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1、專題能力訓練12　空間幾何體 　專題能力訓練第30頁　? 一、能力突破訓練 1.球的體積為43π,平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,則球心O到平面α的距離為(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案:B 解析:依題意,設該球的半徑為R,則有4π3R3=43π,解得R=3,因此球心O到平面α的距離d=R2-12=2. 2.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(　　) A.π B.3π4 C.π2 D.π4 答案:B 解析:設圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1, 由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知, r,R

2、及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形. ∴r=12-122=32. ∴圓柱的體積為V=πr2h=34π×1=3π4. 故選B. 3.在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P在線段BD1上,且BPPD1=12,M為線段B1C1上的動點,則三棱錐M-PBC的體積為(　　) A.1 B.32 C.92 D.與M點的位置有關(guān) 答案:B 解析:∵BPPD1=12,∴點P到平面BC1的距離是D1到平面BC1距離的13,即為D1C13=1. ∵M為線段B1C1上的點,∴S△MBC=12×3×3=92, ∴VM-PBC=VP-MBC=13×92×1=32. 4.已知平面α截球O的球面

3、得圓M,過圓心Μ的平面β與α的夾角為π6,且平面β截球O的球面得圓N.已知球Ο的半徑為5,圓M的面積為9π,則圓N的半徑為(　　) A.3 B.13 C.4 D.21 答案:B 解析:如圖,∵OA=5,AM=3,∴OM=4. ∵∠NMO=π3, ∴ON=OM·sinπ3=23. 又OB=5, ∴NB=OB2-ON2=13,故選B. 5.已知三棱柱ABC-A'B'C'的側(cè)棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體積為3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的表面積是(　　) A.2π B.4π C.8π D.10π 答案:C 解析:根據(jù)余弦定理可知,B

4、C=3,則∠ACB=90°.如圖,點E,F分別是斜邊AB,A'B'的中點,點O為EF的中點,則點O為三棱柱外接球的球心,連接OA. 設三棱柱的高為h,V=12×1×3×h=3,解得h=2,R2=OA2=12AB2+12h2, 代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面積為S=4πR2=8π. 6.已知三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為5的球O中,AB=CD=4,則三棱錐A-BCD的體積的最大值為(　　) A.43 B.83 C.163 D.323 答案:C 解析:如圖,過CD作平面ECD,使AB⊥平面ECD,交AB于點E,設點E到CD的距離為EF,當球心在EF上時,EF最大,此時E,F

5、分別為AB,CD的中點,且球心O為EF的中點,所以EF=2,所以Vmax=13×12×4×2×4=163,故選C. 7.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為　　　　　.? 答案:77π2 解析:構(gòu)造一個長方體,使得它的三條面對角線長分別為4,5,6,設長方體的三條邊長分別為x,y,z,則x2+y2+z2=772,而長方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4πR2=77π2. 8.如圖所示,圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為　　　　　.? 答案:140π3 解析:由題知,旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是

6、一個圓臺去掉一個半球,其中圓臺的體積為V=13×(π×22+π×22×π×52+π×52)×4=52π,半球的體積V=12×43×π×23=16π3,則所求體積為52π-16π3=140π3. 9.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為　　　　　.? 答案:402π 解析:設O為底面圓圓心, ∵cos∠ASB=78, ∴sin∠ASB=1-782=158. ∴S△ASB=12×|AS|·|BS|·158=515. ∴SA2=80.∴SA=45. ∵SA與圓錐底面所成的角為45°,∠S

7、OA=90°, ∴SO=OA=22SA=210. ∴S圓錐側(cè)=πrl=45×210×π=402π. 10.已知正四棱錐P-ABCD中,PA=23,則當該正四棱錐的體積最大時,它的高h等于　　　　　.? 答案:2 解析:設正四棱錐P-ABCD的底面邊長為a, ∵PA=23,∴2a22+h2=12,即a22+h2=12, 故a2=24-2h2,∴正四棱錐P-ABCD的體積V=13a2h=8h-23h3(h>0),∴V'=8-2h2. 令V'>0,得02,∴當h=2時,正四棱錐P-ABCD的體積取得最大值. 11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1

8、中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由); (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因為EHGF為正方形, 所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱, 所以其體積的比值為9779也正確

9、. 12.如圖所示,等腰三角形ABC的底邊AB=66,高CD=3,點E是線段BD上異于點B,D的動點,點F在BC邊上,且EF⊥AB,現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積,求V(x)的最大值. 解:因為PE⊥EF,PE⊥AE,EF∩AE=E, 所以PE⊥平面ABC. 因為CD⊥AB,FE⊥AB, 所以EF∥CD, 所以EFCD=BEBD, 即EF3=x36, 所以EF=x6, 所以S△ABC=12×66×3=96, S△BEF=12×x×x6=612x2, 所以V(x)=13×96-612x2x=63x9

10、-112x2(00,V(x)單調(diào)遞增; 當6

11、三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為　　　　　　.? 答案:415 解析:如圖所示,連接OD,交BC于點G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC. 設OG=x,則BC=23x,DG=5-x, 三棱錐的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x. 因為S△ABC=12×23x×3x=33x2, 所以三棱錐的體

12、積V=13S△ABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5. 令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2, 則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減, 所以f(x)max=f(2)=80. 所以V≤3×80=415,所以三棱錐體積的最大值為415. 15.若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積為　　　　　.? 答案:64π 解析:如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,因為AB=1,AC=2

13、,∠BAC=60°, 所以BC=3, 所以∠ABC=90°. 所以△ABC截球O所得的圓O'的半徑r=1. 設OO'=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12, 所以x2+1=(215-x)2+1, 解得x=15,R2=(15)2+12,R=4. 所以球O的表面積為4πR2=64π. 16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖②),并且點D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上. (1)證明:AD⊥平面DBC; (2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問:當球的體積最大時,球的半徑是多少? (1

14、)證明設D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖, 則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩DH=H, 所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC. 又AD⊥DC,DC∩BC=C, 所以AD⊥平面DBC. (2)解當球的體積最大時,易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設球的半徑為R,球心為O, 則VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB). 由已知可得S△ABC=S△ADC=6. 過點D作DG⊥AC于點G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC. 易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=12×4×374=372. 在△DAB和△BCD中, 因為AD=BC,AB=DC,DB=DB, 所以△DAB≌△BCD, 故S△DBC=372,VD-ABC=13×6×374=372. 則R36+372+6+372=372, 于是(4+7)R=372, 所以R=372×(4+7)=47-76. - 9 -