n個結點的無向簡單圖，其邊數(shù)，則G是Hamilton圖（8分）四、計算 14%1、 設是一個群，這里+6是模6加法，Z6=0 ，1，2，3，4，5，試求出的所有子群及其相應左陪集。（7分）2、 權數(shù)1，4，9，16，25，36，49，64，81，100構造一棵最優(yōu)二叉樹。（7分）試卷二答案：一、 填空 20%（每小題2分）1、；2、T 3、4、R=,； 5、R=,；R=, 6、a ；否；有 7、Klein四元群；循環(huán)群 8、 B 9、；圖中無奇度結點且連通 10 、二、 選擇 20%（每小題 2分）題目12345678910答

11、案B、DD；DDBDABBBB、C三、 證明 46%1、（9分）（1） S自反的，由R自反，（2） S對稱的（3） S傳遞的由（1）、（2）、（3）得；S是等價關系。2、11分證明：設P(x)：x 是個舞蹈者； Q(x) ：x很有風度； S(x)：x是個學生； a：王華上述句子符號化為：前提：、 結論： 3分PPUSTI TITITIEG11分、0分證明 ：。4、8分證明：設G中兩奇數(shù)度結點分別為u 和v，若 u，v不連通，則G至少有兩個連通分支G1、G2 ，使得u和v分別屬于G1和G2，于是G1和G2中各含有1個奇數(shù)度結點，這與圖論基本定理矛盾，因而u，v一定連通。5、8分證明： 證G中任何

12、兩結點之和不小于n。反證法：若存在兩結點u，v 不相鄰且,令，則G-V1是具有n-2個結點的簡單圖，它的邊數(shù),可得，這與G1=G-V1為n-2個結點為簡單圖的題設矛盾，因而G中任何兩個相鄰的結點度數(shù)和不少于n。所以G為Hamilton圖.四、 計算 14%1、 7分解：子群有；0的左陪集：0，1；2，3；4，50，3的左陪集：0，3；1，4；2，50，2，4的左陪集：0，2，4；1，3，5Z6的左陪集：Z6 。2、 7分試卷三試題與答案一、 填空 20% （每空 2分）1、 設 f，g是自然數(shù)集N上的函數(shù)，則 。2、 設A=a，b，c，A上二元關系R= , , , 則s（R）= 。3、 A=1

13、，2，3，4，5，6，A上二元關系，則用列舉法 T= ；T的關系圖為 ；T具有 性質。4、 集合的冪集= 。5、 P，Q真值為0 ；R，S真值為1。則的真值為 。6、 的主合取范式為 。7、 設 P（x）：x是素數(shù)， E(x)：x 是偶數(shù)，O(x)：x是奇數(shù) N (x,y)：x可以整數(shù)y。則謂詞的自然語言是 。8、 謂詞的前束范式為 。二、 選擇 20% （每小題 2分）1、 下述命題公式中，是重言式的為（ ）。A、； B、；C、； D、。2、 的主析取范式中含極小項的個數(shù)為（ ）。A 、2； B、 3； C、5； D、0； E、 8 。3、 給定推理PUSPESTIUG推理過程中錯在（ ）。

14、A、-; B、-; C、-; D、-; E、-4、 設S1=1，2，8，9，S2=2，4，6，8，S3=1，3，5，7，9，S4=3，4，5，S5=3，5，在條件下X與（ ）集合相等。A、 X=S2或S5 ； B、X=S4或S5；C、X=S1，S2或S4； D、X與S1，S5中任何集合都不等。5、 設R和S是P上的關系，P是所有人的集合，則表示關系 （ ）。A、；B、；C、 ； D、。6、 下面函數(shù)（ ）是單射而非滿射。A、；B、；C、；D、。其中R為實數(shù)集，Z為整數(shù)集，R+，Z+分別表示正實數(shù)與正整數(shù)集。7、 設S=1，2，3，R為S上的關系，其關系圖為 則R具有（ ）的性質。A、 自反、對

