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1、高等數(shù)學(xué)(2)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)題參考答案—第八章 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算 一、填空題 1.點(diǎn)在第Ⅴ卦限，點(diǎn)在第Ⅲ卦限． 2.點(diǎn)到面、面、面的距離分別為，，；到軸、軸、 軸距離分別為，，. 3.點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)是；與關(guān)于面對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)的 對(duì)稱點(diǎn)是． 4.點(diǎn)的向徑與軸成角，與軸成角，長度為，若在軸上的坐標(biāo)是負(fù)值， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為． 提示：設(shè)，，；，；由，有，. 5.與向量平行，方向相反且長度為的向量為． 6．設(shè),則． 7.與向量平行的單位向量為． 8

2、.向量在軸、軸、軸上的投影依次為它的終點(diǎn)坐標(biāo)為， 則起點(diǎn)坐標(biāo)．提示：若，則. 9. 若則=． ． 10．在面上，與三點(diǎn)等距離的點(diǎn)為． 提示：設(shè)點(diǎn)，由得. 二、單項(xiàng)選擇題 1.設(shè)向量互相平行，但方向相反，當(dāng)時(shí)，必有 A ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.下列各組角可以作為某向量的方向角的是 A ． A． B． C． D． 三、計(jì)算題 1.已知兩點(diǎn)和．計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角． 解：，， ∴，． ∴，方向余弦為，，，方向角為，，． 2.設(shè)，求向量在軸上的投影

3、及在軸上的分向量． 解：， ∴ ， 故在軸上的投影為13，在軸上的分向量為． 3.向量與三坐標(biāo)軸的正向構(gòu)成相等的銳角，其模長為3，求． 解：設(shè) ，且，由，有，得，∴． 第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 一、填空題 1．；． 2．向量,若兩向量夾角為，則 =． 3．向量,則, ． 4．已知點(diǎn)三點(diǎn)共線，則 4 ， 1 ． 5．已知點(diǎn),與 同時(shí)垂直的單位向量 為． 提示：與 同時(shí)垂直的單位向量為. 6．設(shè),與軸垂直，則與的關(guān)系． 提示：. 7．為三個(gè)非零向量，,與的夾角為，與的夾角為，且 ，則． 提示：. 二、單項(xiàng)選擇題 1. 已知，則

4、C ． A．３ Ｂ． Ｃ．－１ Ｄ．１ 提示：. 2.已知向量的模分別為，且，則 C ． A． B． C． D． 提示：，，. 三、計(jì)算題 1．,求． 解：，所以． 2．求向量在向量上的投影． 解：． 3．已知，求． 解：∵∴，，從而． 4．化簡：． 解： ． 第三節(jié) 曲面及其方程 一、填空題 1．面上雙曲線分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程依次 為和. 2．曲面是由面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得或由面上 曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得. 3．表示的曲面為

5、 旋轉(zhuǎn)橢球面 ． 4．表示的曲面為 橢圓拋物面 ． 5．表示的曲面為 圓錐面的上半部分 ． 6.表示的曲面為 母線平行于軸的拋物柱面 ． 二、計(jì)算題 1．一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)和等距離，求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則由題意知：, 從而 即 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：． 2.將坐標(biāo)面上的曲線分別繞軸及軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解：在面上的繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面為：即，同理，繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得旋轉(zhuǎn)曲面方程為：， 即． 3.說明下列旋轉(zhuǎn)

6、曲面是怎樣形成的： ⑴ ⑵ 解：(1) 面上的曲線(或面上的曲線)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得； (2) 面上的曲線(或面上的曲線)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得． 4.畫出由曲面,及所圍立體(含軸部分). 解：表示頂點(diǎn)在的下半圓錐面，表示旋轉(zhuǎn)拋物面，表示圓柱面，從而三者所圍立體即可得到，如圖所示． 圖8-1 第四節(jié) 空間曲線及其方程 一、填空

7、題 1.母線平行于軸且經(jīng)過曲線的柱面方程為. 2.球面與錐面的交線在面上的投影方程為 . 3.旋轉(zhuǎn)拋物面在面上的投影為，在面上的投 影為. 4.圓錐面與柱面所圍立體在面上的投影為，在 面上的投影為. 二、單項(xiàng)選擇題 1.曲線關(guān)于面的投影柱面的方程是 A . A. B. C. D. 2.曲線在面上的投影曲線的方程是 B . A. B. C. D. 三、將曲線方程化成母線分別平行于軸及軸的柱面的交線方程. 解：將分別消去，得 ①

8、 ② 再將①②聯(lián)立得交線方程：． 第五節(jié) 平面及其方程 一、填空題 1.設(shè)一平面經(jīng)過點(diǎn),且垂直于向量，則該平面方程為. 2.平面與平面的夾角為. 3.平行于面且經(jīng)過點(diǎn)的平面方程為. 4.經(jīng)過軸和點(diǎn)的平面方程為. 提示：過軸的平面方程設(shè)為. 5.點(diǎn)到平面的距離為 1 . 提示：. 二、求平行于軸且經(jīng)過兩點(diǎn)和的平面方程. 解：設(shè)所求平面方程為， 又平面過兩點(diǎn) , ， 所求平面方程為：． 三、一平面過點(diǎn)且平行于向量和,試求該平面方程. 解：設(shè)平面的法向量為，則，，從而． 又平面過點(diǎn)，所求平面方程為，即. 四、求平面與各坐標(biāo)面夾角的余弦. 解：

