6、?兩圓__相交__；
有兩組相同的實(shí)數(shù)解?兩圓__相切__；
無實(shí)數(shù)解?兩圓__相離__或__內(nèi)含__．
5．直線被圓截得的弦長
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程是__x0x＋y0y＝r2__．
(2)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算．
(3)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式|AB|＝|xA－xB|＝.
典例剖析 【p149】
考點(diǎn)1 直線與圓的位置關(guān)系
(1)若直線l：y＝kx＋1(k＜0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是( )
A
7、．相交B．相切
C．相離D．不確定
【解析】因?yàn)橹本€l：y＝kx＋1(k＜0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，所以＝，解得k＝±1，因?yàn)閗<0，所以k＝－1，所以l的直線方程為x＋y－1＝0，圓D的圓心(2，0)到直線的距離d＝＝＜，所以直線l與圓D相交．
【答案】A
(2)已知直線3x－4y＋m＝0與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓外一點(diǎn)，若四邊形OACB是平行四邊形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．
【解析】如圖所示，四邊形OACB是平行四邊形，且OA＝OB，
∴平行四邊形OACB是菱形；
設(shè)OC，AB相交于點(diǎn)E，
∴
8、OC⊥AB，AE＝BE，OE＝CE，
∴圓心O到直線3x－4y＋m＝0的距離為
OE＝＝，
∴OC＝；
又C在圓外，∴1＜＜2，
解得5＜m＜10或－10＜m＜－5，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－10，－5)∪(5，10)．
【答案】(－10，－5)∪(5，10)
(3)已知圓心在x軸負(fù)半軸上的圓C與y軸和直線x－y－6＝0均相切，直線x＋y－m＝0與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P(0，1)滿足PM⊥PN，則實(shí)數(shù)m＝________．
【解析】設(shè)圓C的圓心是(－a，0)(a>0)，根據(jù)題意可知圓的半徑是a，
根據(jù)題意有圓心到直線的距離等于半徑，得到＝a，解得a＝6，
所以圓C的
9、方程是(x＋6)2＋y2＝36，即x2＋y2＋12x＝0，
與直線x＋y－m＝0聯(lián)立，化簡得2x2＋(12－2m)x＋m2＝0，
Δ＝(12－2m)2－8m2＝－4m2－48m＋144>0，
解得－6－6＜m＜－6＋6，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以x1＋x2＝m－6，x1x2＝，
因?yàn)镻M⊥PN，所以·＝0，
即(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，
從而有m2＋5m－5＝0，
解得m＝＝，經(jīng)檢驗(yàn)，兩個(gè)值都可以．
【答案】
【點(diǎn)評(píng)】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點(diǎn)
10、與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．
考點(diǎn)2 弦長問題
已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2)求直線l被圓C截得的最短弦長．
【解析】法一：(1)由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因?yàn)棣ぃ?4k－2)2＋28(k2＋1)>0，
所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
(2)設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，
則直線l被圓C截得的弦長
11、|AB|＝2
＝2＝2，
令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0，
當(dāng)t＝0時(shí)，k＝－，當(dāng)t≠0時(shí)，因?yàn)閗∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值為4，此時(shí)|AB|最小為2.
法二：(1)直線l過定點(diǎn)E(0，1)，且點(diǎn)E在圓C內(nèi)，故不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
(2)易知當(dāng)l垂直于CE時(shí)，弦長最短，
∵kCE＝＝－2，
∴k＝，l：y＝x＋1，
圓心到直線距離d＝.
|AB|＝2＝2＝2.
【點(diǎn)評(píng)】處理直線與圓的弦長問題時(shí)多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．
考點(diǎn)3 圓的切線問題
(1)過
12、點(diǎn)P(2，4)引圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為__________________．
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝2，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切線方程為x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.
【答案】x＝2或4x－3y＋4＝0
(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切
13、線方程．
①與直線l1：x＋y－4＝0平行；
②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；
③過切點(diǎn)A(4，－1)．
【解析】①設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，
則＝，∴b＝1±2，
∴切線方程為x＋y＋1±2＝0；
②設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，
則＝，∴m＝±5，
∴切線方程為2x＋y±5＝0；
③∵kAC＝＝，
∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，
∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
【點(diǎn)評(píng)】圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．
考點(diǎn)4 圓與圓的位置關(guān)系
(1)若圓C1：x2＋y
14、2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為( )
A.B．2C．4D．2
【解析】圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)，
化為(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a，0)，半徑為3.
圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為1，
∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，
∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值為2.
【答案】B
15、
(2)求過兩圓x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)的圓中面積最小的圓的方程．
【解析】由
①－②得2x－y＝0，代入①得x1＝－，x2＝－1，
∴兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，(－1，－2)．
過兩交點(diǎn)的圓中，以，(－1，－2)為端點(diǎn)的線段為直徑的圓，面積最?。?
∴該圓圓心為，
半徑為＝，
圓方程為＋＝.
【點(diǎn)評(píng)】圓的公共弦方程是兩個(gè)圓的方程化為二次系數(shù)一致時(shí)相減而得到的，以公共弦為直徑的圓的方程利用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的圓心坐標(biāo)適合公共弦方程而確定待定系數(shù)．
方法總結(jié) 【p150】
1．處理直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓心到直線的距離
16、，兩圓心連線的長與半徑和、差的關(guān)系判斷求解．
2．求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：
(1)幾何方法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出．
(2)代數(shù)方法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出．
(以上兩種方法只能求斜率存在的切線，斜率不存在的切線，可結(jié)合圖形求得)．
3．求直線被圓截得的弦長
(1)幾何方法：運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長|AB|＝2·.
(2)
17、代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理．
弦長|AB|＝.
4．注意利用圓的幾何性質(zhì)解題．如：圓心在弦的垂直平分線上，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，切割線定理等，在考查圓的相關(guān)問題時(shí)，常結(jié)合這些性質(zhì)一同考查，因此要注意靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)解題．
走進(jìn)高考 【p150】
1．(2018·天津)已知圓x2＋y2－2x＝0的圓心為C，直線(t為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC的面積為__________．
【解析】直線的普通方程為x＋y－2＝0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心為C(1，0)，半徑為1，點(diǎn)C到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝，所以S△ABC＝××＝.
【答案】
18、
2．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則|CD|＝________．
【解析】法一：直接法
圓x2＋y2＝12的圓心為O，半徑為2.由點(diǎn)到直線的距離公式得＝3，
解得m＝－，從而直線l的斜率k＝－m＝，因此直線l的傾斜角為30°，
據(jù)題意畫出右圖，可知|CD|＝＝4.
法二：幾何法
由題意解得m＝－(同法一)，
從而直線l的方程為－x＋y－2＝0，
聯(lián)立方程
解得xA＝－3，xB＝0.
從而B(0，2)，又直線l的斜率k＝－m＝，直線k＝－m＝與BD與l
19、垂直，
所以直線的方程為y＝－x＋2，
令y＝0，解得xD＝2，
由下圖易知點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以xC＝2，因此
|CD|＝|xD－xC|＝4.
法三：解析法
如下圖，
∵直線l與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，
d＝＝3，
∴＝3，解得m＝－.
直線l即：x－y＋6＝0.
聯(lián)立
解得或
即A(－3，)，B(0，2)，
直線AC的方程為：x＋y＋2＝0，
令y＝0得C(－2，0)，
同理得D(2，0)，∴|CD|＝4.
考點(diǎn)集訓(xùn) 【p261】
A組題
1．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2＋2x＝0的位置關(guān)系是( )
20、A．相離B．相交C．內(nèi)切D．內(nèi)含
【解析】將圓x2＋y2－4＝0和圓x2＋y2＋2x＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1，兩圓心的距離為1，兩半徑分別為1和2，圓心距等于半徑之差，故內(nèi)切，選C.
【答案】C
2．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝( )
A.B．2C．2D．4
【解析】化圓x2＋y2＋2y－3＝0為x2＋(y＋1)2＝4，
可得圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑為2，
圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，
∴|AB|＝2＝2.
【答案】B
3．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交
21、點(diǎn)為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為( )
A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝0
【解析】圓x2＋y2－2x－5＝0的圓心為M(1，0)，圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圓心為N(－1，2)，兩圓的相交弦AB的垂直平分線即為直線MN，其方程為＝，即x＋y－1＝0.