15、稱、傳遞； B、什么性質也沒有；C、反自反、反對稱、傳遞； D、自反、對稱、反對稱、傳遞。8、 設，則有（ ）。A、1,2 ；B、1,2 ； C、1 ； D、2 。9、 設A=1 ,2 ,3 ，則A上有（ ）個二元關系。A、23 ； B、32 ； C、； D、。10、全體小項合取式為（ ）。A、可滿足式； B、矛盾式； C、永真式； D、A，B，C 都有可能。三、 用CP規(guī)則證明 16% （每小題 8分）1、2、四、（14%） 集合X=, , , ，R=,|x1+y2 = x2+y1 。1、 證明R是X上的等價關系。 （10分）2、 求出X關于R的商集。（4分）五、（10%）設集合A= a ,

16、b , c , d 上關系R= , , , 要求 1、寫出R的關系矩陣和關系圖。（4分） 2、用矩陣運算求出R的傳遞閉包。（6分）六、（20%）1、（10分）設f和g是函數(shù)，證明也是函數(shù)。2、（10分）設函數(shù)，證明 有一左逆函數(shù)當且僅當f是入射函數(shù)。答案：五、 填空 20%（每空2分）1、2(x+1)；2、；3、；4、反對稱性、反自反性；4、；5、1；6、；7、任意x，如果x是素數(shù)則存在一個y，y是奇數(shù)且y整除x ；8、。六、 選擇 20%（每小題 2分）題目12345678910答案CCCCABDADC七、 證明 16%(每小題8分)1、P（附加前提）TIPTITITIPTICP2、 P（附

17、加前提）TEESPUSTIEGCP八、 14%（1） 證明：1、 自反性： 2、 對稱性： 3、 傳遞性：即由（1）（2）（3）知：R是X上的先等價關系。2、X/R=九、 10%1、； 關系圖2、 t (R)= , , , , , , , , 。 六、 20%1、（1）（2）。2、證明：。試卷四試題與答案一、 填空 10% （每小題 2分）1、 若P，Q，為二命題，真值為0 當且僅當 。2、 命題“對于任意給定的正實數(shù)，都存在比它大的實數(shù)”令F(x)：x為實數(shù)，則命題的邏輯謂詞公式為 。3、 謂詞合式公式的前束范式為 。4、 將量詞轄域中出現(xiàn)的 和指導變元交換為另一變元符號，公式其余的部分不變

18、，這種方法稱為換名規(guī)則。5、 設x是謂詞合式公式A的一個客體變元，A的論域為D，A(x)關于y是自由的，則 被稱為存在量詞消去規(guī)則，記為ES。二、 選擇 25% （每小題 2.5分）1、 下列語句是命題的有（ ）。A、 明年中秋節(jié)的晚上是晴天； B、；C、當且僅當x和y都大于0； D、我正在說謊。2、 下列各命題中真值為真的命題有（ ）。A、 2+2=4當且僅當3是奇數(shù)；B、2+2=4當且僅當3不是奇數(shù)；C、2+24當且僅當3是奇數(shù)； D、2+24當且僅當3不是奇數(shù)；3、 下列符號串是合式公式的有（ ）A、；B、；C、；D、。4、 下列等價式成立的有（ ）。A、；B、；C、 ； D、。5、 若

19、和B為wff，且則（ ）。A、稱為B的前件； B、稱B為的有效結論C、當且僅當；D、當且僅當。6、 A，B為二合式公式，且，則（ ）。A、為重言式； B、；C、； D、； E、為重言式。7、 “人總是要死的”謂詞公式表示為（ ）。（論域為全總個體域）M(x)：x是人；Mortal(x)：x是要死的。A、； B、C、；D、8、 公式的解釋I為：個體域D=2，P(x)：x3, Q(x)：x=4則A的真值為（ ）。A、1； B、0； C、可滿足式； D、無法判定。9、 下列等價關系正確的是（ ）。A、；B、；C、；D、。10、 下列推理步驟錯在（ ）。PUSPESTIEGA、；B、；C、；D、三、

