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1、第二章滯后算子及其性質(zhì) §2.1基本概念 時(shí)間序列是以觀測值發(fā)生的時(shí)期作為標(biāo)記的數(shù)據(jù)集合。一般情況下，我們是從某個(gè)特定 的時(shí)間開始采集數(shù)據(jù)，直到另一個(gè)固定的時(shí)間為止，我們可以將獲得的數(shù)據(jù)表示為： (力，光，…*) 如果能夠從更早的時(shí)間開始觀測，或者觀測到更晚的時(shí)期，那么上面的數(shù)據(jù)區(qū)間可以進(jìn) 一步擴(kuò)充。相對(duì)而言，上述數(shù)據(jù)只是一個(gè)數(shù)據(jù)的片段，整個(gè)數(shù)據(jù)序列可以表示為： (…，月，光，…％，…，)= {)：}；苦 例2.1(1)時(shí)間趨勢本身也可以構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列，此時(shí)：肉=1⑵另一種特殊的時(shí) 間序列是常數(shù)時(shí)間序列，艮"H=c，c是常數(shù)，這種時(shí)間的取值不受時(shí)間的影響：(3)在 隨機(jī)分析中常用

2、的一種時(shí)間序列是高斯白噪聲過程，表示為：義=弓，{￡,}；：竺是一個(gè)獨(dú)立 隨機(jī)變量序列，每個(gè)隨機(jī)變量都服從A\0,<7-)分布。 時(shí)間序列之間也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，類似于使用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。它是將輸入時(shí)間序列轉(zhuǎn) 換為輸出時(shí)間序列。 例2.2(1)假設(shè)電是一個(gè)時(shí)間序列，假設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：y,=px,,這種算子是將一個(gè)時(shí) 間序列的每一個(gè)時(shí)期的值乘以常數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的時(shí)間序列。(2)假設(shè)叫和叫是兩個(gè)時(shí)間 序列，算子轉(zhuǎn)換方式為：月=呵+叫，此算子是將兩個(gè)時(shí)間序列求和。 定義：如果算子運(yùn)算是將一個(gè)時(shí)間序列的前一期值轉(zhuǎn)化為當(dāng)期值，則稱此算子為滯后算 子，記做七。即對(duì)任意時(shí)間序列易，滯后算子滿足： 乙成)

3、三 類似地，可以定義高階滯后算子，例如二階滯后算子記為對(duì)任意時(shí)間序列叫，二 階滯后算子滿足： 匕'(X.)三 L[L(xt)] = xt_2 一般地，對(duì)于任意正整數(shù)* ,有： 〃(另)=X!~k 命題2.1滯后算子運(yùn)算滿足線性性質(zhì)： ⑴"耳)= /?￡&) (2)以"m; ) =L(xt) + ") 證明：(1)利用滯后算子性質(zhì)，可以得到： L{Pxl) = Pxt_i =^L(xt) (2) L{xt + wt) =xl_l + 叫_] =L(氣)+ Hw,) 由于滯后算子具有上述運(yùn)算性質(zhì)和乘法的交換性質(zhì)，因此可以定義滯后算子多項(xiàng)式，它 的作用是通過它對(duì)時(shí)間序列的作用獲

4、得一個(gè)新的時(shí)間序列，并旦揭示這兩個(gè)時(shí)間序列之間的 關(guān)系。 顯然，滯后算子作用到常數(shù)時(shí)間序列上，時(shí)間序列仍然保持常數(shù)，即：L(c) = c o § 2.2 一階差分方程 利用滯后算子，可以將前面的一階差分方程表示成為滯后算子形式： >*/ = 81 + 叫=(!>Lyt + w, 也可以表示為： (1一。乙)月=叫 在上述等式兩邊同時(shí)作用算子：Q + 0七+02/?+???+吠〃)，可以得到： Q + 0L+ ?? +穴 L!)(1 -

