2、y2+2mx-3=0(m<0)的半徑為2,橢圓C:x2a2+y23=1的左焦點為F(-c,0).若垂直于x軸且經(jīng)過點F的直線l與圓M相切,則a的值為( )
A.34 B.1
C.2 D.4
5.(2018全國Ⅱ,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為( )
A.1-32 B.2-3
C.3-12 D.3-1
6.已知F1,F2是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點,點P是該橢圓上的一個動點,則|PF1+PF2|的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.22
7.設(shè)F1,F2為橢圓x29+y25=
3、1的兩個焦點,點P在橢圓上.若線段PF1的中點在y軸上,則|PF2||PF1|的值為 .?
8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是 .?
9.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若AF2=2F2B,AF1·AB=32,求橢圓的方程.
10.已知橢圓C:x2a
4、2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:|AN|·|BM|為定值.
二、能力提升
11.已知P是橢圓x225+y29=1上的一點,M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為( )
A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12
12.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=
5、1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率為( )
A.32 B.22 C.12 D.14
13.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點為F1,F2,若橢圓上存在滿足PF1·PF2=b22的點P,則橢圓的離心率的范圍是 .?
14.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為32.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點D為x軸上一點,過點D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過點D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶
6、5.
三、高考預測
15.(2018全國Ⅰ,理19)設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).
(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.
考點規(guī)范練40 橢圓
1.A 解析由題意知a=13,c=5,
則b2=a2-c2=144.
又橢圓的焦點在x軸上,
所以橢圓的方程為x2169+y2144=1.
2.C 解析若a2=9,b2=4+k,
則c=5-k.
由ca=45,即5-k3=45,
解得k=-1925.
若a2=4+k,b2=9,則c=k
7、-5.
由ca=45,即k-54+k=45,
解得k=21.
3.C 解析由ax2+by2=1,得x21a+y21b=1.因為橢圓的焦點在x軸上,所以1a>1b>0,所以0b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,則|PF1|+|PF2|=2a.
∵∠F2PF
8、1=90°,∠PF2F1=60°,
∴3c+c=2a,即(3+1)c=2a.
∴e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.
6.C 解析由題意知F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)P(x0,y0),
則PF1=(-1-x0,-y0),PF2=(1-x0,-y0),
∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0),
∴|PF1+PF2|=4x02+4y02=22-2y02+y02=2-y02+2.
∵點P在橢圓上,∴0≤y02≤1,
∴當y02=1時,|PF1+PF2|取最小值2.故選C.
7.513 解析由題意知a=3,b=5.
由橢圓定義知|PF1|+|PF
9、2|=6.
在△PF1F2中,因為PF1的中點在y軸上,O為F1F2的中點.
由三角形中位線性質(zhì)可推得PF2⊥x軸,
所以|PF2|=b2a=53,
所以|PF1|=6-|PF2|=133,
所以|PF2||PF1|=513.
8.63 解析由題意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.
因為∠BFC=90°,所以BF·CF=0.
所以c2-32a2+b22=0.
又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,
即c2a2=23,所以e=63.
9.解(1)因為∠F1AB=90°,所以|OA|=|OF2|,即b=
10、c.
所以a=2c,e=ca=22.
(2)由題意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2.設(shè)B(x,y).
由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(x-c,y),
解得x=3c2,y=-b2,即B3c2,-b2.
將點B的坐標代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,
即9c24a2+14=1,解得a2=3c2.①
又由AF1·AB=(-c,-b)·3c2,-3b2=32,
得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②
由①②解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.
所以橢圓的方程為x23+y22=1.
10.(1)解由題意得
11、ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,
解得a=2,b=1.
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)證明由(1)知,A(2,0),B(0,1).
設(shè)P(x0,y0),則x02+4y02=4.
當x0≠0時,直線PA的方程為
y=y0x0-2(x-2).
令x=0,得yM=-2y0x0-2,
從而|BM|=|1-yM|=1+2y0x0-2.
直線PB的方程為y=y0-1x0x+1.
令y=0,得xN=-x0y0-1,
從而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1.
所以|AN|·|BM|=2+x0y0-1·1+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x
12、0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.
當x0=0時,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
所以|AN|·|BM|=4.
綜上,|AN|·|BM|為定值.
11.C 解析如圖,因為兩個圓心恰好是橢圓的焦點,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10.所以|PM|+|PN|的最小值為|PF1|+|PF2|-2=8,最大值為|PF1|+|PF2|+2=12.
12.C 解析因為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),所以c2=a
13、2-b2=m2+n2.
因為c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,所以c2=am,2n2=2m2+c2,
所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,
所以2c4a2+c22=c2,化為c2a2=14,
所以e=ca=12.
13.33,1 解析∵橢圓的焦點為F1,F2,橢圓上存在滿足PF1·PF2=b22的點P,
∴|PF1|·|PF2|cos=b22,
4c2=PF12+PF22-2|PF1|·|PF2|cos,|PF1|+|PF2|=2a,
可得PF12+PF22+2|PF1|·|PF2|=4a2,
∴4c2=4a2-2
14、|PF1|·|PF2|-b2.
∴2|PF1|·|PF2|=3a2-3c2≤2|PF1|+|PF2|22,
當且僅當|PF1|=|PF2|時,等號成立.
可得c2a2≥13,解得e≥33.
又0b>0).
由題意得a=2,ca=32,解得a=2,c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)證明設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).
由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.
直線AM的斜率kAM=nm+2,
故直線DE的斜率kDE=-m+2n.
所以
15、直線DE的方程為y=-m+2n(x-m).
直線BN的方程為y=n2-m(x-2).
聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得點E的縱坐標yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2,所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
15.(1)解由已知得F(1,0),l的方程為x=1,
點A的坐標為1,22或1,-22.
所以AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2.
(2)證明當l與x軸重合時,∠OM
16、A=∠OMB=0°,
當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB.
當l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1<2,x2<2,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得
kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).
將y=k(x-1)代入x22+y2=1,
得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.
則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.
從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補,所以∠OMA=∠OMB.
綜上,∠OMA=∠OMB.
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（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練40 橢圓（含解析）新人教A版