20、邏輯判斷30% 1、 用等值演算法和真值表法判斷公式的類型。（10分）2、 下列問題，若成立請證明，若不成立請舉出反例：（10分）（1） 已知，問成立嗎？（2） 已知，問成立嗎？3、 如果廠方拒絕增加工資，那么罷工就不會停止，除非罷工超過一年并且工廠撤換了廠長。問：若廠方拒絕增加工資，面罷工剛開始，罷工是否能夠停止。（10分）四、計算10%1、 設命題A1，A2的真值為1，A3，A4真值為0，求命題的真值。（5分）2、 利用主析取范式，求公式的類型。（5分）五、謂詞邏輯推理 15%符號化語句：“有些人喜歡所有的花，但是人們不喜歡雜草，那么花不是雜草”。并推證其結論。六、證明：（10%）設論域D

21、=a , b , c，求證：。答案：十、 填空 10%（每小題2分）1、P真值為1，Q的真值為0；2、；3、；4、約束變元；5、，y為D的某些元素。十一、 選擇 25%（每小題2.5分）題目12345678910答案A,CA,DC,DA,DB,CA,B,C,D,ECAB(4)十二、 邏輯判斷 30%1、（1）等值演算法（2）真值表法P QA1 1111111 0010010 1100010 011111所以A為重言式。2、（1）不成立。若取但A與B不一定等價，可為任意不等價的公式。（2）成立。 證明：即：所以故 。3、解：設P：廠方拒絕增加工資；Q：罷工停止；R罷工超壺過一年；R：撤換廠長前提

22、： 結論：PPTIPTITETI罷工不會停止是有效結論。四、計算 10%（1） 解：（2）它無成真賦值，所以為矛盾式。五、謂詞邏輯推理 15%解： 證明：PESTITIPUSTITEUSUSTIUG十三、 證明10% 試卷五試題與答案一、填空15%（每空3分）1、設G為9階無向圖，每個結點度數(shù)不是5就是6，則G中至少有 個5度結點。2、n階完全圖，Kn的點數(shù)X (Kn) = 。3、有向圖 中從v1到v2長度為2的通路有 條。4、設R，+，是代數(shù)系統(tǒng)，如果R，+是交換群 R，是半群 則稱R，+，為環(huán)。5、設是代數(shù)系統(tǒng)，則滿足冪等律，即對有 。二、選擇15%（每小題3分）1、 下面四組數(shù)能構成無向

23、簡單圖的度數(shù)列的有（ ）。A、（2，2，2，2，2）； B、（1，1，2，2，3）；C、（1，1，2，2，2）； D、（0，1，3，3，3）。2、 下圖中是哈密頓圖的為（ ）。3、 如果一個有向圖D是強連通圖，則D是歐拉圖，這個命題的真值為（ ）A、真； B、假。4、 下列偏序集（ ）能構成格。5、 設，*為普通乘法，則S，*是（）。A、代數(shù)系統(tǒng)； B、半群； C、群； D、都不是。三、證明 48%1、（10%）在至少有2個人的人群中，至少有2 個人，他們有相同的朋友數(shù)。2、（8%）若圖G中恰有兩個奇數(shù)度頂點，則這兩個頂點是連通的。3、（8%）證明在6個結點12條邊的連通平面簡單圖中， 每個面

24、的面數(shù)都是3。4、（10%）證明循環(huán)群的同態(tài)像必是循環(huán)群。5、（12%）設是布爾代數(shù)，定義運算*為，求證B，*是阿貝爾群。四、計算22%1、在二叉樹中1） 求帶權為2，3，5，7，8的最優(yōu)二叉樹T。（5分）2） 求T對應的二元前綴碼。（5分）2、 下圖所示帶權圖中最優(yōu)投遞路線并求出投遞路線長度（郵局在D點）。答案：一、填空（15%）每空3 分1、 6；2、n；3、2；4、+對分配且對+分配均成立；5、。二、選擇（15%）每小題3分題目12345答案A,BB,DBCD三、證明（48%）1、（10分）證明：用n個頂點v1，vn表示n個人，構成頂點集V=v1，vn，設，無向圖G=（V，E）現(xiàn)證G中至

