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1、專題突破練15 專題四 數(shù)列過關(guān)檢測
一、選擇題
1.(2019四川峨眉山高三高考適應(yīng)性考試)在等差數(shù)列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的兩根,則數(shù)列{an}的前11項和等于( )
A.66 B.132 C.-66 D.-132
2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S2=-1,S4=-5,則S6=( )
A.-9 B.-21 C.-25 D.-63
3.(2019遼寧朝陽重點高中高三第四次模擬)在等比數(shù)列{an}中,a1a2=1,a3a6=9,則a2a4=( )
A.3 B.±3 C.3 D.±3
4.數(shù)列{an}的首項a1=1,對于任意m,n∈N*
2、,有an+m=an+3m,則{an}前5項和S5=( )
A.121 B.25 C.31 D.35
5.(2019山東濰坊高三5月三模)已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不為零,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則a1+a3a2+a4=( )
A.13 B.23 C.53 D.2
6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(2019山東省實驗中學(xué)等四校高三聯(lián)合考試)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,Sn為其前n項和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1構(gòu)成等比數(shù)列,則S5=( )
A
3、.15 B.-15 C.30 D.25
8.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15,且a1>0,Sn為其前n項和,則數(shù)列{Sn}的最大項為( )
A.S23 B.S24 C.S25 D.S26
9.(2019北京通州區(qū)三模)三國時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽對推導(dǎo)特殊數(shù)列的求和公式很感興趣,創(chuàng)造并發(fā)展了許多算法,展現(xiàn)了其聰明才智.他在《九章算術(shù)》“盈不足”一章的第19題的注文中給出了一個特殊數(shù)列的求和公式.這個題的大意是:一匹良馬和一匹駑馬由長安出發(fā)至齊地,長安與齊地相距3 000里(1里=500米),良馬第一天走193里,以后每天比前一天多走13里.駑馬第一天走97里,以后每天比前一天少走半里
4、.良馬先到齊地后,馬上返回長安迎駑馬,問兩匹馬在第幾天相遇( )
A.14天 B.15天 C.16天 D.17天
二、填空題
10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an-2n,則Sn= .?
11.(2019北京通州區(qū)三模)設(shè){an}是等比數(shù)列,且a2a4=a5,a4=27,則{an}的通項公式為 .?
12.(2019廣東深圳高級中學(xué)高三適應(yīng)性考試)在數(shù)列{an}中,a1=12019,an+1=an+1n(n+1)(n∈N*),則a2 019的值為 .?
三、解答題
13.已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,
5、a3=9.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<1.
14.(2019北京豐臺高三上學(xué)期期末練習(xí))已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a2=b3=4,a6=b5=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
15.(2019江西上饒重點中學(xué)六校高三第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足對任意的正整數(shù)n,k都有an+k+an-k=2an(n>k),且該數(shù)列前三項依次為12x+1,10x,12x,又已知數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且b
6、1=1,bn+1=Sn(n≥1),
(1)求{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
參考答案
專題突破練15 專題四
數(shù)列過關(guān)檢測
1.D 解析因為a3,a9是方程x2+24x+12=0的兩根,所以a3+a9=-24.
又a3+a9=-24=2a6,
所以a6=-12.
S11=11×(a1+a11)2=11×2a62=-132.故選D.
2.B 解析由題意,S2=a1+a2=-1,S4-S2=a3+a4=(a1+a2)q2=-4,q2=4,S6=S2+S4q2=-1+(-5)×4=-21.
3.A 解析設(shè)等
7、比數(shù)列{an}的公比為q,因為a1a2=1>0,所以q>0.又a3a6=9,所以a2a4=a1a3a2a6=9=3.故選A.
4.D 解析當(dāng)m=1時,由an+m=an+3m,得an+1-an=3,
∴數(shù)列{an}是首項a1=1,公差d=3的等差數(shù)列,
∴S5=5×1+12×5×4×3=35.
5.B 解析設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,則a2=a1+d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,
因為a2,a4,a8成等比數(shù)列,故(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),
整理得到d2=a1d.因為d≠0,所以d=a1,故an=na1.故a1+a3a2+a4=4a16a1=23.故
8、選B.
6.C 解析∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.
∴d=am+1-am=3-2=1.
∵Sm=ma1+m(m-1)2×1=0,
∴a1=-m-12.
