《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第56講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第56講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)練習(xí) 理（含解析）新人教A版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第56講　直線、平面平行的判定與性質(zhì) 夯實基礎(chǔ)　【p128】 【學(xué)習(xí)目標】 1．熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題． 2．學(xué)會應(yīng)用“化歸思想”進行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化． 3．掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用其進行論證和解決有關(guān)問題． 【基礎(chǔ)檢測】 1．設(shè)l表示直線，α，β表示平面．給出四個結(jié)論： ①如果l∥α，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行； ②如果l∥α，則α內(nèi)任意的直線與l平行； ③如果α∥β，則α內(nèi)任意的直線與β平行； ④如果α∥β，對于α內(nèi)的一條確定的直線a，在β內(nèi)僅有唯一的直線與a平行． 以上

2、四個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】若l∥α，則在α內(nèi)的直線與l平行或異面，故①正確，②錯誤．由面面平行的性質(zhì)知③正確．對于④，在β內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行，故④錯誤． 【答案】C 2．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是不重合的兩個平面，則下列說法正確的是(　　) A．若m?α，n∥α，則m∥n B．若m⊥n，m⊥β，則n∥β C．若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，且m∥β D．若m⊥α，m⊥β，則α∥β 【解析】若m?α，n∥α，則m∥n或m與n異面，因此A不正確；B中n∥β不一定成立，還有可能n?β，所以B不正確；C中m有可

3、能在α內(nèi)或在β內(nèi)，故C不正確；D正確． 【答案】D 3．如圖所示，A是平面BCD外一點，E，F(xiàn)，G分別是BD，DC，CA的中點，設(shè)過這三點的平面為α，則在圖中的6條直線AB，AC，AD，BC，CD，DB中，與平面α平行的直線有(　　) A．0條B．1條C．2條D．3條 【解析】顯然AB與平面α相交，且交點是AB的中點，AB，AC，DB，DC四條直線均與平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF?α，BC?α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在題圖中的6條直線中，與平面α平行的直線有2條． 【答案】C 4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別

4、為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) A．①③B．①④C．②③D．②④ 【解析】①中易知NP∥AA′，MN∥A′B， ∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)． ④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP. 【答案】B 5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，則下列命題正確的是(　　) A．MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面BB1D1D D．MN∥平面BDP 【解析】取B1C1中點Q，連接MQ，NQ， 由三角形中位線定理可得MQ∥B1D1， ∴MQ∥

5、平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形得NQ∥BB1， ∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D， MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D. 【答案】C 【知識要點】 1．直線和平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系 (1)直線和平面相交——有且只有__一個__公共點． (2)直線在平面內(nèi)——有__無數(shù)個__公共點． (3)直線和平面平行——__沒有__公共點． 2．直線與平面平行的判定 (1)判定定理：如果__平面外__一條直線和這個__平面內(nèi)__的一條直線__平行__，那么這條直線和這個平面平行，即a∥b，a?α，b?α?a∥α. (2)

6、如果兩個平面__平行__，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行，即__α∥β，a?α__，則a∥β. 3．直線與平面平行的性質(zhì) 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和__交線__平行，即a∥α，a?β，α∩β＝b，則__a∥b__． 4．兩個平面的位置關(guān)系 (1)兩個平面平行——__沒有公共點__； (2)兩個平面相交——__有一條公共直線__． 5．兩個平面平行的判定定理 (1)如果一個平面內(nèi)有兩條__相交__直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． (2)垂直于同一條__直線__的兩個平面平行． (3)平行于同一個__平面__的

7、兩個平面平行． 6．兩個平面平行的性質(zhì)定理 (1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的__任意一條直線__必平行于另一個平面． (2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的__交線__互相平行． (3)一條直線__垂直__于兩個平行平面中的一個平面，它也__垂直__于另一個平面． 典例剖析　【p129】 考點1　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 如圖，在四面體A－BCD中，F(xiàn)，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點，G為DE的中點．證明：直線HG∥平面CEF. 【解析】法一：如圖，連接BH，BH與CF交于K，連接EK. ∵F，H分別是AB，AC的中點， ∴K是△ABC的

