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1、《恒謙教育教學(xué)資源庫(kù)》 教師備課、備考伴侶 專(zhuān)注中國(guó)基礎(chǔ)教育資源建設(shè) 2014高考數(shù)學(xué)必考熱點(diǎn)大調(diào)查：熱點(diǎn)15組合體問(wèn)題 【最新考綱解讀】 (1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)． (2)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶)． 【回歸課本整合】 2.棱錐 （1）定義:一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的

2、三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐. (2)性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來(lái)棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比. （3））棱錐的側(cè)面積=各側(cè)面三角形面積的和；正棱錐的側(cè)面積＝×底面周長(zhǎng)×斜高, 棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積. 3.球 （1）球的概念：與定點(diǎn)距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，叫做球體；與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面. （2）球的截面：用一平面去截一個(gè)球，設(shè)是平面的垂線段，為垂足，且，所得

3、的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓面.球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做小圓 （3）球的表面積公式：. 4.棱柱、棱錐與球的體積 （1）棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長(zhǎng)；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離） （2）棱錐：體積＝×底面積×高. （3）球的體積公式：. 5.正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)． 正棱臺(tái)的性質(zhì)： ①各側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高，斜高都相等． ②兩底面以

4、及平行于底面的截面是相似多邊形； ③兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形； ④兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形； ⑤正棱臺(tái)的上、下底面中心的連線是棱臺(tái)的一條高． (2)圓柱的結(jié)構(gòu)特征 ①平行于底面的截面都是圓；②過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形． 除了這兩條重要特征外，還應(yīng)掌握下面的一些重要屬性． ①所有的軸截面是以兩底面直徑和兩條母線為邊的全等矩形，若該矩形為正方形，則圓柱叫等邊圓柱． ②用平行于軸的平面去截圓柱，所得的截面是以底面圓的弦和兩條母線為邊的矩形．也就是說(shuō)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面一定是一個(gè)矩形，在這所有的截面矩形中，以軸

5、截面面積最大． (3)圓錐的結(jié)構(gòu)特征 ①平行于底面的截面都是圓；②過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形；③過(guò)圓錐兩條母線的截面．當(dāng)軸截面的頂角不大于90°時(shí)，軸截面面積最大；當(dāng)軸截面頂角大于90°時(shí)，兩母線垂直時(shí)截面面積最大． (4)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 ①平行于底面的截面都是圓；②過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形． 截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則. （2）與正方體各棱相切的球： 截面圖為正方形EFGH的外接圓.則. （3）正方體的外接球：截面圖正方形ACA1C1的外接圓.則. 3. 正棱柱(錐)與外接球 以正三棱柱為例，設(shè)高為，底面邊長(zhǎng)為，如圖所示

6、.球心必落在高DD1的中點(diǎn)O，因?yàn)镈和D1分別為正三角形的中心.直角三角形AOD，R＝AO, OD=，AD=，借助勾股定理即可求R.解決關(guān)鍵確定直角三角形. 4. 三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球 （1）如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為 一個(gè)正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.設(shè)，則 C B A S O (2)如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.(L為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)). 5. 各面

7、均為直角三角形三棱錐與球 如右圖，SA面ABC,ABBC,則可推出SBBC,即此三棱錐的四個(gè)面全是直角三角形.取SC的中點(diǎn)為O,由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OS=0B=OC,所以O(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心.. 【方法技巧提煉】 1. 求體積常見(jiàn)技巧 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利． (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之． (2)幾何體的“補(bǔ)

8、形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． (3)有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 3.常見(jiàn)的特殊幾何體的性質(zhì) （1）平行六面體： ①底面是平行四邊形的四棱柱. ②{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}； ③平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面； ④平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分； ⑤平行六面體的四條對(duì)角線的

9、平方和等于各棱的平方和. （2）長(zhǎng)方體： ①長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和； ②若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1； ③若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2. （3）正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐. ①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等； ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、

