《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理（15頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、培優(yōu)點(diǎn)五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、求切線方程 例1：曲線在點(diǎn)處的切線方程為． 【答案】 【解析】∵， ∴結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線可知在點(diǎn)處的切線方程的斜率為， ∴切線方程為． 二、求單調(diào)區(qū)間和極值 例2：已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）， ①當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，令，解得或；令，解得， 此時在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； ③當(dāng)時，令，解得或；令，解得， 此時在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 綜上可得，當(dāng)時，在單調(diào)遞增． 當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在

2、單調(diào)遞減． 當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）由（1）中結(jié)論可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 此時， ∵，， ∴當(dāng)時，，， 令，則，∴在單調(diào)遞減． 又∵，，∴，即． 當(dāng)時，，∴， 綜上，當(dāng)時，的取值范圍是． 三、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn) 例3：已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．證明： （1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)； （2）有且僅有個零點(diǎn)． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析． 【解析】（1）對進(jìn)行求導(dǎo)可得，，， 取，則， 在內(nèi)，為單調(diào)遞減函數(shù)，且，， 所以在內(nèi)存在一個，使得， 所以在內(nèi)，，為增函數(shù)；在內(nèi)，，為減函數(shù)， 所以在在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)

3、． （2）由（1）可知，當(dāng)時，單調(diào)增，且，可得， 則在此區(qū)間單調(diào)減； 當(dāng)時，單調(diào)增，且，，則在此區(qū)間單調(diào)增； 又，則在上有唯一零點(diǎn)． 當(dāng)時，單調(diào)減，且，則存在唯一的，使得， 在時，，單調(diào)增；在時，單調(diào)減， 且，所以在上無零點(diǎn)； 當(dāng)時，單調(diào)減，單調(diào)減，則在上單調(diào)減，，所以在上存在一個零點(diǎn)． 當(dāng)時，恒成立， 則在上無零點(diǎn)， 綜上可得，有且僅有個零點(diǎn)． 對點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程 為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得， 所以，， 所以，， 所以曲線在點(diǎn)處的切

4、線方程為， 化簡可得，故選D． 2．函數(shù)的圖像大致為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，∴為奇函數(shù)，舍去A， ，∴舍去D； ，∴，， 所以舍去C；因此選B． 3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線斜率為， 故曲線在點(diǎn)處的切線方程為． 4．若函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)， 下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】對于A，令，， 則在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)，故選A． 5．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

5、則（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】令，則，，得． ，可得．故選D． 6．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點(diǎn)和，不滿足題意，舍去； 當(dāng)時，，令，得或， 時，；時，；時，，且， 此時在必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍去； 當(dāng)時，時，；時，； 時，，且， 要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則， 故選C． 7．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足， 設(shè)，則， 當(dāng)時，， 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，

6、，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，為． 設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，為， 若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)； 若，當(dāng)時，函數(shù)和有一個交點(diǎn)， 即，解得．故選C． 8．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題可得， 因?yàn)?，所以，，故? 令，解得或， 所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以的極小值為，故選A． 二、填空題 9．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________． 【答案】 【解析】，則，所以． 10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線上，且該曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn) （為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是． 【

7、答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)，則． 又，當(dāng)時，， 點(diǎn)A在曲線上的切線為，即， 代入點(diǎn)，得，即， 考查函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，， 且，當(dāng)時，單調(diào)遞增， 注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時， 故點(diǎn)的坐標(biāo)為． 11．若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在上的最大值 與最小值的和為_______． 【答案】 【解析】由，得， 因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)且，所以， 因此，， 從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，． 12．已知函數(shù)，則的最小值是_________． 【答案】 【解析】， 所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)增， 從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，

8、 所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，此時， 所以，故答案是． 三、解答題 13．已知函數(shù)． （1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn)； （2）設(shè)是的一個零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線． 【答案】（1）見解析；（2）證明見解析． 【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 又，所以在區(qū)間存在一個零點(diǎn)， 且， 所以在區(qū)間上也存在一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有且只有2個零點(diǎn)． （2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個零點(diǎn)，所以有． 曲線在處的切線方程為， 曲線曲線當(dāng)切線斜率為時，切點(diǎn)坐標(biāo)為， 切線方程為， 化簡為， 所以曲線在處的切線也是曲線的切線． 1

9、4．已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值； 若不存在，說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）存在，或滿足題意． 【解析】（1）， ①當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，令，解得或；令，解得， 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； ③當(dāng)時，令，解得或；令，解得， 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 綜上可得，當(dāng)時，在單調(diào)遞增． 當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）由（1）中結(jié)論可知， 當(dāng)時，在單調(diào)遞增， 此時，∴，滿足題意． 當(dāng)時，若，即，則在單調(diào)遞減， 此時，∴，滿

10、足題意． 若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 此時①， ∵，∴當(dāng)時，②， 由①②可得，與矛盾，故不成立． 當(dāng)時，③， 由①③可得，與矛盾，故不成立． 綜上可知，或滿足題意． 15．已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)． （1）證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)； （2）若時，，求的取值范圍． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）由題意得， 令，∴， 當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，單調(diào)遞減， ∴的最大值為， 又，，∴，即， ∴在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)． （2）由題設(shè)知，，可得． 由（1）知，在只有一個零點(diǎn)， 設(shè)為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，， 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 又，，所以當(dāng)時，． 又當(dāng)，時，，故． 因此，的取值范圍是． 15