25、少有兩個結點度數(shù)相同。事實上，（1）若G中孤立點個數(shù)大于等于2，結論成立。（2） 若G中有一個孤立點，則G中的至少有3個頂點，既不考慮孤立點。設G中每個結點度數(shù)均大于等于1，又因為G為簡單圖，所以每個頂點度數(shù)都小于等于n-1，由于G中n頂點其度數(shù)取值只能是1，2，n-1，由鴿巢原理，必然至少有兩個結點度數(shù)是相同的。2、（8分）證：設G中兩個奇數(shù)度結點分別為u，v。若 u，v不連通則至少有兩個連通分支G1、G2，使得u，v分別屬于G1和G2。于是G1與G2中各含有一個奇數(shù)度結點，與握手定理矛盾。因而u，v必連通。3（8分）證：n=6,m=12 歐拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-1

26、2=8由圖論基本定理知：，而，所以必有，即每個面用3條邊圍成。4（10分） 證：設循環(huán)群A，的生成元為a，同態(tài)映射為f，同態(tài)像為f（A），*，于是都有對n=1有n=2, 有若n=k-1時 有對n=k時，這表明，f(A)中每一個元素均可表示為，所以f(A),*為f(a) 生成的循環(huán)群。5、證：（1） 交換律：有 （2） 結合律：有而：（3） 幺：有（4） 逆： 綜上所述：B，*是阿貝爾群。四、計算（22%）1、（10分）（1）（5分）由Huffman方法,得最佳二叉樹為：（2）（5分）最佳前綴碼為：000，001，01，10，112、（12分） 圖中奇數(shù)點為E、F ，d(E)=3,d(F)=3,

27、d(E,F)=28 p=EGF復制道路EG、GF，得圖G，則G是歐拉圖。由D開始找一條歐拉回路：DEGFGEBACBDCFD。道路長度為：35+8+20+20+8+40+30+50+19+6+12+10+23=281。試卷六試題與答案一、 填空 15% （每小題 3分）1、 n階完全圖結點v的度數(shù)d(v) = 。2、 設n階圖G中有m條邊，每個結點的度數(shù)不是k的是k+1，若G中有Nk個k度頂點，Nk+1個k+1度頂點，則N k = 。3、 算式 的二叉樹表示為 。4、 如圖給出格L，則e的補元是 。5、 一組學生，用二二扳腕子比賽法來測定臂力的大小，則幺元是 。二、選擇 15% （每小題 3分

28、）1、設S=0,1,2,3,為小于等于關系，則S，是（ ）。A、群；B、環(huán)；C、域；D、格。2、設a , b , c，*為代數(shù)系統(tǒng)，*運算如下：*abcaabcbbaccccc則零元為（ ）。A、a； B、b； C、c； D、沒有。3、如右圖 相對于完全圖K5的補圖為（ ）。4、一棵無向樹T有7片樹葉，3個3度頂點，其余頂點均為4度。則T有（ ）4度結點。A、1； B、2； C、3； D、4。5、設A，+，是代數(shù)系統(tǒng)，其中+，為普通加法和乘法，則A=（ ）時，A，+，是整環(huán)。A、； B、；C、； D、。三、證明 50%1、設G是（n,m）簡單二部圖，則。（10分）2、設G為具有n個結點的簡單圖

29、，且，則G是連通圖。（10分）3、記“開”為1，“關”為0，反映電路規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)0，1，+，的加法運算和乘法運算。如下：+0101001000110101證明它是一個環(huán)，并且是一個域。（14分）4、 是一代數(shù)格，“”為自然偏序，則L，是偏序格。（16分）四、10%設是布爾代數(shù)上的一個布爾表達式，試寫出的析取范式和合取范式（10分）五、10%如下圖所示的賦權圖表示某七個城市及預先算出它們之間的一些直接通信成路造價（單位：萬元），試給出一個設計方案，使得各城市之間既能夠通信又使總造價最小。答案：一、填空 15%（每小題3分）1、n-1；2、n(k+1)-2m；3、如右圖；4、0 ；5、臂力小者二

