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1、專題能力訓練5　函數與方程及函數的應用 　專題能力訓練第16頁　? 一、能力突破訓練 1.f(x)=-1x+log2x的一個零點落在下列哪個區(qū)間(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:B 解析:由題意得f(x)單調遞增,f(1)=-1<0,f(2)=12>0,所以f(x)=-1x+log2x的零點落在區(qū)間(1,2)內. 2.設函數f(x)的零點為x1,函數g(x)=4x+2x-2的零點為x2,若|x1-x2|>14,則f(x)可以是(　　) A.f(x)=2x-12 B.f(x)=-x2+x-14 C.f(x)=1-10x D.f(x

2、)=ln(8x-2) 答案:C 解析:依題意得g14=2+12-2<0,g12=1>0,則x2∈14,12.若f(x)=1-10x, 則有x1=0,此時|x1-x2|>14,因此選C. 3.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m(0

3、a≤x≤12,則矩形ABCD的面積S=x(16-x). 當0

4、x=1對稱.當x∈[1,5]時,函數y=e-2(x-1)∈(0,1],且單調遞減;函數y=2cosπx∈[-2,2],且在區(qū)間[1,5]上有兩個周期,因此當x∈[1,5]時,函數y=e-2(x-1)與y=2cosπx的圖象有4個不同的交點;從而所有零點之和為4×2=8,故選C. 5.若關于x的方程ax2-|x|+a=0有四個不同的解,則實數a的值可能是(　　) A.14 B.12 C.1 D.2 答案:A 解析:將方程ax2-|x|+a=0整理變形可得a=|x|x2+1, 則方程ax2-|x|+a=0有四個不同的解等價于函數y=a與函數y=|x|x2+1的圖象有四個不同的交點, 注

5、意到函數y=|x|x2+1是定義在R上的偶函數,且x>0時,y=xx2+1=1x+1x, 結合對勾函數的性質和復合函數的性質可知函數y=|x|x2+1在區(qū)間(0,1)內單調遞增,在區(qū)間(1,+∞)內單調遞減, 當x=1時,y=|x|x2+1=12, 據此繪制函數圖象如圖所示, 結合函數圖象可知滿足題意的實數a的取值范圍是0,12, 結合選項可知,實數a的值可能是14.故選A. 6.函數f(x)=cos3x+π6在區(qū)間[0,π]上的零點個數為　　　　　.? 答案:3 解析:令f(x)=cos3x+π6=0,得3x+π6=π2+kπ,k∈Z, ∴x=π9+kπ3=(3k+1)

6、π9,k∈Z.則在區(qū)間[0,π]上的零點有π9,4π9,7π9.故有3個. 7.已知e是自然對數的底數,函數f(x)=ex+x-2的零點為a,函數g(x)=ln x+x-2的零點為b,則f(a),f(1),f(b)的大小關系為　.? 答案:f(a)0恒成立,則函數f(x)在R上是單調遞增的, 因為f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數f(x)的零點a∈(0,1). 由題意,知g'(x)=1x+1>0, 則函數g(x)在區(qū)間(0,+∞)內是單調遞增的. 又g(1)=ln1+1-2=-

7、1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,則函數g(x)的零點b∈(1,2). 綜上,可得0

8、商品價格為x元,實際付款為y元, 則y=x,0500, 整理,得y=x,0500. ∵0.9×200=180>100, ∴A商品的價格為100元.∵0.9×500=450, ∴B商品的價格為500元.當x=100+500=600時,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性購買A,B兩件商品,則應付款520元. 9.已知函數f(x)=2x,g(x)=12|x|+2. (1)求函數g(x)的值域; (2)求滿足方程f(x)-

9、g(x)=0的x的值. 解:(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2, 因為|x|≥0,所以0<12|x|≤1, 即20時,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2, 解得2x=1±2.因為2x>0,所以2x=1+2, 即x=log2(1+2). 10.如圖,一個長方體形狀的物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向做勻速移動,速度為v(v>0),雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R).E移

