6、(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點(diǎn)，(4，0)，(0，－2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為.
【答案】＋y2＝
根據(jù)下列條件，求圓的方程．
(1)經(jīng)過P(－2，4)、Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6；
(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)．
【解析】(1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
設(shè)x1，x2是方程③的兩根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①、②、④解
7、得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.
故所求圓的方程為
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)法一：如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1，
∴x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑r＝2，
故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：設(shè)所求方程為(x－x0)2＋
(y－y0)2＝r2，
根據(jù)已知條件得
解得
因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
【點(diǎn)評(píng)】(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和
8、半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值．
考點(diǎn)2 與圓有關(guān)的最值問題、范圍問題
已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【解析】(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圓心C的坐標(biāo)為(2，7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4>2，
9、即點(diǎn)Q在圓C外，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線MQ的斜率，
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k.
由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，
所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值為2＋，最小值為2－.
【點(diǎn)評(píng)】與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略
(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．
(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最
10、值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離平方的最值問題．
考點(diǎn)3 與圓有關(guān)的綜合問題
已知圓C過點(diǎn)P(1，1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱．
(1)求圓C的方程；
(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值；
(3)過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說明理由．
【解析】(1)設(shè)圓心C(a，b)，
則解得
又點(diǎn)P(1，1)在圓C
11、上，故圓C的方程為x2＋y2＝2.
(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
所以·的最小值為－4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)．
(3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，
則PB：y－1＝－k(x－1)，由，
得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，
因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1一定是該方程的解，
故可得xA＝，
同理，xB＝，
所以kAB＝＝
＝＝1＝kOP，
所以直線AB和OP一定平行．
【點(diǎn)評(píng)】(1)兩圓關(guān)于
12、某直線對(duì)稱，其圓心對(duì)稱，半徑相等．
(2)通過坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．
(3)通過“設(shè)而不求”的思想處理．
方法總結(jié) 【p147】
1．在求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意，合理選擇圓的方程形式．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突出了圓心坐標(biāo)和半徑，便于作圖使用；圓的一般方程是二元二次方程的形式，便于代數(shù)運(yùn)算；而圓的參數(shù)方程在求范圍和最值時(shí)應(yīng)用廣泛．同時(shí)，在選擇方程形式時(shí)，應(yīng)熟悉它們的互化．如果問題中給出了圓心與圓上的點(diǎn)兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時(shí)，一般用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般用一般方程．
2．在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒有xy項(xiàng)，只是表示圓的必要條件而不是
13、充分條件．
3．在解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，要充分利用圓的幾何性質(zhì)，這樣會(huì)使問題簡(jiǎn)化．涉及與圓有關(guān)的最值問題或范圍問題時(shí)應(yīng)靈活、恰當(dāng)運(yùn)用參數(shù)方程．
走進(jìn)高考 【p148】
1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．
(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．
【解析】(1)設(shè)A，B，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1，
所以O(shè)A⊥OB.
故
14、坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m＋4＝2m2＋4.
故圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑r＝，
由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0，
故＋＝0，
即x1x2－4＋y1y2＋2＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為，圓M的方程為＋＝10.
當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為＋＝.
2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且
15、斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
【解析】(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
16、
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則
，解得或
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
考點(diǎn)集訓(xùn) 【p259】
A組題
1．圓x2＋y2－2x＋6y＋6＝0的圓心和半徑分別為( )
A．圓心(1，3)，半徑為2B．圓心(1，－3)，半徑為2
C．圓心(－1，3)，半徑為4D．圓心(1，－3)，半徑為4
【解析】將x2＋y2－2x＋6y＋6＝0配方得
(x－1)2＋(y＋3)2＝4，
所以圓心為(1，－3)，半徑為2.
【答案】B
2．已知兩點(diǎn)A(－1，3)，B(3
17、，a)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－1)2＋(y－2)2＝40
C．(x－1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝32
【解析】以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則OA⊥OB，
所以×＝－1，a＝1，
線段AB中點(diǎn)為(1，2)，半徑r＝|AB|＝，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】A
3．設(shè)圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是( )
A．原點(diǎn)在圓上B．原點(diǎn)在圓外
C．原點(diǎn)在圓內(nèi)D．不確定
【解析】將圓的一般方
18、程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因?yàn)?＜a＜1，
所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即＞，所以原點(diǎn)在圓外．
【答案】B
4．已知點(diǎn)P為直線y＝x＋1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4與圓C2：x2＋(y－2)2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為( )
A．4B．5C．6D．7
【解析】求得C2(0，2)關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為C(m，n)，
由解得C(1，1)，
由對(duì)稱性可得|PC|＝|PC2|，
則|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝3，
由于|PM|≤|PC1|＋2，
19、|PN|≥|PC2|－1，
∴|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋3≤6，
故|PM|－|PN|的最大值為6.
