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1、單因素方差分析 兩因素方差分析 無交互作用的兩因素方差分析 有交互作用的兩因素方差分析 方差分析 2 在實(shí)際問題中,經(jīng)常需要分析哪幾種因素對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響,這些起顯著作用的因素在何種狀態(tài)下對試驗(yàn)有最好的效果.為解決這些問題,需要做好兩方面的工作：(1)試驗(yàn)設(shè)計(jì):要求試驗(yàn)方案能很好地反映觀測因素的影響作用,且試驗(yàn)次數(shù)盡可能少,以節(jié)約人力、物力和時(shí)間；(2)方差分析:通過觀測數(shù)據(jù)對因素的影響大小作出合理推斷.3 一、單因素方差分析有關(guān)概念 7.3 單因素方差分析1,rArAA因素 的個(gè)不同水平用表示.方差分析的目的是在眾多因素中找出有顯著影響的因素,為此需要做試驗(yàn),試驗(yàn)中可以變化的、影響試驗(yàn)指

2、標(biāo)的因素稱為因素(或稱因子),用大寫字母A、B、C、表示,因素在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平.4 例1 某燈泡廠用四種不同的燈絲生產(chǎn)四種燈泡.從每種燈泡中隨機(jī)抽取若干個(gè)燈泡測其壽命(單位:小時(shí)),得數(shù)據(jù)如表.試問這四種燈絲生產(chǎn)的燈泡的使用壽命是否有顯著差異？燈泡使用壽命數(shù)據(jù)1 2 3 4 5 6 7 8 平均值 甲 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780 1674 乙 1500 1640 1400 1700 1750 1598 丙 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 1649 丁 1510 1640 1530 1570

3、1520 1680 1575 5 這里試驗(yàn)指標(biāo)為燈泡的使用壽命,因素為燈絲,第一:即使采用同一種燈絲生產(chǎn)的燈泡,其使用壽命也有差異,說明使用壽命是隨機(jī)變量;第二:不同燈絲生產(chǎn)的燈泡,其使用壽命的均值有一定差異.從表中可以看出：有四個(gè)水平:6 另外,此處研究的是燈絲對燈泡使用壽命的影響問題,因此上述數(shù)據(jù)不能認(rèn)為出自同一個(gè)總體,而應(yīng)視為分別從四個(gè)總體X1,X4抽取的容量分別為,的樣本觀測值.本例中僅考慮燈絲這一因素對燈泡壽命的影響,可以認(rèn)為同一種燈絲生產(chǎn)的燈泡就是一個(gè)總體.在方差分析中總是假定各總體相互獨(dú)立,且服從同方差的正態(tài)分布,即第 i 種燈絲生產(chǎn)的燈泡壽命Xi是一隨機(jī)變量2(,),1,2,3

4、,4iiXNi 7 試驗(yàn)的目的就是檢驗(yàn)假設(shè):014114:,HH不全相同 若原假設(shè)成立H0,則認(rèn)為不同燈絲的燈泡壽命Xi沒有顯著差異,即燈泡壽命差異只是由其它隨機(jī)因素引起的.方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)分析方法.二、數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)問題：22(,)1,2,;1,2,i jii jiiXNXirjn相互獨(dú)立,未知0111:,rrHH不全相同一般地設(shè)因素A有r個(gè)不同水平A1,Ar,在Ai下試驗(yàn)結(jié)果Xi N(i,2),i=1,r.在Ai下做了ni(2)次試驗(yàn),相當(dāng)于從總體Xi中抽取一組樣本Xi1,Xini,他們相互獨(dú)立,故方差分析模型為:拒絕H0,表示因素A的作用顯著,否則認(rèn)

5、為因素A不顯著.9 引入幾個(gè)記號,并對模型作等價(jià)變形 111,(1,;1,)rri ji jiiiiiii jiiiiiiiXnnnnir jnAjA表一般平示隨機(jī)因素對 下第個(gè)指標(biāo)的影響,為隨機(jī)誤差；稱為;稱為該因素的第 水平均的效應(yīng).10 212,1,;1,(0,)0,i jii jii jriiiiXir jnNn 等價(jià)方差分析模型未知為且相互獨(dú)立0111:0:,0rrHH等價(jià)檢驗(yàn)問題不全為為11 三、單因素方差分析試驗(yàn)指標(biāo)數(shù)據(jù)可列成下表形式12 1.平方和分解公式1111111,iiinniii ji jjjinrri jiijiXXXXnXXnnn記，211()inrTi jijSX

6、X211()()inriii jijXXXX13 22111111()()2()()1iiinnrriii jijijnriii jijXXXXXXXX注221111()()iinnrriii jijijXXXX22111()()inrriii jiijiXXnXX14 注1 這里顯然有11()()inriii jijXXXX1()()riiiiiiXXnXnX11()()inriii jiijXXXnX11()()inriii jijXXXX015 TeASSS得平方和分解公式211()inriei jijSXX其中21()riAiiSnXX反映誤差的波動(dòng),稱為誤差的偏差平方和.在假設(shè)H0成

7、立,SA反映誤差的波動(dòng);若假設(shè)H0不成立,則SA反映了不同效應(yīng)之間的差異(含誤差).稱為因素A的偏差平方和.16 2.有關(guān)分布、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域22(),()()eeSEnr E Snr故2AS（）的分布1eS（）的分布2221111()()inriei jijSXXn r021(1)THSn若成立，由22(1)ASr17 0/(1)(1,)/()eHASrFF rn rSn r若成立1(,):(1,)nWxxFF rn r()檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 若F F(r-1,n-r),認(rèn)為因素A取不同水平對試驗(yàn)指標(biāo)的影響顯著.(4)檢驗(yàn)水平下的拒絕域 18 F0.1 F0.01(r-1,n-r)認(rèn)為因素A的影

8、響高度顯著,用表示 F0.05 F F0.01(r-1,n-r)認(rèn)為因素A的影響顯著,用表示認(rèn)為因素A的影響不顯著認(rèn)為因素A有一定影響,用()表示F F0.1(r-1,n-r)19 3.單因素方差分析表eTASSS具體計(jì)算ST、SA和 Se 時(shí)可用變形的公式:2211()inrTi jijSXn X221()()riAiiSnXnX20 在例1中,r=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=n1+n2+n3+n4=26來源平方和自由度均方和F 比臨界值顯著性因素A39776.4313258.31.638F0.1=2.35誤差e178089228095總和217865.425方差分析表由于 F=1.638 5.56=F0.01(3,14),故拒絕 H0，即認(rèn)為溫度對磚密度的影響高度顯著#解n=n1+n2+n3+n4=1823 4.未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)(1)1,iiiiiiXXXXir、分別是、的無偏估計(jì),22(2)eSnr是的無偏估計(jì)24 5.未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)/2,1,2,()()iieiiXXirStn rn n r其中(1)1i的置信度為置信區(qū)間：25 2(2)1的置信度為置信區(qū)間：22/21/2,()()eeSSnrnr