第一篇 小考點(diǎn)搶先練，基礎(chǔ)題不失分,第5練 數(shù)學(xué)文化,明晰考情 1.命題角度：近幾年，為充分發(fā)揮高考的育人功能和積極導(dǎo)向作用，在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，內(nèi)容不拘一格，古今中外文化兼有. 2.題目難度：中檔難度.,核心考點(diǎn)突破練,欄目索引,高考押題沖刺練,考點(diǎn)一 算法、數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化,方法技巧 (1)和算法結(jié)合的數(shù)學(xué)文化，要讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行. (2)數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的數(shù)列問題，要尋找數(shù)列前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，抽象出數(shù)列模型.,核心考點(diǎn)突破練,1.如圖所示的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a為 A.4 B.2 C.0 D.14,解析 由題意可知輸出的a是18，14的最大公約數(shù)2，故選B.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,2.(2018石嘴山模擬)張邱建算經(jīng)是中國古代的數(shù)學(xué)著作，書中有一道題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布)，第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)為,解析 依題意設(shè)每天多織d尺，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,3.(2018葫蘆島模擬)20世紀(jì)70年代，流行一種游戲角谷猜想，規(guī)則如下：任意寫出一個(gè)自然數(shù)n，按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果n是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3n1；如果n是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成 ，這種游戲的魅力在于無論你寫出一個(gè)多么龐大的數(shù)字，最后必然會(huì)落在谷底，更準(zhǔn)確的說是落入底部的421循環(huán)，而永遠(yuǎn)也跳不出這個(gè)圈子，右面程序框圖就是根據(jù)這個(gè)游戲而設(shè)計(jì)的，如果輸出的i值為6，則輸入的n值為 A.5 B.16 C.5或32 D.4或5或32,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析 當(dāng)n5時(shí)，執(zhí)行程序框圖， i1，n16，i2，n8，i3，n4，i4，n2，i5， n1，i6，結(jié)束循環(huán)，輸出i6； 當(dāng)n32時(shí)，執(zhí)行程序框圖， i1，n16，i2，n8，i3，n4，i4，n2，i5， n1，i6，結(jié)束循環(huán)，輸出i6. 易知當(dāng)n4時(shí)，不符合，故n5或n32，故選C.,1,2,3,4,5,6,4.名著算學(xué)啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n等于 A.2 B.3 C.4 D.5,答案,解析,1,2,3,4,5,6,故輸出的n值為4.,1,2,3,4,5,6,5.九章算術(shù)第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位，遞減的比例為40%.今共有糧m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為 A.20%,369 B.80%,369 C.40%,360 D.60%,365,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析 設(shè)“衰分比”為a，甲衰分得b石，,1,2,3,4,5,6,解得b125，a20%，m369.,答案,解析,8,11,1,2,3,4,5,6,方法二 1008119(只)，81327(元)，1002773(元). 假設(shè)剩余的19只雞全是雞翁，則51995(元). 因?yàn)?57322(元)， 所以雞母：22(53)11(只)， 雞翁：19118(只).,1,2,3,4,5,6,考點(diǎn)二 三角函數(shù)與幾何中的數(shù)學(xué)文化,方法技巧 從題目敘述中分析蘊(yùn)含的圖形及數(shù)量關(guān)系，通過分析圖形特征建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)或幾何問題.,7.我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)在“勾股”一章中有如下數(shù)學(xué)問題：“今有勾八步，股十五步，勾中容圓，問徑幾何？”.意思是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是8步和15步，則其內(nèi)切圓的直徑是多少步？則此問題的答案是 A.3步 B.6步 C.4步 D.8步,解析 由于該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是8和15，則得其斜邊長(zhǎng)為17， 設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，,解得r3，故其直徑為6步.,7,8,9,10,11,12,答案,解析,8.如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為，則tan 等于,解析 由題意得，大正方形的邊長(zhǎng)為10，小正方形的邊長(zhǎng)為 2， 210cos 10sin ，,答案,解析,7,8,9,10,11,12,9.(2018全國)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體， 則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是,解析 由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.,答案,解析,7,8,9,10,11,12,10.我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)即同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩幾何體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為,答案,解析,7,8,9,10,11,12,解析 由三視圖知，該幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱.,三視圖對(duì)應(yīng)幾何體的體積V8. 根據(jù)祖暅原理，不規(guī)則幾何體的體積VV8.,7,8,9,10,11,12,11.(2018蚌埠模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著張邱建算經(jīng)中有如下問題：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，問高幾何？”意思是：現(xiàn)在有粟米250斛，把它們自然地堆放在平地上，形成一個(gè)圓錐形的谷堆，其底面周長(zhǎng)為5丈4尺，則谷堆的高為多少？(注：1斛1.62立方尺，3)若使該問題中的谷堆內(nèi)接于一個(gè)球狀的外罩，則該外罩的直徑約為 A.5尺 B.9尺 C.10.6尺 D.21.2尺,解析 設(shè)谷堆的高為h尺，底面半徑為r尺，則2r54，r9. 粟米250斛，則體積為2501.62 92h，h5. 谷堆內(nèi)接于一個(gè)球狀的外罩，設(shè)球的半徑為R尺. 則R2(hR)2r2，解得R10.6(尺). 2R21.2(尺).,答案,解析,7,8,9,10,11,12,12.衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：,其中正確的式子的序號(hào)是 A. B. C. D.,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析 由題圖知2a12a2，2c12c2， 即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正確. a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正確.,又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，,即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1， 整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.,7,8,9,10,11,12,a1c1，a1a2，c1c2， 2a1c2a1c2，正確. c1a2a1c2，a10，a20，,7,8,9,10,11,12,考點(diǎn)三 概率、統(tǒng)計(jì)與推理證明中的數(shù)學(xué)文化,方法技巧 (1)概率、統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)文化的結(jié)合，關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型. (2)推理證明和實(shí)際問題結(jié)合，要根據(jù)已知條件進(jìn)行邏輯推理，得到相應(yīng)結(jié)論.,13.我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為 A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石,解析 由系統(tǒng)抽樣的含義，該批米內(nèi)夾谷約為 1 534169(石).,答案,解析,13,14,15,16,17,14.數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343，12 521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，33，99共9個(gè)，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是,答案,解析,13,14,15,16,17,解析 三位數(shù)的回文數(shù)為ABA， A共有1到9共9種可能，即1B1，2B2，3B3， B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A， 共有91090(個(gè))； 其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2，4B4，6B6，8B8， B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A， 其有41040(個(gè))，,13,14,15,16,17,15.