【答案】C
5．已知圓O：x2＋y2＝1.圓O′與圓O關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱，則圓O′的方程是________________．
【解析】設(shè)圓O′的圓心(a，b)，因?yàn)閳AO′的圓心與圓O：x2＋y2＝1的圓心關(guān)于直線l：x＋y－2＝0對(duì)稱，
所以解得a＝2，b＝2；
又圓的半徑為1，則所求圓的方程為：(x－2)2＋(y－2)2＝1.
【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝1
6．已知點(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則x＋y的最大值為_______
20、___．
【解析】令x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ∈R)，
則x＋y＝2cosθ＋2sinθ＝2sin∈[－2，2]．
【答案】2
7．已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若點(diǎn)M(6，9)在圓上，求a的值；
(2)已知點(diǎn)P(3，3)和點(diǎn)Q(5，3)，線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又由a>0，可得a＝.
(2)由兩點(diǎn)間距離公式可得
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
因?yàn)榫€段PQ(不含端點(diǎn))與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即P、Q兩點(diǎn)一
21、個(gè)在圓內(nèi)、另一個(gè)在圓外，由于3<，所以3
22、2)設(shè)切線方程為y＝x和x＋y＝2＋a，
則＝2和＝2，
解得a＝±或a＝1±2，
∴切線方程為y＝±x和x＋y＝3±2.
B組題
1．已知點(diǎn)P(3，2)，若點(diǎn)A在圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，則|＋|的最小值為________．
【解析】法一：設(shè)A(x1，y1)，B(0，y2)，則＋＝(x1－6，y1＋y2－4)．
若設(shè)r＝|＋|，則由題意可得(x1－6)2＋(y1＋y2－4)2＝r2.即點(diǎn)A在以D(6，4－y2)為圓心，以r為半徑的圓D：(x－6)2＋(y＋y2－4)2＝r2上．
由圓C與圓D有公共點(diǎn)A可得r＋2≥|CD|＝≥5，從而r≥3.
23、
法二：設(shè)A(x1，y1)，B(0，y2)，則＋＝(x1－6，y1＋y2－4)．
從而，|＋|＝≥＝6－x1≥3.
法三：由點(diǎn)A在圓C上可設(shè)A(1＋2cosθ，－2＋2sinθ)，B(0，t)，
則＋＝(2cosθ－5，t＋2sinθ－6)．
故|＋|＝≥＝5－2cosθ≥3.
法四：設(shè)Q為AB的中點(diǎn)，則＋＝2，過P，Q，A作y軸的垂線，垂足分別為P′，Q′，A′.
由于|PP′|≤|PQ|＋|QQ′|＝|PQ|＋|AA′|≤|PQ|＋，
因此|PQ|≥|PP′|－＝，即|＋|＝2||≥3.
法五：設(shè)B′為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，
則|＋|＝|－|＝||.
由于點(diǎn)B
24、′在直線x＝6上，點(diǎn)A在圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上可得||≥5－2＝3.
法六：同法五，設(shè)A′為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，則|＋|＝|－′|＝||.
由于點(diǎn)A′在圓C′：(x－5)2＋(y－6)2＝4上，點(diǎn)B在y軸上可得||≥5－2＝3.
【答案】3
2．已知點(diǎn)P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為________________．
【解析】因?yàn)閳AC：x2＋(y－1)2＝1的圓心為C(0，1)，半徑是r＝1，所以四邊形PACB的面積為S＝2S△PAC＝|P
25、A|×1＝，當(dāng)|PC|最小，即圓心C(0，1)到直線kx＋y＋4＝0的距離d＝最小時(shí)，四邊形PACB的面積最小，由題設(shè)可得－1＝4，由k>0，解之得k＝2.
【答案】2
3．已知定點(diǎn)A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：·＝k||2.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求|2＋|的最大值、最小值．
【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，
則＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)．
因?yàn)椤ぃ絢||2，
所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，
整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0
26、.
若k＝1，則方程為x＝1，表示過點(diǎn)(1，0)且平行于y軸的直線．
若k≠1，則方程為＋y2＝，
表示以為圓心，以為半徑的圓．
(2)最大值為3＋，最小值為－3.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b的值無關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0，b)．
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，
由題意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y
27、2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個(gè)根為b，
代入得出E＝－b－1.
所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圓C必過定點(diǎn)，證明如下：
假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，
并變形為x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
為使(*)式對(duì)所有滿足b<1(b≠0)的b都成立，
必須有1－y0＝0，結(jié)合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，
解得或
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(0，1)，(－2，1)均在圓C上，因此圓C過這兩定點(diǎn).
備課札記
15
（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第64講 圓的方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版