8、重心， ∴＝. 又據(jù)題設(shè)條件知，＝， ∴＝，∴EK∥GH. ∵EK?平面CEF，GH?平面CEF， ∴直線HG∥平面CEF. 法二：如圖，取CD的中點N，連接GN，HN. ∵G為DE的中點，∴GN∥CE. ∵CE?平面CEF，GN?平面CEF， ∴GN∥平面CEF. 連接FH，EN， ∵F，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點， ∴FH綊BC，EN綊BC，∴FH綊EN， ∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF. ∵EF?平面CEF，HN?平面CEF， ∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N， ∴平面GHN∥平面CEF. ∵GH?平面GHN，∴直線HG∥平面

9、CEF. 如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG. 證明：FG∥平面AA1B1B. 【解析】在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D， 所以CC1∥平面BB1D. 又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG， 所以CC1∥FG. 因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG. 而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B， 所以FG∥平面AA1B1B. 考點2　面面平行的判定及性質(zhì) 如圖，四邊形ABCD是平

10、行四邊形，點E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點． (1)證明：EF∥平面PAC； (2)證明：平面PCG∥平面AEF. 【解析】(1)∵E，F(xiàn)分別是BC，BP的中點， ∴EF綊PC， ∵PC?平面PAC，EF?平面PAC， ∴EF∥平面PAC. (2)∵E，G分別是BC、AD中點， ∴AE∥CG， ∵AE?平面PCG，CG?平面PCG， ∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC， PC?平面PCG，EF?平面PCG， ∴EF∥平面PCG， AE∩EF＝E點，AE，EF?平面AEF， ∴平面AEF∥平面PEG. 【點評】面面平行判定的一般思路是：線線平行?

11、線面平行?面面平行． 考點3　平行關(guān)系中的探索性問題 在多面體ABCDEF中，DE∥AF，DE⊥平面ABCD，EC＝5，BF＝3，四邊形ABCD是邊長為3的菱形． (1)證明：BD⊥CF； (2)線段CD上是否存在點G，使AG∥平面BEF，若存在，求的值；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)連接AC，由DE⊥平面ABCD，DE∥AF，得AF⊥平面ABCD， 又BD?平面ABCD，所以AF⊥BD， 由四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD， 又AC∩AF＝A，AC，AF?平面ACF，所以BD⊥平面ACF， 因為CF?平面ACF，所以BD⊥CF. (2)存在這樣的點G，且

12、＝.證明如下： 連接AG交BD于M，過M作MN∥DE交BE于N，連接FN. 因為＝，且△DMG∽△BMA，所以＝. 因為MN∥DE所以＝＝，即MN＝DE. 因為DE⊥平面ABCD，EC＝5，CD＝3，所以DE＝4，所以MN＝3. 因為DE∥AF，BF＝3，AB＝3，所以AF＝3. 于是MN∥AF且MN＝AF，所以四邊形AMNF為平行四邊形， 于是AM∥FN，即AG∥FN， 又FN?平面BEF，AG?平面BEF，所以AG∥平面BEF. 【點評】利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決． 方法總結(jié)

13、　　【p130】 1．證明直線與平面平行常運用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的平行來證明． 2．直線與平面平行的判定方法： (1)a∩α＝??a∥α(定義法)， (2)?a∥α， 這里α表示平面，a，b表示直線． 3．兩平面平行的判斷方法 (1)依定義采用反證法． (2)依判定定理通過說明一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行來判斷兩平面平行． (3)依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來判定． (4)依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來判定． 4．平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序 線線平行?線面平行?面面平行 從上易知三者之間可以進行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程．在

14、解題時要把握這一點，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向． 走進高考　　【p130】 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為 A.B.C.D. 【解析】記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F(xiàn)，G，H，I，J，連