又am+1=a1+m×1=3,
∴-m-12+m=3.
∴m=5.故選C.
7.D 解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).由題意得,
3a1+3d=9,(a1+2d-1)2=(a1+d-1)(a1+4d-1),
解得a1=1,d=2.
∴S5=5×1+5×4×22=25.故選D.
8.C 解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d
9、,
∵3a8=5a15,
∴3(a1+7d)=5(a1+14d),
即2a1+49d=0.
∵a1>0,∴d<0,
∴等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減.
∵Sn=na1+n(n-1)2d=n-49d2+n(n-1)2d=d2(n-25)2-6252d.
∴當(dāng)n=25時,數(shù)列{Sn}取得最大值,故選C.
9.C 解析記良馬每天所走路程構(gòu)成的數(shù)列為{an},駑馬每天所走路程構(gòu)成的數(shù)列為{bn},
由題意可得:an=193+13(n-1)=180+13n,bn=97-12(n-1)=-12n+1952,
設(shè)經(jīng)過n天兩匹馬相遇,
則有n(a1+an)2+n(b1+bn)2≥6000,
10、即n(193+180+13n)2+n(97+1952-n2)2≥6000,
整理得5n2+227n≥4800,當(dāng)n≥16時滿足題意,
因此兩匹馬在第16天相遇.故選C.
10.n·2n 解析∵Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,
整理得Sn-2Sn-1=2n,等式兩邊同時除以2n,則Sn2n-Sn-12n-1=1.
又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,∴數(shù)列Sn2n是首項為1,
公差為1的等差數(shù)列,所以Sn2n=n,所以Sn=n·2n.
11.an=3n-1,n∈N* 解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
因為a2a4=a5,a4=27,
所以a4=a2q
11、2=a5a4·q2=q3=27,解得q=3,
所以a1=a4q3=2727=1,
因此,an=3n-1,n∈N*.
故答案為an=3n-1,n∈N*.
12.1 解析因為an+1=an+1n(n+1)(n∈N*),
所以an+1-an=1n(n+1)=1n-1n+1,
a2-a1=1-12,
a3-a2=12-13,
……
a2019-a2018=12018-12019,
累加,可得
a2019-a1=1-12019,
a2019-12019=1-12019,
所以a2019=1.
13.(1)解設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d.由a1=3,a3=9,得
12、log22+2d=log28,即d=1.
∴l(xiāng)og2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
(2)證明∵1an+1-an=12n+1-2n=12n,
∴1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an
=121+122+123+…+12n
=12-12n×121-12=1-12n<1.
14.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.
由題意得a2=a1+d=4,a6=a1+5d=16,
解得a1=1,d=3,
故等差數(shù)列{an}的通項公式an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由題意得b3=b1q2=4,b5=
13、b1q4=16,
解得b1=1,q2=4,
∴b2n-1=b1q2n-2=b1(q2)n-1=4n-1,
∴b1+b3+b5+…+b2n-1=1-4n1-4=4n-13.
15.解(1)由題意知,數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
故12x+1+12x=20x,解得x=2.
∴a1=4,d=1,an=n+3.
由bn+1=Sn(n≥1)
可知bn=Sn-1(n≥2),
兩式相減得bn+1=2bn(n≥2).
當(dāng)n=1時,b1=1.
當(dāng)n≥2時,b2=S1=b1=1,bn=b2qn-2=2n-2,
當(dāng)n=1時,b1=1不滿足bn=2n-2.
∴bn=1,n=1,2n-2,n≥2.
(2)由題意知,當(dāng)n=1時,c1=a1b1=4×1=4,
當(dāng)n≥2時,cn=(n+3)·2n-2,
得Tn=4+5+6×21+…+(n+3)·2n-2,
2Tn=8+5×21+…+(n+2)·2n-2+(n+3)·2n-1,
兩式相減得:-Tn=(1+21+22+…+2n-2)-(n+3)·2n-1=1×(1-2n-1)1-2-(n+3)·2n-1
=(-n-2)·2n-1-1,
∴n≥2時,Tn=(n+2)·2n-1+1.
當(dāng)n=1時,T1=c1=4,符合上式.
故數(shù)列{cn}的前n項和Tn=(n+2)·2n-1+1.
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（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練15 專題四 數(shù)列過關(guān)檢測 理