5、子性質(zhì)得到： 月=*+】)，_] + + 族叫_] + …吠 上述差分方程的解同利用疊代算法得到的解是一致的。 注意到算子作用后的等式： Q + SL+…+武頃-”加=y, “+1月 如果時(shí)間序列乂是有界的，即存在有限的常數(shù)M,使得任意時(shí)間均有：|月杉M，并 且渺|vl,則上式當(dāng)中的尾項(xiàng)隨著時(shí)間增加趨于零。從而有： 度(1 +"+ ? ?+# U)](1 -4>L)yt = yt 如果利用“1”表示恒等算子，則有： + °七+…+吠〃)](1 一 ° 匕)=1 r-Kc 記： (1-。乙尸=1皿(1 + [L 在 Z/)] 因此得到了 “逆算子”的表達(dá)式，這類似于以滯后

6、算子為變量的函數(shù)展開式。 定義2.1：當(dāng)|洌<1時(shí)，定義算子Q-”)的逆算子為(1-。匕)-】，它滿足： ⑴(1- "XI - "尸=(1 - 虬)-、(1 - ") = / 其中/表示單位算子，即對(duì)任意時(shí)間序列免，有：Ky,) = y, (2)在形式上逆算子可以表示為： (1一"尸=質(zhì)夕” 丁=0 這表示逆算子作為算子運(yùn)算規(guī)則是：對(duì)于任意時(shí)間序列月，有： (1一")-成=如力(),,)=如心3 j=0 j=0 當(dāng)|。|21時(shí)，逆算子(1-^L)-1的定義以后討論。 如果時(shí)間序列乂是有界的，則一階差分方程的解可以表示為： X =叫 +。吧 T + 2 叫 +??

7、,=￡"樸' J=0 可以驗(yàn)算上述表達(dá)式確實(shí)滿足一階線性差分方程。但是解并惟一，例如對(duì)于任意實(shí)數(shù) %,下述形式的表達(dá)式均是方程的解。 8 乂 =%犬 + ￡”吧_/ _/=0 上述差分方程的解中含有待定系數(shù)，這為判斷解的性質(zhì)留出一定的余地。 § 2.3二階差分方程 我們考察二階差分方程的滯后算子表達(dá)式： 乂 =.T + 心tf + 叫 將其利用滯后算子表示為： Q-SL-Wt = W, 對(duì)二階滯后算子多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，即尋求4和為使得： （1 — S L —白 Lr ）= （1 — % 匕X】一“2 L） = [1 —（人]+ 人2 ） ■ + A/^2 乙~ ]

8、 顯然4和冬是差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程的根： 人2 — 0]人一飽=0 當(dāng)特征根％和冬落在單位圓內(nèi)的時(shí)候（這也是差分方程的穩(wěn)定性條件），滯后算子多項(xiàng) 式分解為： （1-2.L）-1= 1 （冬 石） （1 —人I L）（l — A2 L）（人]—也）（（1 — 4 乙）（1 — /l2 L） j 將上述表達(dá)式帶入到二階差分方程解中: =1 + 22L + 2;L =——wf (1 -A2L)) +人=/?+... 這時(shí)二階差分方程解可以表示為： 月=（1 一 ％ 乙）-'（1 一 ^2 乙）T Wt 注意到算子分式也可■以進(jìn)行分項(xiàng)分式分解（如此分解需要證明，參見Sar

9、gent, 1987, p. = (1 + x.L + (A-^2) + ? ? ? + 1 + 人2 L + 7^2 乙~ + ? ? J" 184）： =(Q + c2 )wt + (c 俱 i + c2A2 )>婦 + Qi 本 + d 禺 M-2 + … 其中: A2 A-i — Aj 利用上述公式，可以得到外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為: dwt 上述利用滯后算子運(yùn)算得到的乘數(shù)與以前所得完全一致。 例2.3對(duì)于二階差分方程而言，其特征方程是： 萬_ A人_卷=o 得到特征根為： 4 =：（玖+JS1+40），冬=：（由_>/。1+4但） 上述方程的穩(wěn)定性