15、接EF，F(xiàn)G，GH，IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以該正六邊形的面積為6××＝，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為. 【答案】A 2．(2017·浙江)如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點． (1)證明：CE∥平面PAB； (2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值． 【解析】(1)如圖，設(shè)PA中點為F，連接EF，F(xiàn)B. 因為E，F(xiàn)分別為

16、PD，PA中點，所以EF∥AD且EF＝AD， 又因為BC∥AD，BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC， 即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB. (2)分別取BC，AD的中點為M，N. 連接PN交EF于點Q，連接MQ. 因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE. 由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD，N是AD的中點得BN⊥AD. 所以AD⊥平面PBN， 由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN. 過點Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH. MH是MQ在平面

17、PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角． 設(shè)CD＝1. 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝， 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝， 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝， 所以sin∠QMH＝， 所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是. 考點集訓(xùn)　　【p246】 A組題 1．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．m∥α，m∥n?n∥α B．m∥α，n∥α?m∥n C．m∥α，m?β，α∩β＝n?m∥n D．m∥α，n?α?m∥n 【解析】A中，n還有可能在平面α內(nèi)；B中，

18、m，n可能相交、平行、異面；由線面平行的性質(zhì)定理可得C正確．D中，m，n可能異面． 【答案】C 2．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC中點，若平行六面體的各棱長均相等，給出下列說法： ①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1，則以上正確說法的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】連接PM，因為M、P為AB、CD的中點，故PM平行且等于AD.由題意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1為平行四邊形，故①正確． 顯然A1M與B1Q

19、為異面直線．故②錯誤． 由①知A1M∥D1P.由于D1P即在平面DCC1D1內(nèi)，又在平面D1PQB1內(nèi)． 且A1M即不在平面DCC1D1內(nèi)，又不在平面D1PQB1內(nèi)． 故③④正確． 【答案】C 3．已知平面α，β，γ，直線m，n，l，給出下列四種說法： ①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，則α∥β； ②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β； ③若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β； ④若m?α，n?β，α∩β＝l，m∥n，則m∥l. 其中說法正確的有(　　) A．1個B．2個C．3個D．4個 【解析】由題意得，①中，若α∩γ＝m，β∩γ

20、＝n，且m∥n，此時α與β相交或平行，所以不正確；②中根據(jù)平面與平面平行的判定定理可知，若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β是正確的；③中，若m∥α，n∥β，且m∥n，則α與β相交或平行，所以不正確；④中，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，可知若m?α，n?β，α∩β＝l，m∥n，則m∥l是正確的，故②④是正確的． 【答案】B 4．在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱B1B，B1C1的中點，點G是棱CC1的中點，則過線段AG且平行于平面A1EF的截面的面積為(　　)

21、 A．1 B.C.D. 【解析】取棱BC的中點M，連結(jié)AD1，D1G，GM，MA， 根據(jù)題意，結(jié)合線面，面面平行的性質(zhì)，得到滿足條件的截面為等腰梯形AD1GM， 由正方體的棱長為1，可求得該梯形的上底為，下底為，高為， 利用梯形的面積公式可求得S＝＝. 【答案】B 5．如圖是正方體的平面展開圖．關(guān)于這個正方體，有以下判斷： ①ED與NF所成的角為60°； ②CN∥平面AFB； ③BM∥DE； ④平面BDE∥平面NCF. 其中正確判斷的序號是(　　) A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【解析】把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCD－EFMN

22、，得：①ED與NF所成的角為60°，故①正確；②CN∥BE，CN不包含于平面AFB，BE?平面AFB，∴CN∥平面AFB，故②正確；③BM與ED是異面直線，故③不正確；④∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，F(xiàn)N∩CN＝N，BD，BE?平面BDE，F(xiàn)N，CN?平面NCF，所以平面BDE∥平面NCF，故④正確，正確判斷的序號是①②④. 【答案】C 6．如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當(dāng)SE∶SA＝________時，SC∥平面EBD. 【解析】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD的交點為O，連接EO. 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以