10、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形； ③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則. （4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體. ①設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則高為，斜高 【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】 1．注意特殊的四棱柱的區(qū)別：直四棱柱、正四棱柱、長(zhǎng)方體、正方體、平行六面體、直平行六面體． 2．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)是判斷棱臺(tái)的主要依據(jù)，兩底面平行且是相似多邊形． 3．注意還臺(tái)為錐的解題方法的運(yùn)用，將臺(tái)體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)．注意正棱錐中的四個(gè)直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個(gè)直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個(gè)直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長(zhǎng)組成一個(gè)

11、直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個(gè)直角三角形． 4．將幾何體展開(kāi)為平面圖形時(shí)，要注意在何處剪開(kāi)，多面體要選擇一條棱剪開(kāi)，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線剪開(kāi). 5．與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖. 6.關(guān)于組合體的考查一般放在壓軸的

12、選擇或填空的位置，難度較大，需具有較強(qiáng)的畫(huà)圖能力和空間想象能力，尤其是與球相關(guān)的內(nèi)切與外接問(wèn)題，具有一定的規(guī)律和常用的結(jié)論，故總結(jié)常用的類(lèi)型，形成解題的套路和模式. 2.【北京市朝陽(yáng)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是線段，（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是 A． B． C． D． 3.【廣西百所高中2013屆高三年級(jí)第三屆聯(lián)考】如圖，已知球O 是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截 球O的截面面積為（ ）

13、 A． B． C． D． 6.【天津市新華中學(xué)2013屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形， 為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（ ） A. B. C. D. 8.【云南玉溪一中2013屆第四次月考試卷】四面體中， 則四面體外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 9.【2012河北省名校名師俱樂(lè)部高三第二次調(diào)研考試】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，AB=6，，棱錐O-ABCD的體積為，則球O的表面積為 A．

14、B． C． D． 10.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中11月高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為時(shí)，其高的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 11.【2012河北省名校名師俱樂(lè)部高三第二次調(diào)研考試】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，AB=6，，棱錐O-ABCD的體積為，則球O的表面積為 A． B． C． D． 12.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中高三11月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】.已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正棱柱的體積最大值時(shí)

15、，其高的值為（ ） A． B． C． D． 13.【2012-2013學(xué)年度河北省普通高中高三11月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知ABCD為正方形，點(diǎn)P為平面ABCD外一點(diǎn)，，，二面角為，則點(diǎn)C到平面PAB的距離為 14.【云南師大附中2013屆高三適應(yīng)性月考卷（三）】正三棱錐A－BCD內(nèi)接于球O，且底 面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則球O的表面積為_(kāi)___ ． 15.【北京四中2012-2013年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中】湖面上漂著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)直徑為12 cm，深2 cm的空穴，則該球的半徑是______cm，表面

16、積是______cm2. 體的表面積為，其外接球的表面積為，則____________. 18.【云南玉溪一中高2013屆高三上學(xué)期第三次月考】 設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍是 . 19.【河南中原名校2012—2013學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)考】已知球Ol、O2的半徑分別為l、r，體積分別為V1、V2，表面積分別為S1、S2，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 . 20.【江蘇省南通市2013屆高三第二次調(diào)研測(cè)試】 若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開(kāi)，其展開(kāi)圖是半徑為2 cm的半圓，則該圓錐的高為

17、 cm． 21.【2013河北省名校名師俱樂(lè)部高三3月模擬考試】 在三棱柱中，側(cè)棱垂直底面，，，BC=1，且三棱柱的體積為3，則三棱柱的外接球的表面積為 【2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三（上）摸底調(diào)研測(cè)試】已知A，B，C，D四點(diǎn)在半徑為的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，則三棱錐D﹣ABC的體積是?。? 22.【云南玉溪一中2013屆第四次月考試卷】已知正三棱錐，點(diǎn)都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為_(kāi)_______. . 23.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn)試卷】 如圖，單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在平面A1BC1上，則三棱錐P-ACD1的體積 為_(kāi)_____ 適用于新課程各種版本教材的教學(xué) 全國(guó)統(tǒng)一客服電話：400-715-6688 第10頁(yè)