4、. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由已知得：S△ABC＝absinC＝×c×，
∴sinC＝，
又由余弦定理得：cosC＝＝＝－＝－sinC，即sinC＋cosC＝，∴sin＝，
∴sin＝1，C＋＝，C＝.
8．(文)(2015·鄭州市質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，則△ABC的面積是( )
A. B.
C. D.或
[答案] D
[解析] 由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，則∠A＝，則B＝，b＝＝，∴
5、S△ABC＝bc＝××＝；若∠A≠，則sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝absinC＝×1×3×＝，選D.
(理)(2015·衡水中學(xué)三調(diào))已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，當(dāng)內(nèi)角C最大時(shí)，△ABC的面積等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 根據(jù)正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)
6、sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.
二、填空題
9．已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為_(kāi)_______．
[答案] 15
[解析] 設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a－4，a，a＋4，最大角為θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，則a＝10，所以三邊長(zhǎng)為6,10,14.△ABC的面積為S＝×6×10×sin120°＝15.
[方法點(diǎn)撥] 有關(guān)數(shù)列與三角函數(shù)知識(shí)交匯的題目，利用正余弦定理將數(shù)列關(guān)系式或數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，用三角函數(shù)知識(shí)解決．
10．(文)(2014·福建理，1
7、2)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________．
[答案] 2
[解析] 本題考查正弦定理及三角形的面積公式，由正弦定理得，＝，
∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，
S＝×2×2＝2.
(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，則cosA的值為_(kāi)_______．
[答案]?。?
[解析] ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，
又∵b－c＝a，
∴b＝a，c＝a，
∴cosA＝＝＝－.
11．(2015·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，
8、BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D為垂足，則·的值為_(kāi)_______．
[答案]
[解析] 利用余弦定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用面積公式求出BD，最后利用數(shù)量積的定義求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×＝7，所以AC＝，由△ABC的面積公式可得×2×3×＝×BD，解得BD＝.所以·＝·(＋)＝||2＝.
[方法點(diǎn)撥] 解答三角函數(shù)與平面向量交匯的題目，先運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)(平行、垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)表示等)脫去向量外衣再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決．或先利用三角函數(shù)或解三角形的有關(guān)知識(shí)求出需要的量(邊的長(zhǎng)度、角的大小)再進(jìn)行向量運(yùn)算．
三、解答題
12．(文)
9、(2015·新課標(biāo)Ⅰ文，17)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)設(shè)B＝90°，且a＝，求△ABC的面積．
[分析] (1)本小題可先利用正弦定理，根據(jù)題設(shè)得出三角形的三條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，再利用余弦定理求出cos B；
(2)本小題中已知角B為直角，利用勾股定理列出方程，再結(jié)合(Ⅰ)中a、c的關(guān)系式求出邊長(zhǎng)c，即可求出△ABC的面積．
[解析] (1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得
cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.因
10、為B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面積為S△ABC＝ac＝1.
(理)(2015·山西太原市一模)已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊，且c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面積等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．
[解析] (1)∵c＝2，C＝，由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，
∵△ABC的面積等于，∴absinC＝，∴ab＝4，
聯(lián)立解得a＝2，b＝2；
(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin
11、(B－A)＝4sinAcosA，
∴sinBcosA＝2sinAcosA，
①當(dāng)cosA＝0時(shí)，則A＝，
②當(dāng)cosA≠0時(shí)，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，
聯(lián)立解得a＝，b＝，
∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝，
綜上所述，A＝或A＝.
13．(文)(2015·天津文，16)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos的值．
[分析] 考查1.正弦定理、余弦定理及面積公式；2三角變換．
(1)由面積公式可得bc的值，結(jié)合b－c＝2，可解得b，c.再
12、由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值；
(2)直接展開(kāi)求值．
[解析] (1)在△ABC中，由cos A＝－，
得sin A＝，
由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，
又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos＝cos 2Acos －sin 2Asin
＝(2cos2A－1)－×2sin Acos A
＝.
(理)(2014·安徽理，16)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)
13、的值．
[解析] (1)因?yàn)锳＝2B，
所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
因?yàn)閎＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0
14、∴a＋c＝2b，
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．
∴cosB的最小值為.
(理)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.
(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；
(2)若C＝，求的值．
[解析] (1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＋
15、sinC＝2sinB.
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以＝.
15．(文)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．
[分析] 條件式a2tanB＝b2tanA是邊a、b與角A、B的關(guān)系，可用正弦定理化邊為角，將“切化弦”，然后，通過(guò)三角變形探究A與B之間的關(guān)系判斷形狀；也可以應(yīng)用正弦定理和余弦定理化角為邊，再通過(guò)代數(shù)變形探尋邊之間的關(guān)系后判斷形狀．
[解析] 解法1：由正弦定理得
a＝2RsinA，b＝2RsinB.
∴(2Rs
16、inA)2＝(2RsinB)2，
∴sinAcosA＝sinBcosB.
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC為等腰或直角三角形.
解法2：∵a2tanB＝b2tanA，
∴＝＝.
由正弦定理得＝.
由余弦定理得cosB＝，
cosA＝.
∴＝·＝，
整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a＝b或a2＋b2＝c2，
∴△ABC為等腰或直角三角形．
(理)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，
17、] (1)由＝得，
＝，∴＝.
由正弦定理得sinB＝sin2C.
所以B＝2C或B＋2C＝π.
若B＝2C，由π，與三角形內(nèi)角和為π矛盾，
故B＝2C舍去．
∴B＋2C＝π.
∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.
故△ABC為等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，
∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝＝，
∴·＝accosB＝2－a2，
∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，
由
正余弦定理 練習(xí)題