10、動時單位時間內的淋雨量包括兩部分:①P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設其值與|v-c|×S成正比,比例系數為110;②其他面的淋雨量之和,其值為12.記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100,面積S=32時, (1)寫出y的表達式; (2)設00). (2)由(1)知,當0

11、15; 當c

12、6 C.14 D.12 答案:A 解析:由題中圖象知,f(x)=0有3個根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3個根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由圖象可知g(x)所對每一個值都能有3個根,因而m=9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由圖象可以看出f(x)=0時對應有3個根,f(x)=d時有4個根,f(x)=c時只有2個根,加在一起也是9個,即n=9,故m+n=9+9=18,故選A. 12.已知函數f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函數g(x)=3-f(2-x),則

13、函數y=f(x)-g(x)的零點個數為(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:A 解析:因為f(x)=2+x,x<0,2-x,0≤x≤2,(x-2)2,x>2, 所以f(2-x)=2+(2-x),2-x<0,2-(2-x),0≤2-x≤2,(2-x-2)2,2-x>2 ?f(2-x)=x2,x<0,x,0≤x≤2,4-x,x>2, f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0≤x≤2,x2-5x+8,x>2, 所以函數y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x<0,-1,0≤x≤2,x2-5x+5,x>2. 其圖象如圖所示. 顯然

14、函數圖象與x軸有兩個交點,故函數有兩個零點. 13.設函數f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x≥1. (1)若a=1,則f(x)的最小值為　　　　　;? (2)若f(x)恰有2個零點,則實數a的取值范圍是　　　　　.? 答案:(1)-1　(2)12,1∪[2,+∞) 解析:(1)當a=1時,f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x≥1, 當x<1時,2x-1∈(-1,1); 當x≥1時,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故f(x)的最小值為-1. (2)若函數f(x)=2x-a的圖象在x<1時與x軸有一個交點,則a>0,并且當x=1時

15、,f(1)=2-a>0,所以0

16、+∞). 14.已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產1千件需另投入2.7萬元.設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=10.8-130x2,010. (1)寫出年利潤W(單位:萬元)關于年產量x(單位:千件)的函數解析式; (2)當年產量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入-年總成本) 解:(1)當010時,W=xR(x)-(10+2.7

17、x)=98-10003x-2.7x. 故W=8.1x-x330-10,010. (2)①當00;當x∈(9,10]時,W'<0. 所以當x=9時,W取得最大值, 即Wmax=8.1×9-130×93-10=38.6. ②當x>10時,W=98-10003x+2.7x≤98-210003x×2.7x=38, 當且僅當10003x=2.7x,即x=1009時,W取得最大值38. 綜合①②知,當x=9時,W取得最大值38.6, 故當年產量為9千件時,該公司在這

18、一品牌服裝的生產中所獲的年利潤最大. 15.甲方是一農場,乙方是一工廠,由于乙方生產須占用甲方的資源,因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付的情況下,乙方的年利潤x(單位:元)與年產量q(單位:t)滿足函數關系x=2 000q.若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格). (1)將乙方的年利潤w(單位:元)表示為年產量q(單位:t)的函數,并求出乙方獲得最大利潤的年產量; (2)在乙方年產量為q(單位:t)時,甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y=0.002q2(單位:元),在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下,甲方要在索賠中獲得最大

19、凈收入,應向乙方要求的賠付價格s是多少? 解:(1)因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w=2000q-sq(q≥0). 因為w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s, 所以當q=1000s2時,w取得最大值.所以乙方取得最大利潤的年產量q=1000s2t. (2)設甲方凈收入為v元,則v=sq-0.002q2, 將q=1000s2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數關系式: v=10002s-2×10003s4. 又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5, 令v'=0得s=20.當s<20時,v'>0;當s>20時,v'<0.所以當s=20時,v取得最大值. 因此甲方向乙方要求賠付價格s為20元/噸時,獲最大凈收入. 9