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1、 高三數(shù)學 立體幾何重點專題復習教案 空間的角 教學目標(考綱要求): ⒈掌握異面直線所成角的概念和異面直線所成角的求法; 2.掌握直線與平面所成角的概念,以及直線與平面所成角的求法; 3.理角二面角及平面角的概念掌握求二面角大小的方法. 4.培養(yǎng)學生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的化歸能力. 教學過程: 一、 提問檢查基礎知識 1.兩條異面直線所成角的定義？范圍是多少？ 2.直線與平面所成角的定義？直線與平面所成角的范圍是什么？怎樣求直線與平面所成的角？ 3.二面角的定義？怎樣定義二面角的平面角？二面角的平面角的范圍？怎樣確定二面角的平面角？ 二.基本技能訓練講評: 1

2、、在棱長為1的正方體ABCD----A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為（ ） （A） （B）（C） （D） 講評：復習異面直線所成的角，取AB的四等分點G，連NG，CG，則∠CNG(或它的補角)為所求.選D. 2.在一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角的大小關系是( ) (A)相等 (B)互補 (C) 相等或互補 (D)不能確定 講評:復習二面角的有關概念,選D 3、從一點出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩成600角，則OA與平面OBC所成的角為________ 講

3、解:復習線面角的概念.強調(diào)結(jié)論如果一條射線與一個角的兩邊所成的角相等,則它在這個角所在平面上的射影是這個角的平分線.利用公式容易求得答案為 三.基本方法課堂演練： 4．如圖，在正方體中，求面對角線與對角面所成的角 解一：連結(jié)與交于，連結(jié)， ∵，，∴平面， ∴是與對角面所成的角，在中，， ∴． 解法二：由法一得是與對角面所成的角， 又∵，， ∴，∴． 說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角另外，在條件允許的情況下，用公式求線面角顯得更加方便 5．如圖，平面，，若，求二面角的正弦值

4、 分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：過作于，過作交于，連結(jié)， 則垂直于平面，為二面角的平面角， ∴， 又平面， ∴，， ∴平面， ∴，， 又∵，， ∴平面，∴， 設，則， 在中， ，∴， 同理，中，， ∴， 所以，二面角的正弦值為． 四、綜合能力提升 6、（2005年全國卷Ⅰ）已知四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=900,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。 1.證明：面PAD⊥面PCD； 2、求AC與PB所成的角； 3、求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

5、 分析：本小題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角的有關知識與思維能力及空間想象能力。 (1)證明：∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂線定理得：CD⊥PD，因而，CD與面PAD內(nèi) 內(nèi)條相交直線AD、PD都垂直，∴CD⊥面PAD，又CD平面PCD， ∴面PAD⊥面PCD。 （2）解：過點B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形，由PA⊥面ABCD得：∠PEB=900,在Rt△PEB中，BE=，PB=，∴ ∴AC與PB所成的角為 (3)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN，

6、在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC. ∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角。 ∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中,∴ ∵AB=2, ∴ 故所求的二面角為 說明:本題也可通過建立坐標系采用向量方法求解. 7. 如圖所示,正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線,分別交AB\AC于B1,C1, 將△AB1C1折起到△A1B1C1的位置.使點A1在平面BB1C1C上的射影恰是線段BC的中點M,求(1)二面角A1—B1C1—M的大小。（2）異面直線A1B1與CC1

7、所成角的大小（用反三角函數(shù)表示）。 五.課堂小結(jié): （1）本節(jié)我們復習了用幾何方法求異面直線所成的角、直線與平面成角、二面角的平面角等幾個概念，同學們要注意這幾個角的定義、范圍等。 （2）在用幾何方法求空間角時，要注意空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解這一轉(zhuǎn)化思想。 (3)常用的解題步驟是： 一作、二證、三計算 學生作業(yè) 1.一條直線和平面所成角為θ，那么θ的取值范圍是（ ） （A）（0o,90o） （B）[0o,90o] （C）[0o,180o] （D）[0o,180o] 答案：選B 2.從平面外一點P引與平面相交的直線，使P點與交點的距離等于1，則滿足條件的直

8、線條數(shù)不可能是（ ） （A）0或1 （B）0或無數(shù)條 （C）1或2 （D）0或1或無數(shù)條 答案：選D 3、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、C1D1的中點，則A1B1與截面A1ECF所成角的正弦值為（ ） （A）（B）（C）（D） 講評:復習直線與平面所成角的求法.容易證得平面A1B1C⊥A1ECF,即∠B1A1C為所求. 在△A1B1C中,容易求解.選B 4．空間四邊形中，分別為的中點，若，，則與所成的角為 （ ）

9、 (A) (B) (C) (D) 5．平面內(nèi)有∠BOC=600，OA是的斜線，OA與∠BOC 兩邊所成的角都是450，且OA=1，則直線OA與平面所成的角的正弦值是 （ ） A． B． C． D． 答案：選C 6．在600的二面角的棱上有兩點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，則CD= 。 答案：7cm 7．正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（銳角）為

10、 。 答案: 8.已知菱形的一個內(nèi)角是600，邊長為a，沿菱形較短的對角線折成大小為600的二面角，則菱形中含600角的兩個頂點間的距離為 。 答案: 9．設在平面內(nèi)的射影是直角三角形的斜邊的中點，， 求（1）與平面所成角的大小； (2)二面角的大小； (3)異面直線和的大小 解：（1）∵面 ∴ ∴為與面所成角 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即與平面所成角的大小為 （2）取中點，連接 ∴ ∵ ∴ 又∵面 ∴ ∴為二面角的平面角 又∵ ∵ ∴ ∴ 即二面角的大小為 （3）取的中點，連接，則 ∴與所成的銳角或直角即為異面直線和所成角 易求得 即異面直線和所成角為 10．如圖，設△ABC和△DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=1200。 A B D C （1）A、D的連線和平面BCD所成的角； （2）A、D的連線和直線BC所成的角； （3） 二面角A—BD—C的正切值； 10答案.(1)(2) (3)-2 用心 愛心 專心 121號編輯 7