9、平面的法向量，設(shè)平面與面的夾角分別為， 又面的法向量 同理． 第六節(jié) 空間直線及其方程 一、填空題 1．設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且平行于向量,則該直線的對(duì)稱式方程為 ,參數(shù)方程為. 2．直線的對(duì)稱式方程為. 3．過點(diǎn)且與兩平面和平行的直線方程為. 4．直線與平面的夾角為 0 . 5．點(diǎn)到直線的距離為. 提示：過與垂直的平面為，該平面與直線的交點(diǎn)，則到直線的距離即為. 6．過直線且平行于直線的平面方程為 . 提示：過的平面束 ，, ,得．平面為，即.. 7．直線與軸相交，則 3 . 二、單項(xiàng)選擇題 1．兩直線與的夾角為 C . A．

10、 B． C． D． 2．直線與平面的夾角滿足 C . A． B． C． D． 3．過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程是 A . A． B. C． D. 4．設(shè)直線及平面，則直線 C . A．平行于 B．在上 C．垂直于 D．與斜交 提示：判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系. 三、計(jì)算題 1．求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程． 解：設(shè)直線的方向向量，所求直線的方向向量，從而直線方程為：． 2．求直線在平面上的投影直線的方程． 解：過已知直線

11、的平面束方程為：， 即．要使其與平面垂直，則滿足 投影直線方程為 3．求過直線且切于球面的平面方程． 解：設(shè)所求平面方程為： 即 由題意知：到平面的距離為2 即所求平面方程為：． 第八章 自測(cè)題 一、填空題（每小題3分，共24分） 1．設(shè)=，=,問與有怎樣的關(guān)系，+與z軸垂直． 2．若已知向量=,=,則,夾角平分線上的單位向量為．提示： ，夾角平分線上的單位向量為. 3．若兩個(gè)非零向量,的方向余弦分別為和， 設(shè),夾角為，則=． 4．過直線且與平面垂直的平面方程為 ． 提示：：，化為一般方程， 即，過的平面束為： ① ，

12、，由得，代入①，可得平面方程. 5．直線:與直線:的夾角=． 6．點(diǎn)到直線的距離為． 提示：過與：垂直的平面為： ，與的交點(diǎn)為，到的距離即為. 7．曲線在面上的投影曲線為． 8．與兩直線及都平行，且過原點(diǎn)的平面方程為 ． 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共12分） 1．點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)是 B ． A． B． C． D． 提示：過與平面 垂直的直線為，其與平面的交點(diǎn)即為投影點(diǎn). 2．直線與平面的關(guān)系是 A ． A．直線在平面上 B．平行 C．垂直 D．三者都不是 3．兩平行平面與的距離為 C

13、 ． A． B． C． D． 提示：兩平行平面的距離為平面上任一點(diǎn)到另一平面的距離 4．平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 A ． A． B． C． D． 三、計(jì)算題（共64分） 1．求與坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)距離之比為的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程，它表示 怎樣的曲面？（本題6分） 解：設(shè)所求曲面上的點(diǎn)為，則由題意知：， ∴ 曲面方程為：，表示一球面． 2．將空間曲線方程化為參數(shù)方程．（本題5分） 解：把代入，得，令，，則， ∴空間曲線方程的參數(shù)方程為：． 3．求中心點(diǎn)在直線上且過點(diǎn)和點(diǎn)的球面方程．（

14、本題6分） 解：把化為對(duì)稱式方程：，設(shè)球心坐標(biāo)為 ，則，從而 ，∴， ∴，，所以球面方程為． 4．求通過直線且平行于直線的平面方程．（本題7分） 解：設(shè)所求平面的方程為：，即 ，，又∵直線 平行于平面， ∴， ∴， ∴所求平面方程為：． 5．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，求的方程．（本題7分） 解：設(shè)的中點(diǎn)為，則，，∵，取，由題意知所求的方程為：，即． 6．直線在平面上投影直線的方程．（本題7分） 解：設(shè)所求平面方程為：，即 ，， 又∵，， ∴ ∴， ∴ ， ∴ 投影直線的方程為：． 7．求過直線且與平面成角的平面方程．（本題7分） 解：設(shè)所求平面的方程為：， 即，，又∵，，，解得， 又平面與平面的夾角余弦 ∴所求平面方程為：及. 8．求過點(diǎn)且與直線:垂直相交的直線方程．（本題7分） 解：由題意知，過點(diǎn)且垂直與的平面方程為： 即，令，代入上述平面方程，解得．所以平面與的交點(diǎn)為，由于所求直線的方向向量，所以取， 所以直線方程為． 9．直線過點(diǎn)且和直線:,:相交，求此直線方程． （本題7分） 解：設(shè)所求直線為，則與，分別相交，：，：， 所以取，，；，， ，令，，過與的平面方程為：，即；過與的平面方程為：，即；所以直線的方程為： ． 33