2、垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則k等于( )
A.±32 B.±23
C.±12 D.±2
答案 A 將直線與橢圓方程聯(lián)立得y=kx,x24+y23=1,
化簡(jiǎn)整理得(3+4k2)x2=12,(*)
因?yàn)榉謩e過(guò)A,B向x軸作垂線,垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),
故方程的兩個(gè)根為±1,
代入方程(*),得k=±32.故選A.
3.過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線( )
A.有且只有一條 B.有且只有兩條
C.有且只有三條 D.有且只有四條
答案 B ∵2p=2,|AB|=x1+x2+p,∴|AB|=3>2p,故這樣的直
3、線有且只有兩條.
4.已知直線y=22(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(-1,m),若MA·MB=0,則m等于( )
A.2 B.22 C.12 D.0
答案 B 由題意可得y2=4x,y=22(x-1),
8x2-20x+8=0,
即2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=12,
則A(2,22),B12,-2.
由MA·MB=0,M(-1,m),
可得(3,22-m)·32,-2-m=0.
化簡(jiǎn)2m2-22m+1=0,
解得m=22.故選B.
5.拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若P(1,1)為線段A
4、B的中點(diǎn),則拋物線C的方程為( )
A.y=2x2 B.y2=2x
C.x2=2y D.y2=-2x
答案 B 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
拋物線方程為y2=2px(p>0),
則y12=2px1,y22=2px2,
兩式相減可得2p=y1-y2x1-x2×(y1+y2)=kAB×2=2,
可得p=1,
∴拋物線C的方程為y2=2x.
6.經(jīng)過(guò)橢圓x22+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OA·OB等于 .?
答案 -13
解析 依題意,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí),其方程為y=x-1,代入橢圓方
5、程x22+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,-1),43,13,所以O(shè)A·OB=-13,同理,直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)時(shí),也可得OA·OB=-13.
7.若橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則這個(gè)橢圓的方程為 .?
答案 y212+x28=1
解析 因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),
所以a2-b2=4,
所以可設(shè)橢圓方程為y2b2+4+x2b2=1,
聯(lián)立得y=3x+7,y2b2+4+x2b2=1,
得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4
6、+13b2+196=0,
設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及題意得y1+y2=14(b2+4)10b2+4=2,解得b2=8.
所以a2=12.
所以橢圓的方程為y212+x28=1.
8.如圖,過(guò)拋物線y=14x2的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線和圓x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四點(diǎn),則AB·DC= .?
答案 -1
解析 不妨設(shè)直線AB的方程為y=1,聯(lián)立得y=1,y=14x2,
解得x=±2,則A(-2,1),D(2,1),
因?yàn)锽(-1,1),C(1,1),
所以AB=(1,0),
7、DC=(-1,0),
所以AB·DC=-1.
9.(2018貴州貴陽(yáng)質(zhì)檢)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)1,32,離心率為12,左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△F2AB的面積為1227時(shí),求直線的方程.
解析 (1)因?yàn)闄E圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)1,32,
所以1a2+94b2=1.①
又因?yàn)殡x心率為12,所以ca=12,所以b2a2=34.②
聯(lián)立①②解得a2=4,b2=3.
所以橢圓C的方程為x24+y23=1.
(2)當(dāng)直線的傾斜角為π2時(shí),A,B點(diǎn)的坐標(biāo)為-1
8、,32,-1,-32,則S△ABF2=12|AB|·|F1F2|=12×3×2=3≠1227.
當(dāng)直線的傾斜角不為π2時(shí),
設(shè)直線方程為y=k(x+1),
代入x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,
所以S△ABF2=12|y1-y2|·|F1F2|
=|k|(x1+x2)2-4x1x2
=|k|-8k24k2+32-4·4k2-124k2+3
=12|k|k2+14k2+3=1227,
所以17k4+k2-18=0,
解得k2=1k
9、2=-1817舍去,
所以k=±1,
所以所求直線的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.
B組 提升題組
1.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB,CD,則1|AB|+1|CD|等于( )
A.2 B.4 C.12 D.14
答案 D 由拋物線y2=4x,可知2p=4,
設(shè)弦AB所在直線l1的傾斜角為θ(θ為銳角),弦CD所在直線l2的傾斜角為π2+θ,
AB,CD為過(guò)焦點(diǎn)的弦,|AB|=2psin2θ,
|CD|=2psin2π2+θ=2pcos2θ,
所以1|AB|+1|CD|=sin2θ2p+cos2θ2p=12p=14.故選D.
2.已知拋物線y2=
10、2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A12,2,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B,直線AB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M,若MB=λAB,則實(shí)數(shù)λ=( )
A.13 B.12 C.2 D.3
答案 C 把12,2代入拋物線的方程,得2=2p×12,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,則B(-1,0),設(shè)MyM24,yM,則AB=-32,-2,MB=-1-yM24,-yM.由MB=λAB,得-1-yM24=-32λ,-yM=-2λ,解得λ=2或λ=1(舍去),故選C.
3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線y22-x2=1的焦點(diǎn)重合,過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸
11、的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求OA·OB的取值范圍.
解析 (1)由題意知e=ca=12,
所以e2=c2a2=a2-b2a2=14,
所以a2=43b2.
因?yàn)殡p曲線y22-x2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3),
所以b=3,所以a2=4,
所以橢圓C的方程為x24+y23=1.
(2)當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí),不妨令A(yù)(-2,0),B(2,0),則OA·OB=-4,
當(dāng)直線l的傾斜角不為0°時(shí),設(shè)其方程為x=my+4,
由x=my+4,3x2+4y2=12?(3m2+4)y2+24my+36=0,
由Δ>0?(24m)2-4×(3m
12、2+4)×36>0?m2>4,
設(shè)A(my1+4,y1),B(my2+4,y2).
因?yàn)閥1+y2=-24m3m2+4,y1y2=363m2+4,
所以O(shè)A·OB=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=1163m2+4-4,
因?yàn)閙2>4,所以O(shè)A·OB∈-4,134.
綜上所述,OA·OB的取值范圍為-4,134.
4.已知拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;
(2)證明:∠ABM=∠ABN.
解析 (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),l的
13、方程為x=2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).
所以直線BM的方程為y=12x+1或y=-12x-1.
(2)證明:當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為線段MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.
由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.
直線BM,BN的斜率之和為
kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).①
將x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2=2k,y1y2=-4代入①式,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.
綜上,∠ABM=∠ABN.
8
（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 第八節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文 新人教A版