30、、選擇 15%（每小題 3分）題目12345答案DCAAD三、證明 50%（1） 證：設G=（V，E）對完全二部圖有當時，完全二部圖的邊數(shù)m有最大值故對任意簡單二部圖有。（2） 證：反證法：若G不連通，不妨設G可分成兩個連通分支G1、G2，假設G1和G2的頂點數(shù)分別為n1和n2，顯然與假設矛盾。所以G連通。（3） （1）0，1，+，是環(huán)0，1，+是交換群乘：由“+”運算表知其封閉性。由于運算表的對稱性知：+運算可交換。群： （0+0）+0=0+（0+0）=0 ；（0+0）+1=0+（0+1）=1；（0+1）+0=0+（1+0）=1 ； （0+1）+1=0+（1+1）=0；（1+1）+1=1+（

31、1+1）=0 結合律成立。 幺：幺元為0。逆：0，1逆元均為其本身。0，1，是半群乘：由“ ”運算表知封閉群： （00）0=0（00）=0 ；（00）1=0（01）= 0；（01）0=0（10）=0 ； （01）1=0（11）=0；（11）1=1（11）=0 。對+的分配律 0（x+y）=0=0+0=(0 x)+(0y)； 1（x+y）當x=y (x+y)=0 則；當（）則所以均有同理可證：所以對+ 是可分配的。由得，0，1，+，是環(huán)。（2）0，1，+，是域因為0，1，+，是有限環(huán)，故只需證明是整環(huán)即可。乘交環(huán)： 由乘法運算表的對稱性知，乘法可交換。含幺環(huán)：乘法的幺元是1無零因子：11=10因

32、此0，1，+，是整環(huán)，故它是域。4、證：（1 ）“”是偏序關系， 自然偏序 反自反性：由代數(shù)格冪等關系：。反對稱性： 若 即：，則 傳遞性：則：（2）在L中存在x,y的下（上）確界設則：事實上：若x , y 有另一下界c，則 是x , y 最大下界，即同理可證上確界情況。四、14%解：函數(shù)表為：00000011010001111000101111011111析取范式：合取范式：五、10%解： 用庫斯克（Kruskal）算法求產(chǎn)生的最優(yōu)樹。算法為： 結果如圖：樹權C(T)=23+1+4+9+3+17=57（萬元）即為總造價試卷七試題與答案一、 填空 15% （每小題 3分）1. 任何(n,m)

33、圖G = (V,E) , 邊與頂點數(shù)的關系是 。2. 當n為 時,非平凡無向完全圖Kn是歐拉圖。3. 已知一棵無向樹T有三個3頂點,一個2度頂點,其余的都是1度頂點,則T中有 個1度頂點。4. n階完全圖Kn的點色數(shù)X(KN)= 。5. 一組學生,用兩兩扳腕子比賽來測定臂力大小,則幺元是 。二、 選擇 15% （每小題 3分）1、下面四組數(shù)能構成無向圖的度數(shù)列的有( )。 A、 2,3,4,5,6,7； B、 1,2,2,3,4； C、 2,1,1,1,2； D、 3,3,5,6,0。2、圖 的鄰接矩陣為( )。A、；B、；C、；D、。3、下列幾個圖是簡單圖的有( )。A. G1=(V1,E1

34、), 其中 V1=a,b,c,d,e,E1=ab,be,eb,ae,de；B. G2=(V2,E2)其中V2=V1,E2=,；C. G=(V3,E3), 其中V3=V1,E3=ab,be,ed,cc；D. G=(V4,E4),其中V4=V1,E4=（a,a）,（a,b）,（b,c）,（e,c）,（e,d）。4、下列圖中是歐拉圖的有( )。5、，其中，為集合對稱差運算，則方程的解為（ ）。A、； B、； C、； D、。三、 證明 34% 1、 證明：在至少有2 個人的人群中，至少有2 個人，他的有相同的朋友數(shù)。（8分）2、 若圖G中恰有兩個奇數(shù)頂點，則這兩個頂點是連通的。（8分）3、 證明：在6