10、與滯后算子多項(xiàng)式的根落在單位圓內(nèi)是一致的。 §2.4 p階差分方程 上述算子多項(xiàng)式的分解方法可以直接推廣到P階差分方程情形。將P階差分方程表示成 為滯后算子形式： （1一0匕一處匕2 -…一?！Α┮?叫 將上式左端的算子多項(xiàng)式分解為： （1 — 乙—的 Z? e’LP ）= （1 — 4 L）（l —L） ??■（! —人 p L） 這相當(dāng)于尋求（九,…況/,）使得下述代數(shù)多項(xiàng)式恒等： （1[-。次2 "〃）= （1-2X z）（l-人技）…（1 一人〃 Z） 定義人=廠|,則可以將上述多項(xiàng)式表示成為： （人〃 —_ 但 ^p-- — — S” ）=（人—人1一 心）

11、…3 - 人〃） 這意味著算子多項(xiàng)式的分解，就相當(dāng)于求出差分方程特征方程的根。 如果差分方程的根相異，且全部落在單位圓內(nèi)，則可以進(jìn)行卜?述分式分解: 1 _ C1 . C2 . . = F (1 - L)(l - 22 L) ? ? ? (1 - L) (1-2jL) (1 - L) (1 - Ap L) 通過待定系數(shù)法，可以得到上述分式中的參數(shù)為： 疔 -1 9 c； = ， / = 1,2, ,有-】+人尸+…+4廠J 顯然有： G +G + …+上=1 * — P 利用上述算子多項(xiàng)式分解，可以得到差分方程的解為： 1 力=冬一歐上一農(nóng)口一…一加。

12、)嗎 C] Cr C = W, + = VV. + … 圮 (1 一 人]L) (1 一 22 L) (1 一 L) =ck(l + AlL + AjLr + + c2(1 + A2L + A^Lr + -- )wt + …+ c"(l + " + 2；Z? + …加 =(q +c? + ..? + c,)Wp +(q/l] +6^2? +?.. + c『2p)w『_] +.?? + (q2/ + cM + ..? + cpAJp )、%_」? + ..? 通過上述方程通解，可以得到動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為: =C^{ +6\ 人! / = 1,2，… 8)危 dwt 命題2

13、.1外生變量叫對(duì)），，現(xiàn)值的影響和外生變量圮持續(xù)擾動(dòng)對(duì)）；的動(dòng)態(tài)影響乘子是: o 1 ?？铩渇 ) 1* 一“ mJWJ …+土]= ! .，*[ a叫 dwfU 初匕+打 Hl?.一』p 證明：將差分方程的解表示為: ），，=%叫+代叫_2 +/叫T +…， 其中： ? =?龍 + …+C//；］，j = 1'2,… 設(shè)： 仞（匕）=00 + （p［L*甲」｝ +（3〃 +… 利用算子多項(xiàng)式表示： yt =心加 叫對(duì)）;現(xiàn)值的影響可以表示為： o f x ） 00 V.+ / x —￡ 伊）M = ￡伊們=0（"） owt Vj=o ） j=0 owt ;

14、=o 注意到： 例乙）=% + %乙+代廳+ 03廳+…=［（1 一人1乙）…（I T/）］T 因此有： (KP) = [(1 一 40)…(1 一 人代' =\\ 一奴。一奴伊一…一州伊’ ]T 長期乘數(shù)相當(dāng)于A = 1的情形，從而得到公式所示的公式。 上述命題結(jié)論是利用滯后算子多項(xiàng)式推導(dǎo)的，其結(jié)論同利用差分方程矩陣表示所得到的 結(jié)論是一致的。 § 2.5初始條件和無界序列 假設(shè)給定下述線性差分方程： H = A >f/-l + 02 巾2 + …+ >'/-/, + 叫 一般情況下，求解P階差分方程的特解，需要"個(gè)初值：人,)，*…,)％，也需要外生 變量的一個(gè)輸入序列：

