讀教材填要點(diǎn),貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n .,1nx,小問題大思維,在貝努利不等式中，指數(shù)n可以取任意實(shí)數(shù)嗎？ 提示：可以但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化事實(shí)上：當(dāng)把正整數(shù)n改成實(shí)數(shù)后，將有以下幾種情況出現(xiàn)： (1)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足1或者1) (2)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足01),研一題,悟一法,通一類,研一題,精講詳析 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要先對n取特值，猜想Pn與Qn的大小關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1)當(dāng)n1,2時，PnQn. (2)當(dāng)n3時，(以下再對x進(jìn)行分類) 若x(0，)，顯然有PnQn. 若x0，則PnQn.,若x(1,0)， 則P3Q3x30， 所以P3Q3. P4Q44x3x4x3(4x)0， 所以P4Q4. 假設(shè)PkQk(k3)， 則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk,悟一法,(1)利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關(guān)系，猜測出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立 (2)本題除對n的不同取值會有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系，這就要求我們在探索大小關(guān)系時，不能只顧“n”，而忽視其他變量(參數(shù))的作用,通一類,2已知數(shù)列an，bn與函數(shù)f(x)，g(x)，xR，滿足條件： b1b，anf(bn)g(bn1)(nN*)若函數(shù)yf(x)為R上的增函數(shù)，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，證明：對任意nN*，an1an. 證明：因?yàn)間(x)f1(x)， 所以ang(bn1)f1(bn1)， 即bn1f(an) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an1an(nN*),(1)當(dāng)n1時，由f(x)為增函數(shù)，且f(1)1，得 a1f(b1)f(1)1， b2f(a1)f(1)1， a2f(b2)f(1)a1， 即a2a1，結(jié)論成立 (2)假設(shè)nk時結(jié)論成立，即ak1ak. 由f(x)為增函數(shù)，得f(ak1)f(ak)即bk2bk1， 進(jìn)而得f(bk2)f(bk1)即ak2ak1. 這就是說當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立 根據(jù)(1)和(2)可知，對任意的nN*，an1an.,研一題,精講詳析 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用以及探索型問題的求解方法解答本題需要根據(jù)n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,悟一法,利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論， 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探索型問題時,通一類,解：猜想當(dāng)t3時，對一切正整數(shù)n使3nn2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 當(dāng)n1時，313112，命題成立 假設(shè)nk(k1，kN)時，3kk2成立，,則有3kk21. 對nk1,3k133k3k23k k22(k21)3k21. (3k21)(k1)2 2k22k2k(k1)0， 3k1(k1)2， 對nk1，命題成立 由上知，當(dāng)t3時，對一切nN，命題都成立,本課時考點(diǎn)常與數(shù)列問題相結(jié)合以解答題的形式考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.2012年全國卷將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與直線方程相結(jié)合考查，是高考模擬命題的一個新亮點(diǎn),考題印證,(2012大綱全國卷)函數(shù)f(x)x22x3.定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過兩點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (1)證明：2xnxn13； (2)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式 命題立意 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題，考查學(xué)生推理論證的能力,點(diǎn)擊下圖片進(jìn)入:,