35、個結點12條邊的連通平面簡單圖中，每個面的面度都是3。（8分）4、 證明循環(huán)群的同態(tài)像必是循環(huán)群。（10分）四、 中國郵遞員問題13%求帶權圖G中的最優(yōu)投遞路線。郵局在v1點。五、 根樹的應用 13%在通訊中，八進制數(shù)字出現(xiàn)的頻率如下：0：30%、1：20%、2：15% 、3：10%、4：10%、5：5%、6：5%、7：5%求傳輸它們最佳前綴碼（寫出求解過程）。六、 10%設B4=e , a , b , ab ，運算*如下表，*則是一個群（稱作Klein四元群答案：十四、 填空 15%（每小題3分）1、；2、奇數(shù)；3、5；4、n；5、臂力小者 十五、 選擇 15%（每小題 3分）題目12345

36、答案BCBBA十六、 證明 34%1、（10分）證明：用n個頂點v1，vn表示n個人，構成頂點集V=v1，vn，設，無向圖G=（V，E）現(xiàn)證G中至少有兩個結點度數(shù)相同。事實上，（1）若G中孤立點個數(shù)大于等于2，結論成立。（2） 若G中有一個孤立點，則G中的至少有3個頂點，現(xiàn)不考慮孤立點。設G中每個結點度數(shù)均大于等于1，又因為G為簡單圖，所以每個頂點度數(shù)都小于等于n-1，由于G中頂點數(shù)到值只能是1，2，n-1這n-1個數(shù)，因而取n-1個值的n個頂點的度數(shù)至少有兩個結點度數(shù)是相同的。2、（8分）證：設G中兩個奇數(shù)度結點分別為u，v。若 u，v不連通，即它們中無任何通路，則至少有兩個連通分支G1、G

37、2，使得u，v分別屬于G1和G2。于是G1與G2中各含有一個奇數(shù)度結點，與握手定理矛盾。因而u，v必連通。3、（8分）證：n=6,m=12 歐拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8由圖論基本定理知：，而，所以必有，即每個面用3條邊圍成。4、（10分） 證：設循環(huán)群A，的生成元為a，同態(tài)映射為f，同態(tài)像為，于是都有對n=1有n=2, 有若n=k-1時 有對n=k時，這表明，f(A)中每一個元素均可表示為，所以是以f(a) 生成元的循環(huán)群。十七、 中國郵遞員問題 14%解：圖中有4個奇數(shù)結點，（1） 求任兩結點的最短路再找兩條道路使得它們沒有相同的起點和終點，且長度總和最短：（2

38、） 在原圖中復制出，設圖G，則圖G中每個結點度數(shù)均為偶數(shù)的圖G存在歐拉回路，歐拉回路C權長為43。十八、 根樹的應用13%解：用100乘各頻率并由小到大排列得權數(shù)（1） 用Huffman算法求最優(yōu)二叉樹：（2） 前綴碼用 00000傳送 5；00001傳送 6；0001傳送 7；100傳送 3；101傳送 4；001傳送 2；11傳送 1；01傳送 0 （頻率越高傳送的前綴碼越短）。十九、 10%證明：（1） 乘：由運算表可知運算*是封閉的。（2） 群：即要證明，這里有43=64個等式需要驗證但： e是幺元，含e的等式一定成立。ab=a*b=b*a，如果對含a，b的等式成立，則對含a、b、ab