15、沖，％,…,〉％，這樣一來根據(jù)差分方程結(jié)構(gòu)，便可以確定月的時(shí)間路 徑。但是，在一些常見的經(jīng)濟(jì)或者金融時(shí)間序列當(dāng)中，無法給定具體的初值或者完整的外生 輸入變量，那么這時(shí)差分方程解的性質(zhì)如何？ 例2.4假設(shè)變量比表示股票價(jià)格，。，表示股票派發(fā)的紅利。如果一個(gè)投資者在時(shí)刻，買 入股票，然后在時(shí)刻f + 1賣出股票，則他將獲得實(shí)際紅利收入喝成和價(jià)格收益 (，+】-，)/旦，因此投資者的收益率為： 在簡單的股票市場模型當(dāng)中，假設(shè)收益率是常數(shù)，則上述方程可?以轉(zhuǎn)化為股票價(jià)格的差 分方程模型： 4=(1+灑_? 如果知道紅利序列｛Q, ￡>2,Q ｝和股票價(jià)格的初值P。，則可以得到股票價(jià)格路徑為:

16、 ￡ = (1 + 尸)| R _ (1 + 尸)i _ (1 + r)z"2 D2 Dt 但是如果僅僅知道紅利序列，而不知道股票價(jià)格初值，則可?能有很多價(jià)格軌跡滿足價(jià)格 的差分方程。為了說明這個(gè)問題，進(jìn)一步假設(shè)紅利為常數(shù)，則有： R = (1 + r)z PQ 一 ￡)[(! + + (1 + + ?? + 1] = (l+r)fP0-1~(1 + /)f D = (l+r)^[P0-(D/r)] + (D/r) (1) 如果初始時(shí)期股票價(jià)格等于紅利貼現(xiàn)，即P0=D/r,則有： Pt = D/r , / = 0,1,2, -? 此時(shí)股票價(jià)格保持常數(shù)，股價(jià)等于紅利除以收益率。

17、這種股票價(jià)格被稱為在收益率是常 數(shù)情形的股價(jià)基礎(chǔ)成分。 (2) 假設(shè)初始股價(jià)超過了 D/r,即P0>D/r,這時(shí)股票價(jià)格出現(xiàn)了擴(kuò)散現(xiàn)象，這與資 產(chǎn)定價(jià)理論相符。因?yàn)闉榱吮３仲Y產(chǎn)收益率不變，股票的價(jià)格就會(huì)出現(xiàn)持續(xù)上升，同時(shí)假設(shè) 紅利是固定的，紅利帶來的實(shí)際收益減少將被股價(jià)的加速增長所彌補(bǔ)，這樣就出現(xiàn)了股票價(jià) 格膨脹的現(xiàn)象，即出現(xiàn)股票價(jià)格泡沫。 (3) 為了消除股價(jià)當(dāng)中的投資泡沫，一種方法是對(duì)股票價(jià)格路徑給予有界性限制。例如, 假設(shè)對(duì)于所有時(shí)期的股票價(jià)格滿足： Pt

18、利序列是有界的。將股價(jià)表示為： 4=己[% +財(cái) 1 + r 進(jìn)行向前疊代運(yùn)算有： 1 1 + r T P.T + 7-1 n+7—1 + . . .+ T 0+7 + 如果價(jià)格序列｛R｝滿足約束條件: 1 T R+t=° lim 在假設(shè)｛Q｝和｛當(dāng)｝均是有界序列，則得到股票價(jià)格水平滿足: 這是紅利隨時(shí)間變化時(shí)股票價(jià)格的市場基礎(chǔ)成分。 需要注意的是，對(duì)于上述情形的市場基礎(chǔ)成分，需要投資者對(duì)于未來紅利具有完全預(yù)期。 當(dāng)引入預(yù)期紅利時(shí)，上述表達(dá)式仍然適用，這時(shí)可以修改為： 月呵日耳(以+/) .Mi + 尸」 利用紅利預(yù)期的股價(jià)公式，可以確定價(jià)格初

19、值％: 8「1 T' P°=￡ 7— Dj ;=oLl+rJ 如此初值是否滿足一般的股價(jià)模型，我們可以代入到具有初值的確定解中驗(yàn)證: 已=(1 + ,)‘ R — (1 + 尸)1一(1 + 一…一 Dj 將與代入上式后得到： 這正是在邊界條件卜?所推導(dǎo)的向前預(yù)期解，由此可見該解與初值選擇是吻合的。 例2.5我們繼續(xù)利用滯后算子方法討論股票價(jià)格路徑的性質(zhì)。利用算子表示為： [l-(l+r)L]^=-D, 在上述表達(dá)式中，滯后算子多項(xiàng)式的特征根小于1，無法采用逆算子的一般表達(dá)式，為 此我們需要采取新的定義。 定義滯后算子匕的逆算子為 I 具有性質(zhì)： (1) L L=LL