【答案】A
4．設(shè)圓心在x軸上的圓C與直線l1：x－y＋1＝0相切，且與直線l2：x－y＝0相交于兩點(diǎn)M，N，若|MN|＝，則圓C的半徑為( )
A.B.C．1D.
【解析】圓心在x軸上的圓C與直線l1：x－y＋1＝0相切，
且與直線l2：x－y＝0相交于兩點(diǎn)M，N
22、，
兩條直線平行，平行線之間的距離d＝＝，
設(shè)圓C的半徑為r，由|MN|＝，
可得r2＝＋，解得r＝1，
故圓C的半徑為1.
【答案】C
5．已知點(diǎn)A，B，若圓C：＋＝r2(r>0)與以線段AB為直徑的圓相外切，則實(shí)數(shù)r的值是__________．
【解析】A，B，則＝＝2，AB中點(diǎn)為：.
以線段AB為直徑的圓的圓心為，半徑為.
圓C與以線段AB為直徑的圓相外切，所以圓心距＝5＝r＋.
所以r＝5－.
【答案】5－
6．過點(diǎn)P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則·＝________．
【解析】由題意，圓心為O(0，0)，半徑為1.如圖所示．
23、
∵P(1，)，∴PA⊥x軸，PA＝PB＝.
∴△POA為直角三角形，其中OA＝1，AP＝，則OP＝2，
∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos60°＝.
【答案】
7．已知曲線C：x＝－，直線l：x＝6，若對(duì)于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得＋＝0，則m的取值范圍為________．
【解析】曲線C：x＝－，是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，并且xP∈[－2，0]，對(duì)于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得＋＝0，
說明A是PQ的中點(diǎn)，Q的橫坐標(biāo)x＝6，
∴m＝∈[2，3]．
【答案】[2，3]
8．已知圓
24、C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
(2)求直線被圓截得的弦長最小時(shí)l的方程，并求此時(shí)的弦長．
【解析】(1)將l的方程整理為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
由得∴直線l過定點(diǎn)A(3，1)．
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，故直線l與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
(2)圓心為O(1，2)，當(dāng)截得的弦長最小時(shí)，l⊥AO.
由kAO＝－，得l的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
此時(shí)的弦長為2＝4.
B組題
1．圓：
25、x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0和圓：x2＋y2－4by－1＋4b2＝0有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則＋的最小值為( )
A．1B．3C．4D．5
【解析】由題意得，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓相外切，又圓x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0的圓心坐標(biāo)C1(－a，0)，半徑為R＝3，圓x2＋y2－4by－1＋4b2＝0的圓心坐標(biāo)C2(0，2b)，半徑為r＝1，所以圓心距為|C1C2|＝＝3＋1?a2＋4b2＝16，所以＋＝×(a2＋4b2)＝≥×＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)等號(hào)成立，所以＋的最小值為1.
【答案】A
2．已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2
26、y－1＝0相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別在圓M上運(yùn)動(dòng)，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為________．
【解析】把圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：
(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圓心(1，－1)，半徑r＝.
直線與圓相交，由點(diǎn)到直線的距離公式得弦心距d＝＝，
由勾股定理得半弦長＝＝，
所以弦長|AC|＝2×＝.
又B，D兩點(diǎn)在圓上，并且位于直線l的兩側(cè)，四邊形ABCD的面積可以看成是兩個(gè)三角形△ABC和△ACD的面積之和，
如圖所示，
當(dāng)B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線時(shí)(即為直徑時(shí))，兩三角形的面積之和最大，即四邊形
27、ABCD的面積最大，
最大面積為：S＝|AC|×|BE|＋|AC|×|DE|＝|AC|×|BD|＝××2＝.
【答案】
3．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若直線l過點(diǎn)(－2，0)且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)從圓C外一點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
【解析】(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝－2，易求直線l與圓C的交點(diǎn)為A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程
28、為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，則圓心C到直線l的距離d＝＝1，
解得k＝，
所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.
綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(2)如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，
所以△PMC為直角三角形，
所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.
設(shè)P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝，
因?yàn)閨PM|＝|PO|，
所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點(diǎn)O到直線2x－4y＋3＝0的距離，
29、代入點(diǎn)到直線的距離公式可求得|PM|的最小值為.
4．已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
【解析】(1)易知圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r＝1，
由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，
因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.
解得
（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第65講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí) 理（含解析）新人教A版