39、的等式也都成立。剩下只需驗證含a、b等式，共有23=8個等式。即：(a*b)*a=ab*a=b=a*(b*a)=a*ab=b； (a*b)*b=ab*b=a=a*(b*b)=a*e=a；(a*a)*a=e*a=a=a*(a*a)=a*e=a ； (a*a)*b=e*b=b=a*(a*b)=a*ab=b；(b*b)*a=e*a=a=b*(b*a)=b*ab=a； (b*b)*b=e*b=b=b*(b*b)=b*e=b；(b*a)*a=ab*a=b=b*(a*a)=b*e=b ； (b*a)*b=ab*b=a=b*(a*b)=b*ab=a 。（3） 幺： e為幺元（4） 逆：e -1=e ；a -

40、1=a ；b -1=b ； (ab) -1=ab 。所以為群。試卷八試題與答案一、 填空 15% （每小題 3分）1、 n階完全圖Kn的邊數(shù)為 。2、 右圖 的鄰接矩陣A= 。 3、 圖 的對偶圖為 。4、 完全二叉樹中，葉數(shù)為nt，則邊數(shù)m= 。5、 設為代數(shù)系統(tǒng)，* 運算如下：*abcaabcbbaccccc則它的幺元為 ；零元為 ； a、b、c的逆元分別為 。二、 選擇 15% （每小題 3分）1、 圖 相對于完全圖的補圖為（ ）。 2、 對圖G 則分別為（ ）。A、2、2、2； B、1、1、2； C、2、1、2； D、1、2、2 。3、 一棵無向樹T有8個頂點，4度、3度、2度的分枝點

41、各1個，其余頂點均為樹葉，則T中有（ ）片樹葉。A、3； B、4； C、5； D、64、 設是代數(shù)系統(tǒng)，其中+，為普通的加法和乘法，則A=（ ）時是整環(huán)。A、； B、；C、； D、。5、 設A=1，2，10 ，則下面定義的運算*關于A封閉的有（ ）。A、 x*y=max(x ,y)； B、x*y=質數(shù)p的個數(shù)使得；C、x*y=gcd(x , y)； (gcd (x ,y)表示x和y的最大公約數(shù))；D、x*y=lcm(x ,y) （lcm(x ,y) 表示x和y的最小公倍數(shù)）。三、 證明 45% 1、設G是（n,m）簡單二部圖，則。（8分）2、設G為具有n個結點的簡單圖，且則G是連通圖。（8分）

42、3、設G是階數(shù)不小于11的簡單圖，則G或中至少有一個是非平圖。（14分）4、記“開”為1，“關”為0，反映電路規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)0，1，+，的加法運算和乘法運算。如下：+0101001000110101證明它是一個環(huán)，并且是一個域。（15分）四、 生成樹及應用 10%1、（10分）如下圖所示的賦權圖表示某七個城市及預先測算出它們之間的一些直接通信線路造價，試給出一個設計方案，使得各城市之間既能夠通信而且總造價最小。2、（10分）構造H、A、P、N、E、W、R、對應的前綴碼，并畫出與該前綴碼對應的二叉樹，寫出英文短語HAPPY NEW YEAR的編碼信息。五、 5%對于實數(shù)集合R，在下表所列的二元遠

43、算是否具有左邊一列中的性質，請在相應位上填寫“Y”或“N”。MaxMin+可結合性可交換性存在幺元存在零元答案：二十、 填空 15%（每小題3分）1、；2、；3、；4、；5、a，c，a、b、沒有二十一、 選擇 15%（每小題 3分）題目12345答案AACDA，C二十二、 證明 45%1、 （8分）：設G=（V，E），對完全二部圖有當時，完全二部圖的邊數(shù)m有最大值。故對任意簡單二部圖有。2、 （8分）反證法：若G不連通，不妨設G可分成兩個連通分支G1、G2，假設G1和G2的頂點數(shù)分別為n1和n2，顯然。與假設矛盾。所以G連通。3、（14分）（1）當n=11時，邊數(shù)條，因而必有或的邊數(shù)大于等于28，不妨設G的邊數(shù)，設G有k個連通分支，則G中必有回路。（否則G為k棵樹構成的森林，每棵樹的頂點數(shù)為ni，邊數(shù)mi，