20、 =1 ⑵ U\y,) = yl+l 這樣一來，滯后算子乘枳就具有幕乘的性質(zhì)： 對(duì)于任意正整數(shù)，和J,有：L! L-j = U-i 對(duì)方程(2.12)兩端乘以算子多項(xiàng)式： ]+ —L'1 +—-—『 + ???+——-—— (1 +尸) (1 + r)2 (l + r)7"1 整理得到： [1+(1+ 尸)-7 "旺=Dt + 一-一 ％]+??+ —-— 0-7 L ri (1+r) z (1+r)2 /+1 (l + r)r 心 當(dāng)尸＞0,且紅利序列是有界的，則上述極限為: 根據(jù)上述運(yùn)算，可以定義下述算子的逆算子： 1 「 1 ]1 1 ' =— 1 + F

21、+ ..? 1-(1+r)L L(l + r)Lj L (1 + r)L (l+r)2L2 . §2.6差分方程的求解方法 上面我們主要論述了差分方程的表示和外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)乘子，下面我們給出差分方程的 一般求解過程。 第一步：構(gòu)造p階齊次差分方程，并且尋求齊次方程的p個(gè)解：y；；, i = l,2…,p 第二步：構(gòu)造p階非齊次差分方程的特解。 第三步：齊次方程p個(gè)解的線性組合加上非齊次方程的一個(gè)特解，得到非齊次方程的通 解。 第四步：根據(jù)給定的邊界條件，確實(shí)通解當(dāng)中的未知參數(shù)，得到非齊次方程的確定解。 2.6.1齊次差分方程的通解和穩(wěn)定性 p階齊次差分方程的形式是： y,

22、= S + 奴 yt-2 + …+?p*-p 命題2.1 (1)如果W是方程的解，則對(duì)任意常數(shù)A , Ay/也是解。 (2)如果"和也是方程的解，則對(duì)任意實(shí)數(shù)A和為，人外+夕時(shí),也是方程的解。 證明：留做練習(xí)。 對(duì)于P階齊次差分方程，我們嘗試地檢驗(yàn)解的形式是：y；'= A，代入差分方程為： 人〃—e[人 —仇人 ——e—% =o 由此可見，人應(yīng)該是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相異實(shí)數(shù)根的時(shí)候, 可以得到P個(gè)解為：劇=用，i = l,2…,p,此時(shí)解的穩(wěn)定性要求所有根落在單位圓內(nèi)。 命題2.2 (1)齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的必要條件是：(2)齊次方程 /=!

23、所有特征根落在單位圓內(nèi)的充分條件是：(3)齊次方程至少具有一個(gè)單位根的充 r=l 要條件是:f =1 /=! 如果齊次方程的特征根出現(xiàn)重根，則應(yīng)該尋求多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘機(jī)形式的解。例如, 如果二階齊次差分方程具有重根，則兩個(gè)解應(yīng)該分別是忠=忑, 2.6.2非齊次差分方程的特解 如何尋求非齊次線性差分方程的特解，需要根據(jù)非齊次項(xiàng)的具體性質(zhì)判斷。 (1)指數(shù)形式的非齊次項(xiàng) 此時(shí)方程形式是： 可以嘗試特解形式為：w=c°+w ,可以求解出特解為： W =[。0 /(i_Q]+㈣，/("「FM 如果白=1,嘗試解的形式為：乂'=?+qd”；如果饑=小，可以選取其他形式的嘗 試解。 (2)確定性時(shí)間趨勢 此時(shí)方程形式是： 月=內(nèi)+毆4加+" <=1 此時(shí)嘗試解的形式選為： y!" =%+勺，+???+勺"