(2018永州模擬)我國的洛書中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1，2，9填入33的方格內(nèi)，使三行、三列、兩對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15 (如圖).一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，n2填入nn的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形就叫做n階幻方.記n階幻方的一條對(duì)角線上數(shù)的和為Nn(如：在3階幻方中，N315)，則N10等于,A.1 020 B.1 010 C.510 D.505,答案,解析,13,14,15,16,17,n階幻方共有n行，,13,14,15,16,17,16.(2018貴港市聯(lián)考)九章算術(shù)勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長(zhǎng)各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中心生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊(如圖所示)，問水有多深，該植物有多長(zhǎng)？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為,答案,解析,13,14,15,16,17,解析 如圖所示，設(shè)水深為x尺， 由題意得(x2)2x252，,13,14,15,16,17,17.(2018北京朝陽區(qū)模擬)廟會(huì)是我國古老的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)，又稱“廟市”或 “節(jié)場(chǎng)”.廟會(huì)大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行.廟會(huì)上有豐富多彩的文化娛樂活動(dòng)，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一顆金蛋，如果有獎(jiǎng)品，則“中獎(jiǎng)”).今年春節(jié)期間，某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約來到某廟會(huì)，每人均獲得砸一顆金蛋的機(jī)會(huì).游戲開始前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如下： 甲說：“我或乙能中獎(jiǎng)”； 乙說：“丁能中獎(jiǎng)”； 丙說：“我或乙能中獎(jiǎng)”； 丁說：“甲不能中獎(jiǎng)”. 游戲結(jié)束后，這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng)，且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的，則中獎(jiǎng)的同學(xué)是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁,答案,解析,13,14,15,16,17,解析 由四人的預(yù)測(cè)可得下表：,由分析可知，中獎(jiǎng)?wù)呤羌?,13,14,15,16,17,1.南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)古籍張邱建算經(jīng)有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.問：每等人比下等人多得幾斤？”,高考押題沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析 設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推， 第一等人得金a10斤，則數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列， 設(shè)公差為d，則每一等人比下一等人多得d斤金，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的四元玉鑒卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”.其大意為“官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40 392升，問修筑堤壩多少天”，在該問題中前5天共分發(fā)了多少升大米？ A.1 170 B.1 380 C.3 090 D.3 300,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 設(shè)第n天派出的人數(shù)為an， 則an是以64為首項(xiàng)，7為公差的等差數(shù)列，,所以前5天共分發(fā)的大米數(shù)為3(S1S2S3S4S5)3(12345) 64(13610)73 300(升).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了 A.192里 B.96里 C.48里 D.24里,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,即第二天走了96里，故選B.,4.我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 (注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸) A.1寸 B.2寸 C.3寸 D.4寸,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸. 積水深9寸，,故選C.,5.(2018吉林調(diào)研)算法統(tǒng)宗是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該作中有題為“李白沽酒” “李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問題的程序框圖，若輸出的S值為0，則開始輸入的S值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,解析 模擬程序的運(yùn)行，可得 當(dāng)i1時(shí)，S2S1，i1滿足條件i3，執(zhí)行循環(huán)體； 當(dāng)i2時(shí)，S2(2S1)1，i2滿足條件i3，執(zhí)行循環(huán)體； 當(dāng)i3時(shí)，S22(2S1)11，i3不滿足條件i3，退出循環(huán)體，輸出S0， 22(2S1)110，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2018聊城模擬)我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個(gè)全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個(gè)如圖所示的大正方形和一個(gè)小正方形.設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角的正切值為3.在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正方形內(nèi)的概率是,解析 不妨設(shè)兩條直角邊為3，1，故斜邊，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,7.(2018南昌模擬)歐陽修在賣油翁中寫道“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆蓋其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4 cm的圓面，中間有邊長(zhǎng)為1 cm的正方形孔.現(xiàn)隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計(jì))，則油滴落入孔中的概率為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,而邊長(zhǎng)為1 cm的正方形的面積為111(cm2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.(2018遼寧瓦房店模擬)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為 A.128平方尺 B.138平方尺 C.140平方尺 D.142平方尺,解析 設(shè)四棱錐的外接球半徑為r尺， 則(2r)2725282138， 這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為4r2138(平方尺).故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,9.原始社會(huì)時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)算數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，當(dāng)時(shí)有位父親，為了準(zhǔn)確記錄孩子的成長(zhǎng)天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)，由細(xì)到粗，滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生_天.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù)， 化為十進(jìn)制數(shù)為173372276510.,答案,解析,510,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,因?yàn)楣灿? 095個(gè)正方形， 則12222n14 095，所以n12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,(1)b2 012是數(shù)列an中的第_項(xiàng)； (2)b2k1_.(用k表示),12.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面用點(diǎn)或小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)，將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn.可以推測(cè)：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5 030,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，,故b2 012b21 006a51 006a5 030， 即b2 012是數(shù)列an中的第5 030項(xiàng).,