23、點O是AC的中點． 因為SC∥平面EBD，且平面EBD∩平面SAC＝EO， 所以SC∥EO， 所以點E是SA的中點，此時SE∶SA＝1∶2. 【答案】1∶2 7．設(shè)平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，則CS＝____________． 【解析】如圖(1)，由α∥β可知BD∥AC， ∴＝，即＝，∴SC＝68； 如圖(2)，由α∥β知AC∥BD， ∴＝＝，即＝. ∴SC＝. 【答案】68或 8．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點． 求證：(1)BE∥平面D

24、MF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【解析】(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO， 又BE?平面DMF，MO?平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN， 又DE?平面MNG，GN?平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線， 所以BD∥MN， 又BD?平面MNG，MN?平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線， 所以平面BDE∥平面MNG. B組

25、題 1．設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則以下能夠推出α∥β的是(　　) A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2 【解析】m∥β且l1∥α?xí)r，α，β可相交(如m，l1同時平行α，β交線); m∥l1且n∥l2時，α∥l1，α∥l2，又l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，所以α∥β；m∥β且n∥β時，α，β可相交(如m，n同時平行α，β交線)；m∥β且n∥l2時，α，β可相交(如m，n同時平行α，β交線l2)；因此選B. 【答案】B 2．已知棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1，E為棱AD中點

26、，現(xiàn)有一只螞蟻從點B1出發(fā)，在正方體ABCD－A1B1C1D1表面上行走一周后再回到點B1，這只螞蟻在行走過程中與平面A1BE的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為________． 【解析】由題可知，螞蟻在正方體ABCD－A1B1C1D1表面上行走一周的路線構(gòu)成與平面A1BE平行的平面， 設(shè)F，G分別為BC，A1D1中點，連接B1G，GD，F(xiàn)D和FB1， 則B1G－GD－DF－FB1為螞蟻的行走軌跡． ∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2， 易得B1G＝GD＝DF＝FB1＝，B1D＝2，GF＝2， ∴四邊形B1GDF為菱形，SB1GDF＝B1D·GF＝2

27、. 【答案】2 3．如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，E，F(xiàn)分別為CC1，BB1上的點，且EC＝B1F，過點B做截面BMN，使得截面交線段AC于點M，交線段CC1于點N. (1)若EC＝3BF，確定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并說明理由； (2)K，R分別為AA1，C1B1中點，求證：KR∥平面AEF. 【解析】(1)當(dāng)＝＝時，平面BMN∥平面AEF， 證明如下： 由EN＝EC，BF＝EC?EN＝BF且EN∥BF?四邊形BFEN為平行四邊形?BN∥EF， 因為＝?MN∥AE， 因為MN、BN?平面BMN，且MN∩BN＝N， AE、EF?平面AEF

28、，且AE∩EF＝E， 所以平面BMN∥平面AEF. (2)連接BC1交FE于點Q，連接QR. 因為△BQF≌△C1QE?BQ＝C1Q?QR∥BB1且QR＝BB1?QR∥AK且QR＝AK， 連接AQ?AQ∥KR?KR∥平面AEF. 4．如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E分別為PA，AC的中點． (1)求證：DE∥平面PBC； (2)試問在線段AB上是否存在點F，使得過D，E，F(xiàn)三點的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)因為E為AC的中點，D為PA的中點， 所以DE∥PC. 又DE?平面PBC，PC?平面PBC， 所以DE∥平面PBC. (2)存在，當(dāng)點F是線段AB的中點時，過D，E，F(xiàn)三點的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行． 證明如下：如圖，取AB的中點F，連接EF，DF. 由(1)可知DE∥平面PBC. 因為E是AC的中點，F(xiàn)為AB的中點，所以EF∥BC. 又EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC. 又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC， 所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行． 故當(dāng)點F是線段AB的中點時，過D，E，F(xiàn)三點的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行． 16